0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

Рис. 2.3: Разложения вектора по разным базисам.

Вместе с тем, очевидно, что один и тот же вектор в различных базисах будет описываться по-разному — он будет иметь разные координатные представления. То есть, набор координат, описывающий данный вектор, полностью зависит от базиса, в котором эти координаты вычисляются (см. рис. 2.3, стр. 42).

В этом разделе мы получим формулы, связывающие координатные представления вектора в различных базисах.

Определение 21 (матрица перехода) Пусть V —векторное пространство, в котором фиксированы два базиса: e1, . . . , en и f1, . . . , fn. Векторы f1, . . . , fn, как векторы векторного пространства V , раскладываются по базису e1, . . . , en, причем однозначно:

Матрицей A перехода от базиса e1, . . . , en к базису f1, . . . , fn называется матрица коэффициентов разложений, выписанных по столбцам:

Теорема 15 (о замене базиса) Пусть V — векторное пространство, снабженное базисами e1, . . . , en и f1, . . . , fn. Тогда

xF = A−1xE ,

где xF — координатное представление вектора x в базисе f1, . . . , fn, xE — координатное представление вектора x в базисе e1, . . . , en, а A — матрица перехода от базиса E к базису F .

Доказательство Покажем, что справедливо соотношение xE = AxF . Пусть нам известны разложения вектора x по базисам e1, . . . , en и f1, . . . , fn:

xE = (α1, . . . , αn) = α1e1 + · · · + αnen , xF = (β1, . . . , βn) = β1f1 + · · · + βnfn .

Разложим векторы базиса f1, . . . , fn по векторам базиса e1, . . . , en:

Тогда мы можем преобразовать разложение вектора x по базису f1, . . . , fn к разложению по базису e1, . . . , en:

xF = (β1, . . . , βn) = β1f1 + · · · + βnfn =

=β1(a11e1 + · · · + a1nen) + · · · + βn(an1e1 + · · · + annen) =

=(β1a11 + · · · + βnan1)e1 + · · · + (β1a1n + · · · + βnann)en =

=(α1, . . . , αn) = xE .

Приравнивая коэффициенты при базисных векторах e1, . . . , en в разложении вектора x и координаты α1, . . . , αn вектора x в базисе e1, . . . , en, получим систему:

которая преобразуется к матричному виду:

Тем самым, нами доказано соотношение xE = AxF . Умножая его слева на A−1, получим требуемое: xF = A−1xE .

Теорема доказана.

Пример 27 Пусть на плоскости π фиксирован базис e1, e2. И пусть на ней выбран еще один базис, f1, f2:

Допустим, нам известны координаты вектора x в базисе e1, e2: xE = (−1, 1). Требуется вычислить координаты вектора x в базисе f1, f2.

Воспользуемся теоремой о замене базиса (см. теор. 15, стр. 42):

xF = A−1xE ,

где A — матрица перехода от базиса e1, e2 к базису f1, f2. В нашем случае

Прежде всего, необходимо вычислить матрицу A−1, обратную к матрице перехода. Воспользуемся для этого методом Гаусса:

2.3Линейные операторы

Линейные операторы представляют собой очень важный класс преобразований, действующих в векторных пространствах. Они привлекательны уже хотя бы потому, что могут быть реализованы в виде матриц (см. опр. 30, стр. 55), а их действие — в виде операции матричного умножения (см. теор. 21, стр. 56).

Вэтом разделе мы установим взаимно-однозначное соответствие (так называемый изоморфизм алгебр) между алгеброй линейных операторов, действующих в векторном пространстве и полной матричной алгеброй соответствующего порядка (см. теор. 25, стр. 58).

Врезультате будет получен исключительно удобный (ведь матричное умножение сводится к сложению и умножению чисел) вычислительный механизм для преобразований векторных пространств (в частности, плоскости, как двумерного векторного пространства).

Большинство разумных преобразований плоскости (повороты, масштабирования, отражения и т.д.) являются линейными (см. раздел 2.3.1, стр. 44)16, и, в заключение этого раздела, мы вычислим их матрицы (см. раздел 2.3.5, ср. 59).

Практические примеры, относящиеся к этому разделу, представлены в приложениях (см. приложение B.2, стр. 193).

2.3.1Определения и примеры

Определение 22 (линейный оператор) Пусть в векторном пространстве V действует проебразование ϕ:

ϕ : V −→ V .

Оно называется линейным оператором, если выполняются следующие два условия.

1.Под действием преобразования ϕ сумма векторов u и v переходит в сумму их образов ϕ(u) и ϕ(v):

ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) u, v V .

16Исключение составляет только смещение плоскости (см. пример 33, стр. 48), однако мы преодолеем эту трудность в следующей главе путем перехода к проективным пространствам и проективным операторам (см. главу 3, стр. 63).

2. Под действием преобразования ϕ скалярное кратное αu вектора u переходит в скалярное кратное его образа ϕ(u) (другими словами — постоянный множитель можно выносить из-под знака линейного оператора):

ϕ(αu) = αϕ(u) u V , α R .

Пример 28 (тривиальные линейные операторы) В любом векторном пространстве V действуют два линейных оператора, называемых тривиальными: это нулевой оператор, под действием которого любой вектор v векторного пространства V переходит в ноль, и единичный оператор, под действием которого любой вектор v векторного пространства V переходит в себя.

Рис. 2.4: Проектор на горизонтальную ось является линейным оператором, действующим на плоскости.

Пример 29 (проекторы) Пусть на плоскости π фиксирован ортонормированный17 базис e1, e2. Будем считать также, что вдоль базисных векторов направлены координатные оси Ox и Oy. Пусть px действует на плоскости π

px : π −→ π ,

следующим образом: под его действием любой вектор плоскости π переходит в проекцию на горизонтальную ось Ox (см. рис. 2.4, стр.45). Это преобразование называется проектором плоскости на горизонтальную ось.

Оно является линейным оператором. Действительно, в силу известных геометрических соотношений, проекция суммы равна сумме проекций, а проекция скалярного кратного — скалярному кратному проекций (см. рис. 2.4, стр.45):

Поэтому, в силу данного выше определения (см. опр. 22, стр. 44), проектор на горизонтальную ось является линейным оператором.

Аналогично — проектор py , действующий проекцией на вертикальную ось, является линейным оператором. Более того, мы могли бы не требовать изначально ортогональности базиса e1, e2 и соответствующей системы координат. Неортогональное проецирование также является линейным оператором.

17Ортонормированным называется базис, состоящий из взаимноперпендикулярных векторов единичной длины.

Обобщая этот пример на трехмерный случай физического пространства, можно утверждать, что проекторы px, py , pz , действующие в физическом пространстве проекциями вдоль координатных осей, а также проекторы pxOy , pxOz , pyOz , действующие в физическом пространстве проекциями вдоль координатных плоскостей, являются линейными операторами.

Рис. 2.5: Поворот на угол α плоскости относительно начала координат является линейным оператором, действующим на плоскости.

Пример 30 (повороты) Пусть на плоскости π фиксирован ортонормированный базис e1, e2. Будем считать также, что вдоль базисных векторов направлены координатные оси Ox и Oy. Пусть преобразование Rα действует на плоскости π

Rα : π −→ π

поворотом на угол α относительно начала координат (см. рис. 2.5, стр.46). Оно также является линейным оператором.

Действительно, под действием поворота параллелограмм, построенный на векторах u и v, переходит в конгруэнтный параллелограмм (см. рис. 2.5, стр.46), а значит,

Rα(u + v) = Rα(u) + Rα(v) u, v V .

Кроме того, так как поворот сохраняет длины отрезков,

Rα(βu) = βRα(u) u V , β R .

Следовательно, по определению (см. опр. 22, стр. 44), поворот на угол α плоскости относительно начала координат является линейным оператором.

Заметим, что в этом случае требование ортогональности базиса и соответствующей координатной системы является обязательным.

Мы можем обобщить этот пример на трехмерное физическое пространство. А именно, поворот физического пространства на угол α относительно любой прямой l, проходящей через начало координат, является линейным оператором.

Пример 31 (симметрии) Пусть на плоскости π фиксирован ортонормированный базис e1, e2. Будем считать также, что вдоль базисных векторов направлены координатные оси Ox и Oy. Пусть преобразование Qx действует на плоскости π

Qx : π −→ π

Пример 33 (смещение не является линейным оператором!) Вместе с тем, такое важное преобразование плоскости, как смещение18 Ta плоскости π на вектор a, не является линейным оператором.

Дело в том, что под действием линейного оператора нулевой вектор должен перейти в себя. Действительно, пусть ϕ — линейный оператор, действующий в векторном пространстве V . Тогда

ϕ(0) = ϕ(0v) = 0ϕ(v) = 0.

Под действием же смещения нулевой вектор переходит в вектор смещения a:

Ta(0) = a .

Это обстоятельство приведет нас к необходимости организовывать так называетмые проективные пространства, вкладывая их специальным образом в объемлющие векторные пространства (см. главу 3, стр. 63).

Рис. 2.7: Смещение плоскости на вектор a не является линейным оператором, так как под его действием нулевой вектор не переходит в себя.

2.3.2Ядро и образ линейного оператора

Здесь мы приведем очень важное для дальнейших целей понятие невырожденного линейного оператора19.

Определение 23 (ядро линейного оператора) Пусть V — векторное пространство, ϕ — линейный оператор, действующий в V . Его ядром называется множество векторов векторного пространства V , переходящих под его действием в ноль:

Ker ϕ = {v V | ϕ(v) = 0} .

Ядро линейного оператора обозначается Ker от английского kernel — ядро.

18С точки зрения графических систем, смещение означает смещение камеры относительно графической сцены или, что то же самое, смещение объекта относительно неподвижной камеры.

19Именно невырожденные преобразования плоскости представляют интерес с точки зрения организации графических систем, так как под действием невырожденного линейного оператора плоскость переходит в себя, а не коллапсирует к прямой или точке.