Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

A.3. Линейные системы

181

A.3.4 Вырожденные линейные системы

Выше мы рассматривали только невырожденные линейные системы, то есть такие системы, в которых, во-первых, число уравнений совпадало с числом переменных, и во-вторых, матрицы, составленные из коэффициентов таких систем, обладали ненулевым определителем.

Однако часто возникают ситуации, когда приходится решать выроженные системы (то есть — системы, обладающие нулевым определителем). Мы, например, решаем такие системы при исследовании систем векторов на предмет линейной зависимости или независимости (см. раздел 2.2.2, стр. 30)13.

Следует иметь в виду, что в этих случаях нельзя найти единственное решение системы. Наоборот: вырожденная система либо вообще не обладает решениями, либо имеет бесконечно много решений.

Решить вырожденную систему каким-либо методом, помимо метода Гаусса, невозможно. Метод же Гаусса позволяет как найти общее решение вырожденной системы (то есть — указать закон, по которому выписываются все решения из бесконечной серии решений), так и установить ее несовместность (то есть — доказать отсутствие решений у данной системы).

	3x +	2y	− 4z = 0
	4x +	3y		2z = 0
Пример 128 Решить однородную систему:	x −	y +		2z = 0
			−

Это — однородная система, то есть система с нулевым столбцом свободных членов. Она заведомо совместна. Действительно, нетрудно убедиться, что нулевые значения переменных обращают все уравнения системы в тождества.

Однако остается открытым вопрос, иемеет ли система какие-либо решения помимо нулевого. Выпишем расширенную матрицу системы и проебразуем ее левую часть:

1		−1		−2				0	← I				3		−2 −4				0	−I 3
	3	2			4			0			← II			1	1		2		0		I 4
	4	1			2			0						4	1		2		0		I 4
				−												−				−
				−												−				−

	1	1					2		0					1	1			2		0	(1/5)
	0	−5 −10							0					0	−5 −10					0	(1/5)
	0	5				10			0		II			0	0			0		0
				−						−
				−						−


0		−1	−2						+II			0 1			2 .
	1	1				2			+II			1	0		0

Последние два звена выкладки можно содержательно интерпретировать так: преобразуя по методу Гаусса строки расширенной матрицы, мы фактически преобразуем уравнения системы. При этом на определнном шаге мы получаем нулевую строку. Это означает, что в системе фактически остается два уравнения, содержащие три переменные. одну из этих переменных (конкретно — переменную z) мы переносим в правую часть, меняя при этом знак на противоположный. После чего

13Те же задачи (то есть — решение вырожденных линейных систем) возникают при описании векторных подпространств (см. раздел 2.2.4, стр. 40) или при вычислении ядра и образа линейного оператора (см. раздел 2.3.2, стр. 48).

182	Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы

— окончательно преобразуем левую часть расширенной матрицы к единичному виду (то есть — выражаем переменные x и y через переменную z):

x = 0 y = 2z

Таким образом — возникает бесконечная серия решений: придавая переменной z произвольные значения, будем получать соответствующие значения для переменных x и y.

Все решения системы имеют вид: x = 0, y = 2α, z = α, где α — произвольное число.

A.4 Задачи для самостоятельного решения

Задача 1 Вычислить следующие определители второго порядка, пользуясь определением (см. опр. 66, стр. 158):

1)	3		−2	, 2)							4 7		,	3)			3 9 ,				4)	3 3		, 5)				3 6 ,
	2		1							−	6	1				−	3	0				4	6					8		6


		1 − t2				2t								(1 − t)2					2t					1 + t2				2t
6)		1 + t2			1 + t2							7)		1 + t2				1 + t2				8)		1 − t2			1 − t2
6)			2t	1			t	2	,			7)			2t			(1 + t)		2	,	8)			2t		1 + t			2	,
		−	2t	1		−	t								2t			(1 + t)							2t		1 + t
		−				−								1 + t2		− 1 + t2								1		t2	1		t2
		1 + t2			1 + t2									1 + t2		− 1 + t2								1	−	t2	1	−	t2
																									−			−

9)	sin α	cos α	,
9)	sin β	cos β	,

10) sin α − sin βcos β − cos α

cos β + cos α . sin α − sin β

Задача 2 Вычислить следующие определители третьего порядка, пользуясь определением (см. опр. 67, стр. 158):

1)	0	−6		7 ,	2)	3	5	2 ,	3)	5	6	4 ,	4)	8	6	7 ,
	2		4	3		3	4	5		3	5	7		3	5	6
	3		2	5		−3	2	9		2	2	−1		4	1	−6
		−
		−

5)	1	2	3 ,		6)	1	0	1 ,			7)	1	7 49		, 8)		b c a		,
	1	1	1			0	1	1				1	5 25				a b c
	1	3	6			1	1	0				1	8 64				c a b



										,								.
9)	b	c	d	,	10)	x	b		x	,	11)			x	b + x		x	.
	0	a 0				a x x							a + x		x		x
	0	e 0				x x c								x	x	c + x

Задача 3 Вычислить следующие определители сведением их к треугольному виду по методу Гаусса (см. раздел A.1.2. стр. 159 и соответствующие примеры):

1)	5	3	2 ,	2)	2	5	3 ,	3)	3	−2	8 ,	4)	5	3	−2 .
	2	1	3		3	2	1		4	3	5		4	2	1
	1	4	3		3	4	2		4	−7	5		3	2	−1
										− −					−
										− −					−

A.4. Задачи для самостоятельного решения

183

Задача 4 Вычислить следующие определители при помощи разложений: 1) по второй строке, 2) по третьему столбцу, 3) по первой стороке, 4) по второму столбцу (см. теор. 86, стр. 163).

1)	2	0	−2 ,	2)	4	5	2 ,	3)	2	2	−8 ,	4)	3		3	0 .
	2	1	1		5	3	3		1	3	3		4		2	3
	1	4	1		−2	0	1		4	7	1		3		6	1
														−
														−

Задача 5 Вычислить следующие определители четвертого порядка, предварительно преобразовав их (см. раздел A.1.2. стр. 159 и соответствующие примеры).

	1	1	1		1			1	0	1	1			3	−7	1	4
1)	1	1	1		1	,	2)	0	1	1	1	,	3)	2	5	1	2	.
1)	1	−1	1		1	,	2)	1	1	0	1	,	3)	−5	9	−2	7	.
			−1												−6
	1	1	−1		1			1	1	1	0			4	−6	1	2
				−											−
				−											−

Задача 6 Выполнить матричные действия (см. раздел A.2.1. стр. 165 и соответствующие примеры):

	5	−4		2 5						4	−6		6 −4
1)	3		−2		3 4		,	2)		2	−3		9	−6		,
	7		5		38	−126			2	1				3	4		3		5	−2	5
																	,				,
3)	4	3			−28		93		7 3			, 4)		1 −2				5)	4	−1
6) 3 −4				1		1	2	5 ,		7)		6	9	−5	4			−1	3 .
	1		−3 2			2	5	6				5	8	−4			3	2	5
2			−5	3 1 3				2				4	7	−3 9				6	5

Задача 7 Вычислить матрицы, обратные к данным матрицам, при помощи алгебраических дополнений (см. теор. 87, стр. 168).


1)	2	1		−1				4	6		−1	3)		1	1	−1		4)		4	5		−1
1)	3 −2				,	2)		3	2		,	3)		3	2		,	4)		3	1		,
	2	3	2			−1				1	1	2	−1				3	3	2		−1
5)	3	1	−1			,	6)		−4		0	1		,	7)		3	1	3			.
	2	4	7							3	4	2					2	3	3

Задача 8 Вычислить матрицы, обратные к данным матрицам, при помощи метода Гаусса (см. теор. 88, стр. 169).


1)	1	2			−1				4	3	−1		1		1		−1			4)	4	5	−1
1)	0	1				,	2)		3	2	,	3) 3			2			,		4)	1	1		,
	1		3	2			−1			1	2	2		−1					1	1		1		−1
5)	0		1	1			,	6)		2	1	−2			,	7)			1	1		−1		.
	0		0	1						2	−2	1							1	−1		1

184			Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы
Задача 9 Решить матричные уравнения (см. раздел A.2.3, стр. 170 и соотвтет-
ствующие примеры):						2 ,		2) X 3		1 =		−2 ,
1)	1 1		X = 1			2 ,		2) X 3		1 =	1	−2 ,
	2	3			1	4			1	0	2	3
3)	3 4		X	3	1		=	0	−4 ,
	2	3		2	1			2	1
4)	0	1	X	1	1		=	1	4 ,
	1	1		1	0			2	2

5)	3	2	4 X =	10	2	7 ,	6) X	1	3	2	=	5	9	0 .
	1	2	3	1	3	0		5	3	1		8	3	0
	1	1	0	10	7	8		5	2	1 2			15	0

Задача 10 Решить следующие линейные системы методом Крамера (см. теор. 90, стр. 175).

	−3x + y = 2 ;			2x + 2y = 1 ;						2x − y = −3 ;
1)	2x + 3y = 1 , 2)			x − 2y = 2 ,					3)	x + 4y = 0 ,
4) 2x + y + 3z = 2 ,				5)	x + y + 3z = 2 ,
	x − y + 2z = 1 ,				3x + 2y			−	z = 0 ,
	x + 2y	−	2z = 3 ;		2x	−	y	−	2z = −1 .

Задача 11 Решить следующие линейные системы методом Гаусса (см. теор. 91, стр. 178).

	2x + y = 2 ;		−2x −	y = 0 ;		2x +	y = 3 ;
1)	x + y = 1 ,	2)	3x + 2y = 2 ,		3)	−x + 2y = 0 ,

3x + y + 2z = −1 ,

4)x + 3y + z = −2 ,

2x + y − 2z = 0 ;

−x − 2y − 2z = 1 ,

5)2x + y + 3z = 0 ,

x − 3y − 2z = 1 .

Задача 12 Решить следующие серии линейных систем при помощи матричного обращения (см. теор. 92, стр. 179).

3x − y =

−2 ;

3x − y = 3 ;

3x − y = −2 ;

x + 5y = 1 ,

x + 5y = 0 ,

x + 5y = 5 ,

2x + y + 3z = 2 ,

2x + y + 3z =

0 ,

2x + y + 3z = 1 ,

x − y + 2z = 1 ,

x − y + 2z = 5 ,

x − y + 2z = 3 ,

x + 2y

−

2z = 3 ;

x + 2y

−

2z =

−

3 ;

x + 2y

−

2z = 3 .

A.4. Задачи для самостоятельного решения

185

Задача 13 Найти общие решения следующих вырожденных систем (см. раздел A.3.4, стр. 181):

3x − 2y + z = 0 ,

1)2x + y + 3z = 0 ,

5x − y + 4z = 0 ;

2)	x + 2y + 3z = 0 ,		3) 2x +			y + 3z = 0 ,
		x + y − 2z = 0 ,		3x + 2y + 2z = 0 ,
		y + 5z = 0 ;		x	−	y + z = 0 .

186	Приложение A. Определители, матрицы и линейные системы

Приложение B

Векторные пространства. Линейные и проективные опреаторы

Данный раздел посвящен численным методам исследования векторных пространств и преобразований, действующих в векторных пространствах.

Резюмируя сказанное выше, в теоретическом блоке (см. раздел 2.2, стр. 27

атакже — раздел 2.3, стр. 44), можно заключить:

1.любая точка векторного пространства (или, что то же самое — любой вектор векторного пространства) реализуется численно в виде вектора-столбца своих координат;

2.любое линейное преобразование векторного пространства реализуется численно в виде квадратной матрицы, порядок которой соответствует размерности пространства (на плоскости это матрицы второго порядка, в физическом пространстве — третьего и т. д.);

3.действие линейного оператора на точку (вектор) векторного пространства численно реализуется в виде матричного умножения.

Эти идеи мы демонстрируем здесь разбирая подробно множество конкретных примеров (см. приложение B.1, стр. 188 и приложение B.2, стр. 193).

Далее — при построении проективных пространств (см. главу 3, стр. 63), мы убедились, что:

1.любая точка проективного пространства реализуется численно в виде вектора-столбца своих координат плюс еще одна, дополнительная координата, которая для точки всегда равна единице, и любой вектор проективного пространства реализуется численно в виде векторастолбца своих координат плюс еще одна, дополнительная координата, которая для вектора всегда равна нулю;

2.любое проективное преобразование проективного пространства реализуется численно в виде квадратной матрицы, порядок которой на

187

188	Приложение B. Векторные пространства

единицу больше размерности пространства (на плоскости это матрицы третьего порядка, в физическом пространстве — четвертого и т. д.).

Практические примеры на эту тему мы подробно разбираем в соответствующем разделе (см. раздел B.3, стр. 198). Задачи, которые мы там рассматриваем (всевозможные преобразования плоских фигур), являются нашей конечной целью, по сути, кульминацией первой части книги.

B.1 Системы векторов

В этом разделе мы работаем с системами векторов векторных пространств, уделяя особое внимание задаче о замене базиса. Необходимые теоретические сведения представлены в соответствующих разделах (см. раздел 2.2, стр. 27).

B.1.1 Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов

Исходя из соображений удобства, мы продублируем здесь понятия, которые ввели ранее в теоретических блоках книги (см. раздел 2.2.2, стр. 30).

Определение 74 (линейные комбинации) Рассмотрим вектороное пространство V , и пусть a1, a2, . . . , an — набор векторов из V . Их линейная комбинация

α1a1 + α2a2 + · · · + αnan

называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю:

α1 = α2 = · · · = αn = 0 .

Если же среди коэффициентов найдется хотя бы один отличный от нуля ak = 0, то такая линейная комбинация называется нетривиальной.

Определение 75 (линейная зависимость и независимость) Пусть V

— вектороное пространство, и пусть a1, a2, . . . , an — набор векторов из V . Этот набор называется линейно зависимой системой векторов, если существует нетривиальная линейная комбинация, обращающая его в ноль:

α1a1 + α2a2 + · · · + αnan = 0

Если же этот набор обращает в ноль только тривиальная линейная комбинация, то он называется линейно независимой системой веторов.

Пример 129 Пусть a1	=	−2		,	a2	=	−1		,	a3	=	−3		.
			1					0					1
			1					1					2

Требуется выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой.

Воспользуемся определением (см. 75, стр. 188). Допустим, что существует некая линейная комбинация векторов a1, a2, a3, обращающаяся в ноль: α1a1 + α2a2 + α3a3 = 0. Тогда:

α1	−2		+ α2	−1		+ α3	−3		=	0 .
		1			0			1		0
		1			1			2 0

B.1. Системы векторов

189

Выполняя почленное сложение в правой части, получим векторное равенство:

α1	+		α3		0
−2α1	− α2		− 3α3	= 0 .
α1	+	α2	+ 2α3		0

Оно эквивалентно однородной линейной системе:

	2α1		α2		3α3	=	0
−	α1	+		−	α3	=	0
−		−		−

α1 + α2 + 2α3 = 0

Применим для ее решения метод Гаусса (см. раздел A.3.4, стр. 181):

−2	−1 −3				0		+I 2			0	−1		−1		0 (−1)
1		0	1		0			I		1		0		1	0
1		1	2		0			I		0		1		1	0
						−
						−

			1	0	1		0				1		0	1	0	.
			0	1	1		0		II		0		1	1	0	.
			0	1	1		0		II		0		0	0	0
								−
								−

Возвращаясь снова к традиционной записи линейной системы, получим неопределенную систему: она содержит три переменные и всего два уравнения. Выразим пременные α1 и α2 через α3.

	α2	+ α3	= 0		α2	= −α3
α1 +		α3	= 0	Следовательно,	α1	= −α3

Придавая переменной α3 произвольные значения, будем получать соответствующие значения переменных α1 и α2. Например, если α3 = −1, то α1 = α2 = 1. Таким образом, мы отыскали нетривиальную линейную комбинацию, обращающую в ноль данную систему векторов:

a1 + a2 − a3 = 0 .

Следовательно, исходный набор векторов a1, a2, a3 является линейно зависимой системой векторов.

Пример 130 Тот же вопрос относительно другой системы векторов:

a1	=		1	,	a2	=	3		,	a3	=	1 .
			1					2					7
		−1						1					0

Допустим, имеется линейная комбинация, обращающая в ноль эту систему:

α1a1 + α2a2 + α3a3 = 0 .

Если окажется, что эта линейная комбинация тривиальна, то система векторов a1, a2, a3 линейно независима, если же окажется, что существует такая нетривиальная линейная комбинация, то система векторов линейно независима (см. опр. 75, стр. 188).

α1		1	+ α2	3	+ α3	1	=	0 .
		1		2		7		0
	−1			1		0 0

Выполняя почленное сложение в правой части, получим векторное равенство:

	α1	+ 3α2		+	α3	=	0 .
	α1	+	2α2	+	7α3		0
−α1		+	α2			0

190											Приложение B. Векторные пространства
Оно эквивалентно однородной линейной системе:
								α1		+ 3α2		+ α3			= 0
								α1		+ 2α2		+ 7α3			= 0
						−α1				+	α2				= 0
Применим для ее			решения метод Гаусса (см. раздел A.3.2, стр. 177):
Применим для ее								−I				0 1 −6
	1			3 1			0	−I				0 1 −6					0
		1		2	7		0	+I				1	2		7		0		II 3
		1		1 0			0	+I				0 3			7		0		II 3
			−															−
			−															−

		1	2		7		0						1	2		7		0	−III 7
		0	1 −6				0						0	1	−6			0	+III 6
		0 0 25					0		1/25				0 0			1		0



		1 2 0				0	−		II		2		1 0 0				0	.
		0 0 1				0							0 0 1				0

Итак, система имеет единственное решение: α1 = 0, α2 = 0, α3 = 0. Это означает, что линейная комбинация, обращающая в ноль исходный набор векторов, является тривиальной, и, следовательно, он (набор) образует линейно независимую систему векторов.

B.1.2 Базисы векторных пространств

Базис векторного пространства — это инструмент, при помощи которого можно численно описывать векторы пространства. Понятно, что при переходе к новому базису, векторы пространства получат новое описание. Задаче вычисления новых координат вектора (то есть координат оносительно нового базиса) посвящен этот раздел.

Необходимые теоретические сведения представлены в соответствующем теоретическом блоке (см. раздел 2.2, стр. 27). Исходя из соображений удобства, мы продублируем здесь основные понятия и утверждения.

Определение 76 (системы образующих векторного пространства)

Пусть имеются: V — векторное пространство, a1, a2, . . . , an — набор векторов из V . Этот набор называется системой образующих векторного пространства V , если любой вектор этого пространства молжет быть представлен в виде линейной комбинации векторов a1, a2, . . . , an:

v = α1a1 + α2a2 + · · · + αnan v V

Определение 77 (базис векторного пространства) Базисом векторного пространства называется любая линейно независимая система образующих.

Определение 78 (координаты векторы) Любой вектор векторного простанства V может быть разложен по базису:

v = α1a1 + α2a2 + · · · + αnan v V

причем это разложение единственно. Коэффициенты разложения называются координатами вектора в данном базисе.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2319 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.20151 Mб10-upload-form-not_image-f85-SIvanov.pdf
#
12.03.20161.22 Mб310085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy.pdf
#
09.09.20194.45 Mб802_Текст.doc
#
29.03.2015300.15 Кб905.YH_Topic_2.pdf
#
29.03.20152.13 Mб11072500.62_Grafich_disain.pdf
#
29.03.2015280.9 Кб201 вариант сабина.docx
#
29.03.2015279.55 Кб111 Обзор архитектур современных ОС.doc