0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

Аналогично получается утверждение для симметрии Qy относительно вертикальной оси (см. рис. 2.9, стр. 60).

Теорема 29 (матрица оператора масштабирования) В ортонормированном базисе e1, e2 матрица оператора Sk1,k2 масштабированния плоскости π с коэффициентами k1 по горизонтали и k2 по вертикали имеет вид:

Доказательство Пусть на плоскости π фиксирован ортонормированный базис e1, e2.

Под действием оператора масштабирования Sk1,k2 единичный квадрат переходит в прямоугольник со сторонами k1, k2. При этом, так как вектор e1 лежит на горизонтальной оси, он просто растягивается в k1 раз, то есть — переходит в вектор k1 · e1 (см. рис. 2.10, стр. 61). Аналогично — вектор e2 переходит в вектор k2 · e2. Следовательно:

Рис. 2.10: Действие операторов масштабирования на базисные векторы.

Пример 47 На плоскости π фиксирован ортонормированный базис e1, e2. Вычислить координаты вектора, в который перейдет вектор x = (1, 1) под действием оператора, сначала симметрично отражающего плоскость относительно горизонтальной оси, а затем — поворачивающего ее на угол π/4.

Интересующий нас оператор η — это произведение операторов Qx отражения относительно горизонтальной оси и Rπ/4 поворота на угол π/4:

η = Rπ/4Qx .

Отметим, что в силу некоммутативности алгебры линейных операторов (см. пример 41, стр. 53), произведение следует брать именно в этом порядке (справа налево: сначала на аргумент действует отражение, а уже потом — поворот).

Далее мы должны перевести оператор η в матричную форму. В силу теоремы о матрице произведения линейных операторов (см. теор. 24, стр. 57), матрица оператора η — это произведение двух матриц: матрицы оператора отражения и матрицы оператора поворота (произведение опять-таки берется в соответствующем порядке, а не иначе). Мы можем воспользоваться тем, что матрицы множителей нам известны (см. тер. 28, стр. 60 и теор. 27, стр. 59):

Теперь — воспользуемся теоремой о действии линейного оператора на вектор в матричной форме (см. теор. 21, стр. 56) и получим ответ:

3.2Проективные операторы

Здесь мы предъявим способ реализации всевозможных преобразований проективной плоскости в виде матриц 3 × 3.

Ключевым результатом этого раздела является теорема о проективности полскопараллельного смещения (см. теор. 35, стр. 68). Совместно с матричной реализацией поворотов, симметрий и масштабировний полученной выше, этот результат даст метод аналитического описания любого преобразования плоскости.

Определение 32 (проективный оператор) Пусть P 2 — это проективная плоскость, вложенная в объемлющее трехмерное векторное пространство R3. Далее, пусть в объемлющем пространстве действует линейный оператор ϕ:

ϕ : R3 −→ R3 .

Он называется проективным оператором, действующим в проективной плоскости P 2, если под его действием проективная плоскость P 2 переходит в себя:

ϕ : P 2 −→ P 2 .

Пример 48 Пусть P 2 — проективная плоскость, вложенная в объемлющее трехмерное пространство R3. Далее, пусть в R3 фиксирован ортонормированный базис e1, e2, e3, на котором построена координатная система. Рассмотрим поворот Rα объемлющего пространства относительно оси Oz на угол α:

Rα : R3 −→ R3 .

Он, очевидно, является линейным оператором. При этом под его действием проективная плоскость P 2 переходит в себя:

Rα : P 2 −→ P 2 .

Таким образом, мы получаем проективный оператор, действующий в проективной плоскости P 2, поворотом относительно начала координат на угол α.

С другой стороны, если мы рассмотрим поворот объемлющего пространства R3 на угол α относительно любой другой прямой, например, относительно оси Ox, то под действием такого преобразования плоскость P 2 перейдет в какую-то другую плоскость, но не в себя. Следовательно, несмотря на то, что этот поворот тоже является линейным оператором, действующим в объемлющем пространстве, он не является проективным оператором, действующим в проективной плоскости P 2.

Определение 33 (матрица проективного оператора) Пусть на проективной плоскости P 2 действует проективный оператор ϕ:

ϕ : P 2 −→ P 2 .

Его матрицей называется матрица соответствующего линейного оператора, действующего в объемлющем векторном пространстве:

ϕ : R3 −→ R3 .

Пример 49 Рассмотрим поворот Rα проективной плоскости P 2 на угол α относительно начала координат. В объемлющем пространстве R3 ему соответствует поворот на угол α относительно вертикальной координатной оси Oz. Матрицу этого оператора нетрудно выписать. Так как в объемлющем пространстве фиксирован ортонормированный базис e1, e2, e3, то:

Из этих разложений, пользуясь определением матрицы линейного оператора, получаем:

Рассмотренный пример является частным случаем общей ситуации, которую мы изложим в виде следующей теоремы.

Теорема 31 (о матрице проективного оператора) Пусть на плоскости

π фиксирован ортонормированный базис e1, e2, и пусть она вложена как проективная плоскость P 2 в объемлющее трехмерное пространство R3, в котором фиксирован ортонормированный базис e1, e2, e3. Пусть на плоскости π действует линейный оператор ϕ:

ϕ: π −→ π ,

ипусть его матрица, выписанная в базисе e1, e2 — это:

Тогда матрица соответствующего проективного оператора ϕ, действующего на проективной плоскости

ϕ : P 2 −→ P 2 ,

имеет следующий блочно-диагональный вид:

Доказательство По определению проективного оператора (см. опр. 32, стр.65), линейный оператор, действующий в объемлющем пространстве, на первые два базисных вектора e1 и e2 действует так же, как и на плоскости π, а третий базисный вектор e3 переводит в себя.

Подействуем на базисные векторы e1, e2 плоскости π в матричной форме:

Следовательно, продолжая действие оператора на объемлющее пространство, получим:

Применим определение матрицы линейного оператора, выписывая коэффициенты разложений по столбцам, и получим требуемое.

Теорема доказана.

Теперь, при помощи этой теоремы, мы можем накрыть очень широкий блок проективных операторов, пользуясь теми результатами, которые получили выше.

Теорема 32 (матрицы проективных поворотов) Матрицы проективных поворотов Rα проективной плоскости P 2 на угол α относительно начала координат имеют вид:

Теорема 33 (матрицы проективных симметрий) Матрицы проективных симметрий Qx и Qy проективной плоскости P 2 относительно осей Ox и Oy соответственно имеют вид:

Теорема 34 (матрицы проективных масштабирований) Матрицы проективных масштабирований Sk1,k2 проективной плоскости P 2 относительно начала координат с коэффициентом k1 по горизонтали и с коэффи-

Все эти утверждения напрямую получаются из только что доказанной теоремы (см. теор. 31, стр. 66) с учетом результатов, полученных ранее относительно матриц операторов поворота (см. теор. 27, стр. 59), симметрий (см. теор. 28, стр. 60) и масштабирования (см. теор. 29, стр. 61). Их доказательства мы опускаем (они тривиальны).

Пример 50 Треугольник с вершинами A(1, −1), B(2, 3), C(−2, 5) равномерно двукратно масштабируется относительно начала координат. Вычислить координаты результирующего треугольника A B C .

Перейдем к проективным координатам A = (1, −1, 1), B = (2, 3, 1), C = (−2, 5, 1) и воспользуемся матричным представлением проективного масштабирования:

Аналогично — B = (4, 6, 1), C = (−4, 10, 1). Следовательно, возвращаясь к декартовым координатам, имеем: A (2, −2), B (4, 6), C (−4, 10).

Пример 51 Треугольник с вершинами A(2, 1), B(2, 3), C(4, 1) поворачивается на угол π/2 относительно начала координат. Вычислить координаты результирующего треугольника A B C .

Перейдем к проективным координатам A = (2, 1, 1), B = (2, 3, 1), C = (4, 1, 1) и воспользуемся матричным представлением проективного вращения:

Аналогично — B = (−3, 2, 1), C = (−1, 4, 1). Следовательно, возвращаясь к декартовым координатам, имеем: A (−1, 2), B (−3, 2), C (−1, 4).

Пример 52 Треугольник с вершинами A(2, 2), B(3, 4), C(3, 2) симметрично отражается относительно вертикальной оси Oy. Вычислить координаты результирующего треугольника A B C .

Перейдем к проективным координатам A = (2, 2, 1), B = (3, 4, 1), C = (3, 2, 1) и воспользуемся матричным представлением проективной симметрии:

Аналогично — B = (−3, 4, 1), C = (−3, 2, 1). Следовательно, возвращаясь к декартовым координатам, имеем: A (−2, 2), B (−3, 4), C (−3, 2).

Однако полученные матричные выражения для основных линейных преобразований плоскости не привнесли ничего нового в уже имевшийся у нас инструментарий работы с плоскостью. Те же самые действия мы могли бы выполнять и в декартовых координатах. Принципиально новым же является тот факт, что смещение плоскости мы можем реализовать в виде проективного оператора и, следовательно, в виде матрицы 3 × 3. Этот результат дает нам следующая теорема.

Теорема 35 (проективность смещения) Пусть преобразование Ta действует на плоскости π смещением на вектор a = (a1, a2) (предполагается, что на плоскости фиксирован ортонормированный базис e1, e2). Тогда Ta является проективным оператором, действующим на проективной плоскости P 2, причем он обладает следующей матрицей:

Доказательство

Рассмотрим в объемлющем пространстве R3 преобразование Swa скоса на вектор a, действующее на базисные векторы следующим образом:

Swa(e3) = e3 + a .

Рис. 3.3: Примеры линейных преобразования плоскости, использующих смещения.

трансляцию T−b на вектор −b = (1, 3).

00 1

Теперь можно вычислить координаты результирующего треугольника просто при помощи матричного умножения. Для этого — переходим к проективным координатам:

Пример 54 Треугольник с вершинами A(2, 3), B(2, 5), C(4, 4) симметрично отражается относительно прямой l : y = 2 (см. рис. 3.3, стр. 70). Найти координаты вершин результирующего треугольника A B C .

Выше мы отнесли к основным плоским преобразованиям симметричные отражения Qx, Qy плоскости относительно координатных осей. Поэтому для реализации