0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

Определение 79 (матрица перехода) Пусть V — векторное пространство, и пусть e1, e2, . . . , en — его базис. Рассмотрим еще один базис пространства V : пусть он состоит из векторов f1, f2, . . . , fn. Векторы fi, будучи векторами векторного пространства V , раскладываются по базису E:

Матрицей AE→F перехода от базиса e1, e2, . . . , en к базису f1, f2, . . . , fn называется матрица коэффициентов разложений, выписанных по столбцам:

Теорема 93 (о замене базиса) Пусть V — векторное пространство и пусть e1, e2, . . . , en — его базис. Пусть f1, f2, . . . , fn — еще один базис пространства V . Тогда

xF = A−1xE x V,

где xF — координатное представление вектора x в базисе f1, f2, . . . , fn, xE — координатное представление вектора x в базисе e1, e2, . . . , en, A — матрица перхода от базиса E к базису F .

Пример 131 Пусть R2 — двухмерное векторное пространство с базисом e1, e2. Пусть f1, f2 — новый базис в R2, и пусть

f1 = 2e1 + e2 f2 = e1 + e2

Требуется найти координаты вектора x в базисе f1, f2, если в базисе e1, e2 вектор x имеет координаты (1, −1).

Будем действовать согласно теореме о замене базиса (см. теор. 93, стр. 191). Мы можем выразить координатное представление вектора x в новом базисе через его координатное представление в старом базисе при помощи матрицы перехода (см. опр. 79, стр. 191):

xF = A−1xE .

Матрица перехода выписывается из разложений базиса F по базису E:

Для нахождения матрицы, обратной к матрице перехода, восползуемся методом Гаусса (см. теор. 88, стр. 169):

Окончательно выражение для координат вектора x в базисе F имеет следующий вид:

Пример 132 Усложним задачу. Пусть на плоскости R2 фиксирован базис e1, e2, и пусть имеются еще два базиса:

Требуется найти координатное представление ветора x в базисе H, если известны его координаты в базисе F : xF = (1, 2).

Задача опять-таки решается при помощи матрицы перехода (см. опр. 79, стр. 191). Только на этот раз переходить придется от базиса F к базису H:

xH = A−1xF , где A — матрица перехода от базиса F к базису H.

Для того, чтобы выписать матрицу A, нужно знать, как выражаются базисные векторы h1, h2 через базисные векторы f1, f2. Исходя из разложений этих векторов по базису e1, e2, мы можем получить нужное нам выражение. Прежде всего, запишем разложения h1, h2 и f1, f2 в матричной форме:

Из этих двух матричных соотношений мы можем получить выражения для e1, e2:

Приравнивая левые части, получим матричное соотношение, связывающее векторы f1, f2 и h1, h2:

Таким образом, мы получили выражение для векторов h1, h2 через f1, f2:

Разложение векторов h1, h2 по базису f1, f2 таково:

Теперь мы можем вернуться к нахождению координатного представления вектора x в базисе F :

Таким образом, координатное представление вектора x в базисе F таково:

B.2 Линейные операторы

Линейные операторы образуют обширный класс преобразований плоскости, или, в более общем смысле, векторного пространства произвольной размерности. Во второй главе (см. главу 2, стр. 17) мы развили теоретический аппарат, посвященный таким преобразованиям. Здесь мы подробно разберем конкретные примеры.

для любых векторов x, y из пространства V и для любого числового коэффициента α.

Пример 133 Рассмотрим несколько важных примеров (см. раздел 2.3, стр. 44). В качестве векторного пространства возьмем плоскость R2. Такие преобразования плоскости как:

1.поворот плоскости на угол α относительно начала координат (мы будем обозначать его в дальнейшем Rα),

2.симметричное отражение плоскости относительно прямой l, проходящей через начало координат (обозначаемое в дальнейшем Ql),

3.масштабирование плоскости относительно начала координат с коэффици-

ентами k1 по горизонтали и k2 по вертикали (обозначаемое в дальнейшем

Sk1,k2 )

являются линейными операторами, действующими на плоскости. Большинство разумных преобразований плоскости могут быть получены как суперпозиция этих в некотором смысле основных линейных операторов.

Сдругой строны, такое важное преобразование плоскости, как

4.смещение (или трансляция) плоскости на вектор a (обозначаемое в дальнейшем Ta), не является линейным оператором.

B.2.1 Матрицы линейных операторов

Численный механизм работы с линейными операторами состит в том, что если в векторном пространстве фискирован базис, то любой линейный оператор, действующий в нем, описывается как матрица соответствующего порядка (на плоскости — второго, в физическом пространстве — третьего и т. д.).

В данном разделе мы разберем конкретные примеры построения матриц линейных операторов. Теоретический аппарат, обосновывающий эти действия, был разработан нами в первой части книги (см. главу 2, стр. 17). Здесь мы продублируем необходимый теоретический минимум.

Определение 81 (матрица линейного оператора) Пусть V — векторное пространство, в котором фиксирован базис e1, e2, . . . , en, и пусть в V действует линейный оператор ϕ : V → V . Под действием оператора ϕ базисные векторы e1, e2, . . . , en переходят в векторы ϕ(e1), ϕ(e2), . . . , ϕ(en), которые, будучи векторами векторного пространства V , допускают разложение по базису:

ϕ(en) = a1ne1 + a2ne2 + · · · + annen

Коэффициенты этих разложений, выписанные по столбцам, называются матрицей оператора ϕ. Как явствует из определения, матрица оператора зависит от выбора базиса в векторном пространстве. Поэтому правильнее говорить о матрице линейного оператора, выписанной в данном базисе:

Пример 134 Пусть на плоскости R2 фиксирован базис e1, e2. Пусть на плоскости действует отображение ϕ:

В этом примере мы сначала докажем, что отображение ϕ : R2 → R2 является линейным оператором, а затем выпишем его матрицу в том базисе, в котором даны координаты векторов.

Для доказательства линейности ϕ достаточно показать, что этот оператор обладает свойствами, указанными в определении (см. опр. 80, стр. 193). Пусть векторы x и y имеют следующие координаты

= ϕ (x) + ϕ (y) .

Аналогично можно расписать действие ϕ на скалярное кратное α x:

Эти соотношения в совокупности означают, что, согласно определению (см. опр. 80, стр. 193), отображение ϕ, действующее на плоскости, действительно является линейным оператором.

Наша следующая цель — выписать матрицу этого оператора в указанном базисе. Для этого надо знать, во что переходят базисные векторы e1, e2 под действием оператора ϕ. Заметим, что в базисе e1, e2 базисные векторы имеют следующие координаты:

и мы можем записать разложения образов базисных векторов по базису:

Пример 135 Пусть в физическом пространстве R3 фиксирован базис e1, e2, e3 и пусть в R3 действует оператор

Доказательство того, что этот оператор является линейными, проводится так же, как и в предыдущем примере. Здесь мы ограничимся тем, что выпишем матрицу оператора в том базисе, в котором указаны координаты всех векторов. Для этого подействуем оператором ϕ на базисные векторы e1, e2, e3, координаты которых таковы:

Будем действовать по тому правилу, которое указано в определении данного оператора:

Теперь мы можем записать разложения образов базисных векторов по базису:

Пример 136 Рассмотрим в трехмерном физическом пространстве R3 тройку линейно независимых векторов a1, a2, a3 и тройку произвольных векторов b1, b2, b3. Заметим, что тогда существует единственный линейный оператор ϕ, переводящий векторы ai в bi. Требуется найти матрицу этого оператора в том базисе, в котором даны координаты всех векторов, если:

Итак, по условию, оператор ϕ переводит векторы ai в векторы bi:

Мы можем в левой части последней системы воспользоваться свойствами линейного оператора (см. орп. 80 на стр. 193) и записать ее в терминах образов ϕ (e1),ϕ (e2), ϕ (e3) базисных векторов, разложения которых нам нужны для записи матрицы оператора ϕ:

Для разрешения этой системы относительно ϕ (e1),ϕ (e2), ϕ (e3) мы воспользуемся еще одним вариантом метода Гаусса, который состоит в следующем. Выпишем в виде единой таблицы коэффициенты при ϕ (e1),ϕ (e2), ϕ (e3) и при e1, e2, e3, после чего при помощи элементарных преобразований строк приведем левую часть к единичному виду. Тогда в правой части окажутся как раз коэффициенты нужных

Все эти преобразования являются проективными. Теоретические основы работы с проективными пространствами и проективными операторами получены нами в завершающей главе первой части (см. главу 3, стр. 63). Здесь мы продублируем остновные понятия и утверждения, доказанные нами выше.

Определение 82 (проективная плоскость) Пусть в физическом пространстве R3 фиксирован ортонормированный базис e1, e2, e3. Плоскость, проведенную через точку (0, 0, 1) параллельно векторам e1, e2, будем называть проективной плоскостью и обозначать P 2.

Определение 83 (проективые координаты) Согласно данному выше определению (см. опр. 82, стр. 199), все точки, лежащие в P 2, имеют координаты (α1, α2, 1), а все векторы, лежащие в P 2, имеют координаты (α1, α2, 0). Эти координаты (снабженные одной “лишней” компонентой) называются соответственно проективными координатами точки и вектора.

Определение 84 (проективный оператор) Пусть проективная плоскость вложена в объемлющее трехмерное пространство P 2 R3, снабженное ортонормированным базисом e1, e2, e3, и пусть в объемлющем пространстве действует линейный оператор ϕ. Он называется проективным оператором, действующим на проективной плоскости P 2, если под его действием плоскость P 2 переходит в себя: ϕ (P 2) = P 2.

Так как проективный оператор является, по сути, линейным оператором, действующим в объемлющем пространстве, то при фиксированном ортонормированном базисе в объемлющем пространстве он реализуется в виде матрицы 3 × 3, причем справедлива следующая теорема.

Теорема 95 (матрицы основных проективных операторов) Мы отнесем к основным преобразованиям проективной плоскости:

1.трансляцию Ta на вектор a с координатами (a1, a2, 1),

2.поворот относительно начала координат Rα,

3.симметричные отражения относительно осей Qx, Qy ,

4.масштабирование вдоль осей Sk1,k2 с коэффициентами k1 по горизонтали и k2 по вертикали.

Все эти преобразования являются проективными операторами, причем, их матрицы в ортонормированном базисе следующие: