0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

Пример 70 (первый замечательный предел) Покажем, что предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Пусть DB — длина перпендикуляра, опущенного из точки B на радиус OA, и пусть AC — отрезок

xкасательной, проведенной к окружности в точке

или, умножая это двойное неравенство на 2:

sin x < x < tg x .

Разделим все части полученного двойного неравенства на положительную величину sin x:

Очевидно, что при x, стремящемся к нулю, cos x стремится к 1. Поэтому функция sin x/x заключена между функциями, имеющими общий предел, равный единице. Отсюда, на основании теоремы о промежуточной функции (см. теор. 49, стр. 110),

заключаем:

lim sin x = 1 .

x→0 x

Пример 71 (второй замечательный предел) Покажем, что

Введем натуральный аргумент n = [x], где квадратные скобки означают целую часть числа. Тогда

причем последовательности в левой и в правой частях этого двойного неравенства имеют одинаковый предел e (см. пример 67, стр. 107). Отсюда, на основании теоремы о пределе промежуточной функции (см. теор. 49, стр. 110), заключаем:

Определение 48 (бесконечно малые функции, порядок малости)

Прежде всего отметим, что, по аналогии с бесконечно малыми последовательностями (см. опр. 43, стр. 99), функция α(x) называется бесконечно малой в окрестности точки a, если ее предел в этой точке равен нулю.

Пусть α(x) и β(x) — две бесконечно малые функции. Тогда

1.Они называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения конечен и отличен от нуля:

lim α(x) = c = 0 .

x→a β(x)

2.Они называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице:

lim α(x) = 1 .

x→a β(x)

Эквивалентность бесконечно малых обозначается следующим образом: α β.

3.Наконец, бесконечно малая функция α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, нежели бесконечно малая функция β(x), если

lim α(x) = 0 .

x→a β(x)

Этот факт обозначается следующим образом: α(x) = o(β(x)).

Пример 72 Функции sin x и x являются эквивалентными бесконечно малыми в окрестности нуля (см. опр. 48, стр. 112 и пример 70, стр. 111).

Пример 73 Функция x2 в окрестности нуля имеет больший порядок малости, нежели функция x, так как:

lim x2 = lim x = 0 .

x→0 x x→0

Отсюда, на основании определения порядка малости (см. опр. 48, стр. 112), заключаем: x2 = o(x) в окрестности нуля6.

Теорема 50 (асимптотические формулы) В окрестности нуля справедливы следующие формулы:

1.sin x = x + o(x),

2.cos x = 1 − x2/2 + o(x2),

6Соотношение α(x) = o(β(x)) обладает рядом специфичных свойств. Его нельзя воспринимать, как обычное равенство. Фактически оно означает, что функция α(x) принадлежит к классу функций более высокого порядка малости, нежели функция β(x). Поэтому, например, равенство x2 = o(x) является верным, а запись вида o(x) = x2 не верна, так как нельзя утверждать, что весь класс функций более высокого порядка малости, нежели x исчерпывается единственной функцией x2. Принимая это во внимание, можно понять, почему, например, o(x2 + x) = o(x2) или o(3x) = o(x) и т. д. — речь идет о классах функций, а не о точных равенствах.

Теорема доказана.

Таким образом, имеется два эквивалентных определения непрерывности функции в точке: собственно в смысле определения (см. опр. 49, стр. 114) и в смысле доказанной только что теоремы (см. теор. 51, стр. 114). В зависимости от ситуации, мы будем пользоваться тем или иным определением.

Понятие непрерывности в точке непосредственно обобщается на произвольные множества точек числовой прямой.

Определение 50 (непрерывность на множестве) Функция f (x) называется непрерывной на некотором множестве X (в качестве которого могут выступать открытые и замкнутые интервалы как конечные, так и бесконечные), если она непрерывна в любой точке этого множества.

Далее нас будут интерсовать условия, при которых функции являются непрерывными.

Теорема 52 (о суперпозиции непрерывных функций) Суперпозиция непрерывных функций является непрерывной функцией.

Доказательство Пусть имеется сложная функция y = g(f (x)). Пусть функция f (x) непрерывна в точке x0, а функция g(f ) непрерывна в точке f0 = f (x0). Придадим переменной x бесконечно малое приращение ∆x в точке x0. Тогда, в силу непрерывности функции f (x), она получит бесконечно малое приращение ∆f (см. теор. 51, стр. 114). В силу тех же причин, функция g(f ) при бесконечно малом приращении аргумента ∆f получит бесконечно малое приращение ∆g.

Итак, мы показали, что бесконечно малому приращению переменной x отвечает бесконечно малое приращение функции g. В силу теоремы о геометрическом смысле непрерывности (см. теор. 51, стр. 114), это означает, что функция g является непрерывной функцией переменной x.

Теорема 53 (о неперерывности элементарных функций) Основные элементарные функции7 являются непрерывными.

Доказательство Нам нужно доказать, что функции y = xn, y = sin x, y = cos x и y = ax являются непрерывными.

1.Случай степенной функции y = xn является тавтологичным. Действительно в силу свойств пределов (см. теор. 48, стр. 109), имеем:

n

По определению (см. опр. 49, стр. 114) это означает непрерывность степенной функции в любой точке.

7Напомним, что основных элементарных функций не так много: к ним относятся степенные, тригонометрические и показательные функции. Все остальные элементарные функции получаются при помощи алгебраических операций, суперпозиций и обращений основных элементарных функций.

2.Сложнее обстоит дело с тригонометрическими функциями. Обозначим y = x − a, откуда x = y + a. Если x стремится к a, то при этом y стремится к нулю. Поэтому:

lim sin x = lim sin(y + a) = lim (sin y cos a + cos y sin a) =

= cos a lim sin y + sin a lim cos y =

= cos a lim (y + o(y)) + sin a lim (1 − y2/2 + o(y2)) =

= cos a · 0 + sin a · 1 = sin a .

Прокомментируем выкладку. Сначала мы по известным тригонометрическим формулам преобразовали синус суммы. Затем — воспользовались свойствами пределов (см. теор 48, стр. 109) и вынесли постоянные множители sin a и cos a из под знаков пределов. После чего применили асимптотические формулы (см. теор. 50, стр. 112) к функциям sin y и cos y и, наконец, вычислили оставшиеся пределы, пользуясь определением бесконечно малых (см. опр. 48, стр. 112).

В результате, мы получили:

lim sin x = sin a ,

x→a

что, по определению (см. опр. 49, стр. 114) означает непрерывность функции sin x в любой точке a.

3.Непрерывность функции cos x доказывается аналогично (с ипользованием формулы косинуса суммы).

4.Покажем непрерывность показательной функции ax. Обозначим y = x − b, откуда x = y + b. Если x стремится к b, то при этом y стремится к нулю. Поэтому:

lim ax = lim ay+b = ab lim ay = ab lim (1 + y ln a + o(y)) = ab .

x→b y→0 y→0 y→0

Комментарии к выкладке будут излишними (они повторяют уже сказанное выше). Из полученного соотношения

lim ax = ab

x→a

заключаем: показательная функция ax является непрерывной для любого a (см. опр. 49, стр. 114).

Теорема доказана.

Определение 51 (класс C0) О множестве функций, непрерывных на множестве X, говорят, что они принадлежат классу непрерывности C0.

Определение 52 Доказанные выше теоремы о непрерывных функциях позволяют утверждать, что, например, функция

y = ex2+x − 2x sin x

является непрерывной всюду, за исключением тех точек, в которых она не определена (то есть точек вида xn = πn, где n — любое целое число). Таким образом, эта функция принадлежит классу C0 на указанном множестве.

5.2Производные

В этом разделе мы разовьем одну из основных математических техник — технику дифференцирования, которая находит широчайшее применение в науке и технике. Далее, при построении интерполирующих кривых в форме Эрмита (см раздел 6.2, стр. 143), мы получим некоторые приложения этой техники. Однако не стот думать, что возможности дифференцирования ими исчерпываются.

Более подробно с вопросами дифференциального исчисления можно ознакомиться по многим классическим учебникам математического анализа: Г. М. Фихтенгольца [F], С. М. Никольского [N], Н. С. Пискунова [P] и т. д., а так же по учебникам высшей математики для втузов: Кудрявцева и Демидовича [KD], Шипачева [Sh] и других.

Практические задачи, относящиеся к данному разделу, представлены в приложениях (см. приложение C.1, стр. 205).

5.2.1Производная

В данном разделе мы вводим ключевое понятие математического анализа

— понятие производной функции в точке (см. опр. 53, стр. 117) и на множестве (см. опр. 54, стр. 118). Кроме того, мы получим обобщающее понятие непрерывности и очень важное для дальнейших целей8 понятие гладкости функции (см. опр. 56, стр. 119).

Определение 53 (производная функции в точке) Пусть функция f (x)

определена в некоторой окрестности точки x0. Пусть ∆x — приращение независимой переменной в этой точке, а ∆f — соответствующее ему приращение функции. Тогда, если существует предел

lim ∆F ,

∆x→0 ∆x

то он называется производной функции f (x) в точке x0.

Пример 75 Вычислим производную функции f (x) = x2 в точке x0 = 3. Придадим независимой переменной x бесконечно малое приращение ∆x. Тогда функция f (x) = x2 получит приращение

∆f = f (3 + ∆x) − f (3) = (3 + ∆x)2 − 32 = 9 + 6∆x + ∆2x − 9 = 6∆x + ∆2x .

8Речь идет о гладкости сопряжения сегментов кривой, сформированной по алгоритму Эрмита (см. раздел 6.2, стр. 143).

Пользуясь определением (см. опр. 53, стр. 117), составим выражение для производной функции в точке:

= lim 6 + lim ∆x = 6 .

∆x→0 ∆x→0

Определение 54 (производная функции на множестве) Пусть X —

некоторое числовое множество, в качестве которого может выступать интервал числовой прямой (открытый или замкнутый, конечный или бесконечный), и пусть функция f (x) определена на X. Если в каждой точке этого множества существует конечная производная функции f (x), то, сопоставляя каждому значению переменной x0 из X значение производной, вычисленное в этой точке, получим новую функцию, которая называется производной функции f (x) на множестве X. Она обозначается f (x).

Пример 76 Вычислим производную функции f (x) = x2 на всей числовой прямой. Зафиксируем произвольно некоторое значение переменной x0 и придадим независимой переменной x бесконечно малое приращение ∆x в точке x0. Тогда функция f (x) = x2 получит приращение

∆f = f (x0 + ∆x) −f (x0) = (x0 + ∆x)2 −x20 = x20 + 2x0∆x+ ∆2x−x20 = 2x0∆x+ ∆2x .

Пользуясь определением (см. опр. 53, стр. 117), составим выражение для производной функции в точке:

Таким образом, каждому значению переменной x0 соответствует значение производной, вычисляемое в этой точке по формуле 2x0. Согласно определению (см. пор. 54, стр. 118), это оначает, что

x2 = 2x .

Определение 55 (дифференцирование) Операция построения по данной функции ее производной называется дифференцированием.

Далее нас будут интересовать условия, при выполнении которых можно дифференцировать функции.

Теорема 54 (необходимое условие дифференцируемости) Пусть функция f (x) обладает производной в точке x0. Тогда она непрервна в этой точке.

Доказательство Придадим переменной x приращение ∆x в точке x0 Тогда функция f (x) получит в этой точке приращение ∆f . При этом имеет место очевидное алгебраическое тождество:

∆f = ∆∆fx · ∆x .

Перейдем в этом равенстве к пределу при бесконечно убывающем приращении ∆x:

lim ∆f = lim ∆f · lim ∆x = f · 0 = 0 .

∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0

Следовательно, бесконечно малому приращению аргумента x в точке x0 отвечает бесконечно малое приращение функции f в этой точке. Это означает (см. теор. 51, стр. 114), что функция f (x) является непрерывной в точке x0. Теорема доказана.

Как обычно, необходимый признак дифференцируемости удобнее рассматривать как раз наоборот: как достаточный признак недифференцируемости. Сформулируем это в виде следующего утверждения.

Теорема 55 (достаточное условие недифференцируемости) Если функция f (x) разрывна в точке x0, то не существует производной функции f в этой точке.

Доказательство Данное утверждение эквивалентно необходимому признаку дифференцируемости (см. теор. 54, стр. 118).

Теорема доказана.

Итак, если функция разрывна, то она заведеомо недифференцируема. Нельзя, однако, утверждать обратное: если функция непрерывна, то она не обязвтельно является дифференцируемой.

Пример 77 Например, функция y = |x| является непрерывной в любой точке, в частности и в точке x0 = 0. Однако, как мы вскоре убедимся, эта функция не обладает производной в нуле. То есть — производная модуля как функция терпит разрыв в нуле.

Определение 56 (класс C1, гладкие функции) О множестве функций, непрерывных на множестве X вместе со своими производными, говорят, что они принадлежат классу непрерывности C1 (их также называют гладкими функциями).

Пример 78 Согласно данным выше определениям классов непрерывности C0 и C1 (см. опр. 51 и 56, стр. 116, 119), можно утверждать, что функция y = x2 является гладкой (см. пример 76, стр. 118). С другой стороны (см. пример 77, стр. 119), |x| C0, но |x| / C1. То есть — модуль является непрерывной функцией, но не является гладкой.

5.2.2Правила дифференцирования

Этот раздел принесет нам первые практические результаты в области дифференцирования функций. Мы получим правила дифференцирования: правило дифференцирования суммы (см. теор. 56, стр. 119), правило дифференцирования произведения (см. теор. 57, стр. 120) и правило дифференцирования частного (см. теор. 58, стр. 121).

Теорема 56 (о дифференцировании суммы) Пусть две данные функции f (x) и g(x) имеют производные в точке x0. Тогда их сумма также имеет производную в точке x0, причем:

(f + g) = f + g .

Доказательство Пусть y = f + g. Придадим переменной x бесконечно малое приращение ∆x в точке x0. Тогда функция y получит приращение ∆y, причем:

y + ∆y = (f + ∆f ) + (g + ∆g) = (f + g) + (∆f + ∆g) .

Отсюда ∆y = ∆f + ∆g. Для вычисления производной функции y в точке x0 воспользуемся определением (см. опр. 53, стр. 117):

Теорема доказана.

Теорема 57 (о дифференцировании произведения) Пусть две функции f (x) и g(x) имеют производные в точке x0. Тогда их произведение также имеет производную в точке x0, причем:

(f g) = f g + f g .

Доказательство Пусть y = f g. Придадим переменной x бесконечно малое приращение ∆x в точке x0. Тогда функция y получит приращение ∆y, причем:

y + ∆y = (f + ∆f )(g + ∆g) = f g + ∆f g + f ∆g + ∆f ∆g .

Отсюда — ∆y = ∆f g +f ∆g +∆f ∆g. Для вычисления производной функции y в точке x0 воспользуемся определением (см. опр. 53, стр. 117):

=f g + f g + f · 0 = f g + f g .

Втечение выкладки мы пользовлись свойствами пределов (см. теор. 48, стр. 109), разбивая предел суммы в сумму пределов и вынося постоянные (не зависящие от приращения ∆x) множители.

Последнее звено выкладки нуждается в отдельном комментарии. Фигурирующий здесь предел приращения функции g обязан равняться нулю, так как функция g по условию теоремы обладает производной в точке x0 и, следовательно (см. теор. 54, стр. 118), является непрерывной. Бесконечно малому же приращению аргумента непрерывной функции отвечает бесконечно малое приращение функции (см. теор. 51, стр. 114).

Теорема доказана.