0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

Прежде всего, на первом-первом месте определителя мы организуем 1. Это делается для того, чтобы дальнейшие действия по построению нулей ниже главной диагонали было легче (то есть — чтобы не приходилось оперировать с дробными числами). Для этого на первом шаге мы меняем местами первую и третью строки. При этом определитель меняет знак.

На втором шаге выкладки мы устраиваем два нуля ниже единицы, расположенной на первой-первой позиции в определителе. Для этого мы отнимаем от второй строки первую, домножив ее на 5, и от третьей строки — первую, домножив ее на 2.

На третьем шаге мы выносим (−1) из второй и из третьей строк. При этом сам определитель приобретает дополнительный множитель (−1)2, который мы не записываем, так как (−1)2 = 1.

Далее нам во что бы то ни стало необходимо получить единицу на втором-втором месте определителя, так как это позволит нам применить тот же алгоритм получения нулей ниже главной диагонали, что и в первом столбце. Но на это у нас уйдет несколько шагов6.

На следующем шаге мы отнимаем от втрой строки третью, домножив ее на 2. Выгода от этого на первый взгляд, конечно, сомнительная, но все-таки: после этого действия числа во второй строке стали меньше!

Воодушевленные таким пусть небольшим, но все же успехом, продолжим уменьшать фигурирующие в определителе числа: отнимаем от третьей строки вторую, домножив ее на 2.

В третьей строке на втором месте наконец появилась долгожданная единица7! Остается расположить ее на втором-втором месте в определителе.

Для этого мы меняем местами вторую и третью строки. При этом определитель снова меняет знак на противоположный, и коэффициент (−1), появившийся перед определителем после первого звена выкладки, исчезает.

Теперь для получения верхнего треугольного определителя достаточно отнять от третьей строки вторую, домножив ее на 3, что мы и делаем.

Полученный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

6Можно было бы в этой ситуации поступить гораздо прямолинейнее: просто вынести из второй строки 17 как общий множитель. Однако все остальные операции пришлось бы выполнять уже с дробными числами. Возможно, вам все равно, с какими числами оперировать: с дробными или с целыми. А нам — не все равно. Мы поступим умнее.

7Действия, которые мы только что выполнили, основаны на алгоритме Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. В данном случае исходные числа 17 и 7 были взаимнопросты, их наибольший общий делитель — это 1, которую мы и отыскали за два шага.

Пример 103 Дан определитель четвертого порядка. При помощи свойств определителя мы можем его вычислить сведением к треугольному виду. Причем — легко.

В этом примере нули ниже главной диагонали получаются за один шаг: вычитанием первой строки из всех остальных строк.

Пример 104 Наконец, рассмотрим еще один пример. Здесь мы докажем тождественное равенство нулю данного определителя, не вычисляя его.

Я надеюсь, основное тригонометрическое тождество помнят все. Других комментариев, кажется, не требуется.

Еще одним мощным инструментом вычисления определителей служат их разложения по строкам и столбцам. Этот прием позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению n определителей (n − 1)-го порядка. Прежде, чем сформулировать соответствующую теорему, дадим два определения.

Определение 68 (дополнительные миноры) Дополнительным минором к элементу aij матрицы A называется определитель Mij матричного фрагмента, который получается из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Определение 69 (алгебраические дополнения) Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij называется дополнительный минор, взятый с

точностью до знака:

Aij = Mij · (−1)i+j .

Итак, каждый матричный элемент обладает дополнительным минором и алгебраическим дополнением. Причем в том случае, когда сумма индексов i + j является четным числом, алгебраическое дополнение в точности равно дополнительному минору. Если же сумма индексов i + j нечетна, алгебраическое дополнение отличается от дополнительного минора знаком.

Нетрудно убедиться,что знаки алгебраических дополнений к элементам матрицы следуют в шахматном порядке: на первом-первом месте знак всегда родной, а далее — нетрудно подсчитать.

При вычислении дополнительного минора M11 мы умозрительно вычеркнули в исходной матрице первую строку и первый столбец, после чего вычислили оставшийся после вычеркивания определитель второго порядка. При вычислении алгебраического дополнения A11 мы учли его знак: домножили дополнительный минор на (−1)1+1. Как видим, в данном случае алгебраическое дополнение в точности совпадает с дополнительным минором. Но что произойдет на первом-втором месте?

В этом случае дополнительный минор и алгебраическое дополнение отличаются знаком.

Теорема 86 (о разложении определителя) Пусть A Matr n — некоторая матрица. Ее определитель может быть вычислен по следующим формулам:

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin,

|A| = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj .

Первая из этих формул называется разложением определителя по i-й строке, а вторая — разложением определителя по j-му столбцу.

Определитель может быть разложен по любому столбцу и по любой строке. Таким образом, опредилитель n-го порядка имеет ровно 2n разложений.

Пример 106 Вычислим следующий определитель третьего порядка разложением его по второй строке.

= 2 · (9 − 3) · (−1) + 2 · (3 − 0) + 1 · (−1 − 0) · (−1) = −12 + 6 + 1 = −5.

Применяя разложение, мы фиксируем строку разложения (в данном случае — вторую), после чего последовательно поступаем следующим образом.

Первый элемент второй строки, то есть 2, домножаем на его алгебраическое до-

Далее — то же самое проделываем со вторым и с третьим элементами второй строки, после чего все складываем.

Пример 107 Вычислим следующий определитель разложением по первому столбцу.

= 2 · (8 + 1) + 1 · (0 + 3) · (−1) + 3 · (0 − 12) = 18 − 3 − 36 = −21.

Здесь мы фиксировали первый столбец и с его элементами проделали то же, что с элементами второй строки в предыдущем примере.

Итак, мы рассмотрели три способа вычисления определителей: по определению, сведением к треуголному виду по методу Гаусса и разложением по строке или столбцу. Наиболее трудоемким является первый из них, так как именно вычисление определителя по определению требует наибольшего количества арифметических действий. Наиболее алгоритмически упорядочен, конечно же, метод Гаусса. Все компьютерные алгоритмы вычисления определителей основаны именно на методе Гаусса (или его модификациях).

Что же касается метода разложения, то это наиболее быстрый способ для ручного вычисления, хотя, конечно, он требует фантазии для того, чтобы им воспользоваться — ведь разложение можно осуществлять по любой строке и по любому столбцу, как выбрать наиболее выгодный ход?

Ответ следующий. Метод разложения дает колоссальную вычислительную экономию в том случае, когда строка (или столбец) разложения содержат единственный ненулевой элемент: ведь тогда вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителя (n − 1)-го порядка! Если же такой строки (или столбца) в исходной матрице нет, то ее (или его) нужно организовать.

Пример 108 Мы видим, что второй столбец определителя содержит единственный ненулевой элемент. Поэтому разложение этого определителя по второму столбцу содержит единственное ненулевое слагаемое:

Итак, если перед нами стоит задача вычисления определителя, то наиболее целесообразно скомбинировать все известные нам методы для достижения наибольшей экономичности в вычислении. А именно: следует предварительно преобразовать определитель таким образом, чтобы в какой-нибудь его строке (или в каком-нибудь столбце) остался единственный ненулевой элемент, после чего устроить разложение по этой строке (или по этому столбцу).

Пример 109 В этом примере нетрудно заметить, что первая и третья строки определителя очень похожи друг на друга (точнее, отличаются только первым элементом). Мы можем воспользоваться этим для того, чтобы упростить вычисления.

После вычитания третьей строки из первой в первой строке остался единственный ненулевой элемент, и мы устраиваем разложение по первой строке.

A.2 Действия с матрицами

Как мы установили, множество квадратных матриц одного порядка n образует алгебру, которая называется полной матричной алгеброй и обозначается Matr n (см. раздел 2.1.2, стр. 21). Это означает, что с квадратными матрицами одного порядка можно выполнять следующие действия: сложение,

умножение на число и умножение8. Сложение матриц и скалярное кратное являются тривиальными операциями (см. опр. 3, стр. 19 и опр. 4, стр. 19, а также — соответствующие примеры). Мы не рассматриваем их в приложении, уделяя основное внимание матричному умножению (см. раздел A.2.1, стр.165).

Кроме того, невырожденные матрицы допускают матричное обращение (матричный аналог операции деления на множестве чисел). Этой операции посвящен отдельный раздел (см. раздел A.2.2, стр. 167).

A.2.1 Умножение матриц

Необходимые сведения о матричных действиях представлены в соответствующем теоретическом разделе (см. раздел 2.1.1, стр. 18). Из соображений удобства практического изучения материала мы продублируем здесь теоретический минимум.

Определение 70 (произведение матриц) Пусть имеется матрица A

Matr m×p и матрица B Matr p×n. Тогда их произведением AB (именно в этом порядке, а не наоборот) называется матрица C Matr m×n, компоненты которой вычислются по следующим формулам:

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aipbpj .

Другими словами — для того, чтобы вычислить к омпоненту произведения, находящуюся на месте с номером ij, нужно i-ю строку первого множителя умножить на j-й столбец второго множителя.

Пример 110 Возьмем две прямоугольные матрицы: A Matr 2×3 и B Matr 3×2:

Согласно определению (см. опр. 70, стр. 165), для этой пары матриц призведение AB определено (так как число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). В резултате такого действия получится матрица порядка 2 × 2, и для ее записи нам нужно вычислить четыре ее компоненты:

1.1) 1 · 2 + 0 · 1 + (−3) · 0 = 2

здесь мы вычисляем первую-первую компоненту результирующей матрицы, для этого — умножаем первую строку первого множителя на первый столбец второго множителя;

1.2) 1 · 0 + 0 · (−2) + (−3) · 2 = −6

далее мы вычисляем первую-вторую компоненту результирующей матрицы, для этого — умножаем первую строку первого множителя на второй столбец второго множителя;

2.1) 2 · 2 + 1 · 1 + (−1) · 0 = 5

далее мы вычисляем вторую-первую компоненту результирующей матрицы, для этого — умножаем вторую строку первого множителя на первый столбец второго множителя,

8Напомним, кроме того, что матричное умножение ассоциативно (см. теор. 3, стр. 23)

инекоммутативно (см. теор. 2, стр. 22)

Пример 111 Любые две квадратные матрицы одного порядка можно перемножать, но нельзя менять местами множители. Продемонстрируем это. Пусть

В результате умножения получится матрица порядка 2 × 2. Ее компоненты мы вычисляем так же, как в предыдущем примере:

и произведение двух матриц, вычисленное в обратном порядке выглядит следую-

Мы видим, что результат умножения существенно зависит от порядка множителей (это иллюстрирует свойство некоммутативности матричного умножения).

зумеется, мы не в состоянии этого сделать. Однако мы можем сделать то, что в наших силах: возвести матрицу в квадрат, затем — в куб и т. д. Для начала вычислим квадрат матрицы:

Далее мы можем найти третью степень матрицы:

Теорема 87 (о вычислении обратной матрицы) Пусть матрица A обратима. Тогда матрица A−1 может быть вычислена по следующей формуле:

˜

где A — матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы A, а T означает транспонирование.

помощи алгебраических дополнений (см. теор. 87, стр. 168), нам необходимо знать:

1.определитель исходной матрицы,

2.девять алгебраических дополнений к каждому из девяти элементов исходной матрицы.

Вычислим определитель:

3 1

Здесь мы предварительно преобразовали определитель так же, как мы делали это выше (см. раздел A.1.2, стр. 159), а затем разложили его по первому столбцу. Далее — перейдем к вычислению алгебраических дополнений (см. опр. 69, стр. 162 и соответствующие примеры).

Следовательно, матрица ˜ нам известна, и после транспонирования (то есть —

A

после операции, меняющей ролями ее строки и столбцы, или, если угодно, после ее симметричного отражения относительно главной диагонали) она приобретает следующий вид:

Теперь, наконец, мы можем записать, пользуясь заявленной выше формулой (см. теор. 87, стр. 168), выражение для обратной матрицы: