0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

— для первого координатного полинома и, аналогично, для второго:

Таким образом, интересующая нас параметризация найдена:

Теперь, придавая параметру u значения от 0 до 1 с шагом 0. 1, мы можем вычислить координаты траектории точки M . Стартовая точка получается при нулевом значении праметра u = 0:

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 1:

M1 = p(0. 1) =

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 2:

M2 = p(0. 2) =

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 3:

M3 = p(0. 3) =

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 4:

M4 = p(0. 4) =

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 5:

M5 = p(0. 5) =

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 6:

M6 = p(0. 6) =

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 7:

M7 = p(0. 7) =

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 8:

M8 = p(0. 8) =

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 9:

M9 = p(0. 9) =

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 1:

Итак, мы получили точки первого сегмента траектории. Второй сегмент параметризован нами при помощи функции q(u). Очередная точка траектории получается при значении параметра u = 0, 1:

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 2:

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 3:

y

B

A

C

Рис. 6.5: Два сегмента кривой, гладко сопряженные в точке B.

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 4:

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 5:

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 6:

154 Глава 6. Интерполяция кривых

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 7:

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 8:

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 0, 9:

Следующая точка траектории получается при очередном значении праметра u = 1:

Понятно, что с точки зрения современного процессора совершенно безразлично, какое именно количество точек требуется изобразить на кривой: двадцать , как в нашем примере, или несколько тысяч. Тем самым, достигается возможность построить визуально гладкую кривую за счет достаточно длинного цикла вычислений (см. рис. 6.5, стр. 153).

Определение 66 (определители 2-го порядка) Пусть имеется матрица A из полной матричной алгебры 2-го порядка: A Matr 2. Ее определителем называется число, вычисляемое по следующей формуле:

a b

= ad − bc.

c d

Определитель матрицы обозначается |A| или det A (от латинского слова determinant).

2 5

Пример 95 = 2 · 3 − 5 · 4 = −14.

4 3

Ничего сложного. Поэтому перейдем к определителям третьего порядка. Здесь вычислительная сложность возрастет.

Определение 67 (определители 3-го порядка) Пусть имеется матрица A из полной матричной алгебры 3-го порядка: A Matr 3. Ее определителем называется число, вычисляемое по следующей формуле:

Так же, как и в случае матриц 2 × 2, определитель матрицы третьего порядка обозначается |A| или det A.

Прокомментирем формулу. Это – сумма, состоящая из шести слагаемых, причем часть из них входит в формулу со знаком “плюс”, а часть — со знаком “минус” (другими словами, имеются две серии слагаемых: положительная и отрицательная). Каждое слагаемое — это произведение трех множителей, у которых первые индексы следуют по порядку, а вторые — перемешаны всеми возможными способами.

Для запоминания этой формулы применяют мнемоническое правило, называемое правилом треугольников (или правилом Саррюса2).

+К положительной серии слагаемых относятся: произведение элементов главной диагонали и произведения матричных элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.

−К отрицательной серии слагаемых относятся: произведение элементов побочной диагонали и произведения матричных элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали.

2Математик, который придумал это правило и больше, кажется, ничем не прославил-

ся.

Пример 98 Применяя правило Саррюса, вычислим определитель третьего порядка:

Пример 99 Рассмотрим еще один числовой пример:

Пример 100 Элементами определителя могут быть не только числа, но и функциональные выражения, зависящие от переменных. Как, например, здесь:

=(α2 + 1)(β2 + 1)(γ2 + 1) + α2β2γ2 + α2β2γ2 − (α2 + 1)β2γ2−

−(γ2 + 1)α2β2 − (β2 + 1)α2γ2 =

=α2β2γ2 + α2γ2 + β2γ2 + γ2 + α2β2 + α2 + β2 + 1−

−α2β2γ2 − β2γ2 − α2β2 − α2γ2 =

=α2 + β2 + γ2 + 1 .

Все получается после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

Вычисление определителя по определению — это не самый удобный метод вычисления определителей. Имеются методы, альтернативные ему, их мы рассмотрим в следующем разделе.

A.1.2 Свойства определителей

Метод Гаусса, состоящий в элементарных преобразованиях строк или столбцов определителя3, основан на его свойствах. Мы сформулируем их в виде следующей теоремы.

Теорема 85 (свойства определителя) Определитель любой матрицы обладает следующими свойствами:

1.|AT | = |A| — то есть определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании4.

3Напомним, что метод Гаусса применяется не только для вычисления определителей, но также для вычисления обратных матриц и для решения линейных систем.

4Транспонированием называется матричная операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются ролями: первая строка становится первым столбцом, вторая — вторым столбцом и т.д. Это свойство означает, в частности, что все свойства определителя, верные для его строк, верны также и для столбцов. Все дальнейшие свойства определителя мы сформулируем именно для строк, подразумевая, что аналогичные свойства имеются и для столбцов.