0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

Прежде всего, преобразуем функцию, чтобы избавиться от использования ради-

калов в ее записи.

√ − 1 y = x + x 3 .

Теперь дифференцируемая функция — это сложная функция, у которой внешняя функция является степенной, а внутренняя — суммой двух элементарных (также степенных) функций. Поэтому:

√√

e2x

Пример 153 Продифференцировать функцию y = cos 3x .

Данная функция — это частное двух функций, каждая из которых является сложной (так же, как и в примере 151). Поэтому, прежде всего, применим правило дифференцирования частного (теор. 97, стр. 206), а уже затем ко всем оставшимся производным — правило дифференцирования сложной функции (теор. 98, стр. 208):

= 2e2x cos 3x + 3e2x sin 3x . cos2 3x

Пример 154 Пусть требуется вычислить производную функции y при конкретном значении переменной x:

y = e3x cos 5x , при x = 0 .

Прежде всего, продифференцируем данную функцию, пользуясь правилами дифференцирования (теор. 97, стр. 206 и теор. 98, стр. 208):

y = (e3x) cos 5x + e3x(cos 5x) = e3x(3x) cos 5x + e3x(− sin 5x)(5x) =

= 3e3x cos 5x − 5e3x sin 5x .

Теперь в найденную функцию y мы можем в качестве аргумента подставить x = 0 и получить результат:

y (0) = 3e0 cos 0 − 5e0 sin 0 = 3 · 1 · 1 − 5 · 1 · 0 = 3 .

Итак, значение производной при фиксированном значении переменной — это конкретное число (в данном случае y (0) = 3).

Ответом в этой задаче служит следующая функция:

Пример 157 Вычислить значение производной функции p(u), заданной параметрически, при указанном значении параметра u:

Прежде всего, вычислим функцию, являющуюся производной функции p(u). Для этого (так же, как и выше) продифференцируем ее координаты.

Таким образом, производная функции p(u) — это следующая параметрически заданная функция:

Следовательно, искомое значение производной (при u = 2) — это вектор с числовыми координатами −9/25 и 12/25:

p (2) = (−9/25; 12/25) .

C.2 Касательные к кривым

Геометрический смысл производной функции (заданной как явно, так и параметрически) в той или иной форме приводит к понятию касательной к кривой (касательной прямой к графику функции, заданной явно, или касательного вектора к кривой, описанной параметрически). В этом разделе мы рассмотрим задачи описания касательных.

Теоретический материал, относящийся к данному разделу, представлен выше (см. раздел 5.3, стр. 133).

C.2.1 Уравнение касательной к графику явной функции

Производная функции характеризует ее поведение в окрестности точки: чем больше производная, тем быстрее возрастает функция, и наоборот. В этом состоит ее геометрический смысл, утверждение, доказанное нами выше, в пределах теоретического блока (см. теор. 76, стр. 133), которое мы продублируем здесь ради удобства изучения материала.

Теорема 99 (геометрический смысл производной) Пусть функция y = f (x)

дифференцируема в точке x0. Тогда значение производной y (x0) функции y в точке x0 равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f (x), проведенной в точке x0 (или, что то же самое, равно угловому коэффициенту k касательной y = kx + b к графику функции y = f (x) в точке x0).

Как следствие, из геометрического смысла производной вытекает следующее утверждение (его доказательство см. выше: теор. 77, стр. 134).

Теорема 100 ( уравнение касательной к явной кривой) Допустим, функция y = f (x) дифференцируема в точке x0. Тогда касательная l к соответствующей явной кривой y = f (x), проведенная в точке с абсциссой x0, имеет следующее уравнение:

l : y = f (x0) + f (x0)(x − x0) .

Пример 158 Записать уравнение касательной к графику функции y = x2 в точке с абсциссой x0 = 2.

Воспользуемся соответствующей теоремой (теор. 100, стр. 214) для того, чтобы записать уравнение:

l : y = f (x0) + f (x0)(x − x0) = x20 + 2x0(x − x0) = 22 + 4(x − 2) = 4x − 4 .

Таким образом, интересующая нас касательная имеет уравнение: y = 4x − 4.

Пример 159 Записать уравнение касательной к графику функции y = 5 sin 4x в точке с абсциссой x0 = π/4.

Поступим так же, как и в предыдущем примере (теор. 100, стр. 214):

l: y = f (x0) + f (x0)(x − x0) = 5 sin(4x0) + 20 cos(4x0)(x − x0) =

=5 sin(4π/4) + 20 cos(4π/4)(x − π/4) = 20(x − π/4) = 20x − 5π .

Следовательно, уравнение касательной следующее: y = 20x − 5π.

C.2.2 Уравнение касательной к кривой, описанной параметрически

Результаты, которые мы используем в этом разделе, были получены во второй части книги (см. раздел 5.3.2, стр. 135). Здесь мы продублируем нужные нам утверждения и рассмотрим примеры.

Прежде, чем обратиться к параметирически заданным кривым, дадим еще один способ описания прямой. А именно: зная точку A(xA, yA), через которую проходит прямая l, и зная вектор a = {a1, a2}, которому прямая l параллельна (то есть — направляющий вектор прямой l), можно получить уравнение этой прямой в так называемой канонической форме.

Теорема 101 (каноническое уравнение прямой) Пусть прямая l проходит через точку A(xA, yA) параллельно вектору a = {a1, a2}. Тогда ее уравнение может быть записано в канонической форме следующим образом:

l : x − xA = y − yA . a1 a2

Пример 160 Записать уравнение прямой l, проходящей через точку (2, 3) в напралении вектора {−1, 4}.

Воспользуемся теоремой о каноническом уравнении прямой (теор. 101, стр. 215):

l : x − 2 = y − 3 −1 4

— уравнение в канонической форме получено. Пользуясь свойствами пропорций, можно легко свести это уравнение к традиционному виду:

l : 4(x − 2) = −(y − 3) , откуда l : y = −4x + 11 .

Пример 161 Записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

A(2, −1) и B(4, 3).

Здесь в качестве направляющего вектора можно выбрать вектор AB (действительно, он лежит на прямой l, а следовательно, он ей параллелен), а в качестве точки, через которую проходит прямая, можно выбрать любую из точек A или B (для определенности — возьмем точку A). Тогда, так как координаты вектора AB

— это {4 − 2, 3 − (−1)} = {2, 4}, то, согласно теореме о каноническом уравнении прямой (теор. 101, стр. 215), получим:

Пользуясь свойствами пропорций, это уравнение можно преобразовать к традиционной форме:

l : 4(x − 2) = 2(y + 1) , откуда l : y = 2x − 3 .

Отметим одно очень важное качество канонических уравнений: они позволяют описывать прямые, проходящие во всех направлениях, в том числе — и вертикальные (что невозможно сделать в явной форме: ведь при этом угловой коэффициент прямой становится бесконечным). Следует иметь ввиду, что при этом в знаменателях канонических уравнений обязательно будут появляться нули. В этом нет никакого противоречия (хотя, казалось бы, на ноль делить нельзя), так как канонические уравнения следует рассматривать именно как пропорции.

Пример 162 Записать уравнение прямой l, проходящей через точку (2, 1) вертикально.

Направляющий вектор вертикальной прямой тоже вертикален, то есть — его первая координата должна равняться нулю. Вторая координата может быть любой (вектор все равно останется вертикальным), пусть она равна 1. Итак, прямая l проходит через точку (2, 1) в направлении вектора {0, 1}:

Воспользуемся свойствами пропорций для перехода к явному уравнению касательной:

l : 1(x − 2) = 0(y + 1) , откуда l : x = 2 .

Мы видим, что явное уравнение вертикальной прямой не содержит вертикальной переменной. Это можно содержательно интерпретировать так: горизонтальная переменная из этого уравнения тождественно равна какой-то константе (в данном случае — 2), а вертикальная может изменяться произвольно. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этим требованиям, — это и есть вертикальная прямая.

Отметим здесь же, что, по тем же самым соображениям, явное уравнение горизонтальной прямой не содержит горизонтальной переменной.

Теорема 102 (производная параметрически заданной функции) Пусть функция

дифференцируема при u = u0. Тогда вектор p (u0) — это в точности направляющий вектор для прямой, касательной к кривой p(u) в точке (p1(u0), p2(u0)).

Теорема 103 ( уравнение касательной к параметрической кривой )

Пусть функция

дифференцируема при u = u0. Тогда касательная l к кривой p(u), проведенная к ней в точке (p1(u0), p2(u0)), описывается канонически следующим уравнением:

Пример 163 Составить уравнение касательной к данной линии p(u) при указанном значении параметра u:

Для составления уравнения касательной нам необходимо знать (см. теор. 101, стр. 215) координаты точки, через которую касательная проходит, и координаты направляющего вектора, которому касательная параллельна. Прежде всего — вычислим направляющий вектор p (π/4) касательной l. Для этого (см. теор 103, стр. 216) подсчитаем производную p (u):

Подставляя на место u конкретное значение u = π/4, найдем координаты касательного вектора:

Следовательно, касательный вектор — это вектор с координатами {−4, 0}. Далее нам следует знать координаты точки, через которую проходит касательная. Это

— точка на кривой, которой отвечает значение параметра u = π/4, то есть точка p(π/4):

p1(π/4) = 2 ln ctg π/4 + 1 = 1 , p2(π/4) = tg π/4 + ctg π/4 = 2 .

Итак, инетересующая нас касательная — это прямая, проходящая через точку (1, 2) в направлении вектора {−4, 0}. Пользуясь теоремой о каноническом уравнении прямой (теор. 101, cтр. 215), запишем уравнение:

l : x − 1 = y − 2 .

−4 0

При помощи свойств пропорций, преобразуем это уравнение к явному виду:

l : 0 · (x − 1) = −4 · (y − 2) , откуда l : y = 2 .

В этом случае касательная оказалась горизонтальной.

Пример 164 Пусть кривая p(u) описана параметрически уравнениями:

Требуется описать касательную к этой кривой в точке (0, 0).

Прежде всего необходимо найти те значения параметра, при которых кривая p(u) проходит через точку (0, 0). Это в точности то значение u, которое удовлетворяет следующим условиям:

Мы видим, что кривая p(u) проходит через точку (0, 0) дважды: при u = 0 и при u = 1. Это означает, что кривая терпит самопересечение в этой точке, и что скорее всего в этой точке она обладает двумя касательными, причем эти касательные различны.

Итак, найдем обе касательные к кривой p(u) в точке (0,0). Пусть сначала u = 0. Прежде всего, для нахождения касательного вектора нам необходимо вычислить производную функции p(u) при u = 0.

Теперь нам известен вектор, касательный к кривой p(u) в точке (0, 0) при u = 0. Он же является направляющим вектором касательной прямой, проходящей через точку (0, 0). Согласно теореме об уравнении прямой (теор. 101, стр. 215) мы можем записать каноническое уравнение касательной:

Таким образом, одна из касательных (а именно, та из них, которая отвечает значению u = 0) является горизонтальной прямой y = 0.

Пусть теперь u = 1. Для нахождения направляющего вектора касательной вычислим производную p (u) при u = 1:

Пример 165 Найти точную итерполяцию ансамбля: A1(1, 1), A2(−2, 3), A3(2, 1).

Воспользуемся теоремой о матрице точной интерполяции (теор. 104, стр. 218). Согласно этой теореме, мы можем выписать точную интерполирующую кривую в виде

где коэффициенты параметризации находятся матричным умножением:

при помощи матрицы точной интерполяции. Следовательно, коэффициенты параметризации следующие:

Выполним проверку. Кривая должна проходить через три опорные точки A1, A2, A3 равномерно, то есть при значениях параметра 0, 1/2 и 1 соответственно:

C.3.2 Интерполяция в форме Эрмита

Эрмитова интерполяция позволяет строить кривые по опорному ансамблю, состоящему из произвольно большого числа точек, при этом (в отличие от точной интерполяции) вычислительная сложность алгоритма не возрастает: все действия выполняются при помощи многочленов третьей степени (см. раздел 6.2, стр. 143).

Это достигается за счет разбиения опорного ансамбля на сегменты, состоящие всего из двух соседних точек, и требования гладкости сопряжения соседних сегментов. Широко распространенный инструмент графических редакторов — так называемая кривая Безье — формирует кривую именно по принципу эрмитова алгоритма интерполяции.

В этом разделе мы продублируем полученные нами выше теоретические результаты и рассмотрим примеры.

Определение 88 (эрмитова интерполирующая кривая) Пусть на плоскости π фиксированы две точки A(xA, yA) и B(xB , yB ). Интерполирующей кривой в форме Эрмита для опорного ансамбля, состоящего из этих точек, называется кривая, стартующая в точке A в направлении данного вектора v = (xv , yv ) и финиширующая в точке B в направлении еще одного данного вектора w = (xw , yw ).

Теорема 105 (интерполяция в форме Эрмита) Пусть кривая p(u) стартует в точке A(xA, xB ) в направлении вектора v = (xv , yv ) и финиширует в точке B(xB , yB ) в направлении вектора w = (xw , yw ). Тогда существует единственная кубическая параметризация этой кривой

причем коэффициенты параметризующих многочленов вычисляются по следующим формулам:

Матрица, фигурирующая в вычислениях, называется матрицей Эрмита.

Пример 166 Пусть кривая p(u) проходит через точки A1(1, 1) и A2(2, 1) в направлении векторов v1 = (−1, 1) и v2 = (1, −1). Требуется описать кривую p(u) параметрически.

Задача решается при помощи теоремы об эрмитовой интерполяции (теор. 105, стр. 219). Будем искать параметризацию в следующем виде:

где коэффициенты координатных полиномов вычисляются матричным умножением:

Таким образом, интересующая нас параметризация найдена:

Выполним проверку. Должно выполняться четыре условия: два условия прохождения кривой через ансамбль, и два условия направления прохождения.

Что касается направлений прохождения, то эти направления определяются касательными векторами к кривой p(u): при u = 0 и при u = 1. Вычислим производную p (u):

после чего найдем векторы, касательные к кривой p(u) в точках A1 и A2:

Все четыре условия выполнены. Задача решена верно.