0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

бесконечно малая последовательность. Наконец, коэффициент перед скобкой — это ограниченная величина, так как ее знаменатель, очевидно, ограничен (он является суммой ограниченной величины b и бесконечно малой βn). Следовательно, последовательность γn является бесконечно малой как произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей (см. теор. 40, стр. 100).

Итак, мы представили частное последовательностей в виде:

xn = a + γn , yn b

где γn — бесконечно малая последовательность. Согласно доказанному нами выше утверждению о представлении сходящейся последовательности (см. теор. 42, стр. 102), последовательность {xn/yn} является сходящейся, при-

чем:

lim xn

n→∞ yn

Теорема доказана.

Пример 65 Вычислим следующий предел:

Прокомментируем выкладку. На первом шаге мы просто выполнили тождественное преобразование подпредельного выражения. Затем — применили теорему о пределе частного (см. теор. 45, стр. 104) и перешли к частному пределов. Далее при помощи теоремы о пределе суммы (см. теор. 43, стр. 102), и в числителе, и в знаменателе мы перешли к суммам пределов. После чего — воспользовались тем, что предел постоянной равен ей самой, и, самое главное, тем, что алгебраическое обращение бесконечно больших величин n и n2 есть величины бесконечно малые.

5.1.4Монотонные последовательности

В некоторых случаях мы не можем вычислить предел последовательности явно. Однако имеются приемы, одним из которых служит теорема о монотонной ограниченной последовательности (см. теор. 46, стр. 106), позволяющие утверждать, что предел все-таки существует. Более того, иногда удается получить численное значение предела с любой точностью, как, например, в случае с числом e (см. пример 67, стр. 107).

Определение 45 (монотонные последовательности) Определим следующие типы последовательностей:

1.Числовая последовательность {xn} называется возрастающей, если каждый последующий ее член строго больше предыдущего:

x1 < x2 < x3 < · · · < xn < . . .

2.Числовая последовательность {xn} называется неубывающей, если каждый последующий ее член не меньше предыдущего:

x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn ≤ . . .

3.Числовая последовательность {xn} называется убывающей, если каждый последующий ее член строго меньше предыдущего:

x1 > x2 > x3 > · · · > xn > . . .

4.Числовая последовательность {xn} называется невозрастающей, если каждый последующий ее член не больше предыдущего:

x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ · · · ≥ xn ≥ . . .

Последовательности, являющиеся возрастающими, неубывающими, убывающими или невозрастающими имеют общее название: они называются монотонными.

Пример 66 Проиллюстрируем данное определение примерами:

1.Последовательность xn = ln n является возрастающей, так как, в силу известного свойства логарифмической функции, большему значению аргумента отвечает большее значение функции.

2.Последовательность xn = n/2 является неубывающей5:

x1 = 0 ≤ x2 = 1 ≤ x3 = 1 ≤ x4 = 2 ≤ x5 = 2 ≤ . . .

3.Последовательность xn = 1/n является убывающей, так как большему значению знаменателя отвечает меньшее значение дроби.

4.Последовательность xn, определенная следующим образом

x1 = 1 , x2 = 0 , x3 = 0 , x4 = 0 , . . . ,

является, очевидно, невозрастающей.

5.Наконец, последовательность xn = (−1)n не является монотонной, так как не относится ни к одному из перечисленных типов (ее членами служат чередующиеся 1 и −1).

Теорема 46 (о монотонной ограниченной последовательности)

Если последовательность является монотонной и ограниченной, то она сходится.

Доказательство Ограничимся случаем, когда последовательность {xn} является возрастающей (остальные случаи разбираются аналогично). В этом случае

x1 < x2 < x3 < · · · < xn < . . .

С другой стороны, так как последовательность {xn} ограничена, то (см. опр. 42, стр. 97) существует такое число M , что

x1 < x2 < x3 < · · · < xn < · · · < M .

5Здесь квадратные скобки означают целую часть дробного числа.

Выберем из таких верхних границ наименьшую и обозначим ее a. Тогда в любой ее окрестности за счет возрастания последовательности {xn} находится бесконечное число членов последовательности. Это означает (см. опр. 39, стр. 96), что последовательность {xn} сходится, и ее пределом служит число a.

Теорема доказана.

Доказанная теорема находит широкое применение во всем курсе математического анализа. Проиллюстрируем ее применение следующим примером.

Пример 67 (число e) Здесь мы убедимся в том, что последовательность

является сходящейся, причем ее предел заключен между 2 и 3. Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Выполняя элементарные алгебраические преобразования в каждом слагаемом получим:

Все слагаемые в этой формуле положительны, причем с возрастанием показателя n растет и число слагаемых. Следовательно, последовательность {xn}, ничиная с наименьшего значения, равного 2, растет вместе с показателем n.

С другой стороны, очевидно, что каждое слагаемое в сумме увеличится, если все множители знаменателей заменить на 2, а каждую из скобок заменить на 1. Поэтому:

В силу известной формулы для вычисления суммы геометрической прогрессии, мы можем оценить сумму в правой части неравенства:

Отсюда, интересующее нас выражение не может возрастать неограниченно, оно ограничено сверху тройкой:

Таким образом, члены последовательности {xn} при возрастании n постояно возрастают, оставаясь больше 2 и меньше 3. Отсюда, на основании теоремы о монотонной ограниченной последовательности (см. теор. 46, стр. 106) можно сделать вывод, что последовательность {xn} сходится, причем ее предел заключен между 2 и 3.

Его точное значение не выражается в десятичных или рациональных дробях, однако приближенное значение можно вычислить с любой точностью:

e= 2. 7182818284 . . .

5.1.5Предел функции

Исторически сложилось так, что примерно в одно и то же время было дано два определения предела функции: определение Коши и определение Гейне. Эти определения эквивалентны (см. теор. 47, стр. 109). В зависимости от ситуации, используется то из них, которое удобнее для решения конкретной задачи.

Мы так же в ряде случаев будем использовать определение Коши, а в ряде случаев — определение Гейне.

Определение 46 (предел функции (Гейне)) Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если для любой последовательности аргументов {xn}, сходящейся к a, соответствующая последовательность значений функции {f (xn)} сходится к A. Этот факт обозначается следующим образом:

lim f (x) = A .

x→a

Пример 68 Покажем, например, пользуясь определением Гейне, что

lim (x2 + x + 1) = 3 .

x→1

Рассмотрим произвольную последовательность {xn}, сходящуюся к 1, и соответствующую ей последовательность {x2n + xn + 1} значений функции. Пользуясь свойствами сходящихся последовательностей (см. теор. 43, 44, стр. 102, 103), получим:

В силу определения Гейне предела функции (см. опр. 46, стр. 108), это означает, что

lim (x2 + x + 1) = 3 .

x→1

Определение 47 (предел функции (Коши)) Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если для любого, сколь угодно малого положительного ε существует такая δ-окрестность точки a, что

|f (x) − A| < ε для любого x из этой окрестности .

Так же, как и выше, этот факт обозначается следующим образом:

lim f (x) = A .

x→a

Доказательство Докажем первое утверждение (остальные доказываются аналогично). Воспользуемся определением Гейне предела функции в точке (см. опр. 46, стр. 108).

Пусть {xn} — произвольная последовательность, сходящаяся к a. Тогда соответствующая последовательность значений функции f (x) + g(x) — это f (xn) + g(xn). Пользуясь тем, что предел суммы последовательностей равен сумме их пределов (см. теор 43, стр. 102), получим:

Таким образом, для любой последовательности {xn}, сходящейся к a, соответствующая последовательность значений функции f (x) + g(x) сходится к A + B. В силу определения Гейне (см. опр. 46, стр. 108) это означает, что

lim (f (x) + g(x)) = A + B .

x→a

Теорема доказана.

Теорема 49 (о промежуточной функции) Пусть в некоторой окрестности точки a функция f (x) заключена между двумя функциями ϕ(x) и ψ(x), имеющими одинаковый предел A, то есть

ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x) , lim ϕ(x) = lim ψ(x) = A .

x→a x→a

Тогда функция f (x) имеет в точке a предел, причем, он тоже равен A:

lim f (x) = A .

x→a

Доказательство Здесь мы воспользуемся определением Коши предела функции в точке (см. опр. 47, стр. 108).

Имееющееся по условию теоремы двойное неравенство можно преобразовать, отняв от каждой его части число A:

ϕ(x) − A ≤ f (x) − A ≤ ψ(x) − A .

Отсюда, пользуясь свойствами модуля, заключаем:

Так как функции ϕ(x) и ψ(x) имеют в точке a предел, равный A, на основании определения Коши (см. опр. 47, стр. 108) имеем: для любого положительного ε существует такая δ-окрестность точки a, что одновременно |ϕ(x) − A| < ε и |ψ(x) − A| < ε для любого x, попадающего в δ-окрестность точки a.

Отсюда, на основании соотношения ( ), заключаем: для любого положительного ε существует такая δ-окрестность точки a, что

|f (x) − A| < ε , для любого x из этой δ-окрестности.

По определению Коши (см. опр. 47, стр. 108) это в точности означает, что

lim f (x) = A .

x→a

Теорема доказана.