0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

Пример 59 Записать уравнение кривой, проходящей через три точки: A1(1, 1),

A2(2, 0), A3(4, 4).

Можно предположить, что имеется простое аналитическое описание данной кривой в виде явной функции. Более того, мы будем считать, что эта функция является квадратичной (наши предположения оправдаются тем, что в итоге мы предъявим искомую квадратичную функцию).

Итак, пусть кривая C описывается в виде некоторой, неизвестной нам квадратичной функции:

C : y = ax2 + bx + c .

Тогда, так как C проходит через точки A1, A2, A3, то после подстановки координат этих точек в уравнение кривой, должны получиться тождества:

и мы пришли к необходимости решить линейную систему, состоящую их трех уравнений, относительно трех переменных a, b, c. Воспользуемся для ее решения методом Гаусса:

Итак, a = 1, b = −4, c = 4. Следовательно, интересующая нас кривая имеет следующее уравнение:

C : y = x2 − 4x + 4 .

Заметим, что при нахождениии уравнения кривой в данном примере мы сделали целый ряд допущений, которые могли бы и не оправдаться. Более того, совершенно очевидно, что они не оправдаются, например, в том случае, если мы поменяем порядок прохождения кривой через те же самые точки: A1, A3, A2. Не существует такой явной функции, график которой проходил бы через эти точки в указанном порядке.

В таких задачах удобнее было бы использовать параметрическую запись кривой (как более универсальную). В связи с этим можно выдвинуть следующую типологию задач (см. рис. 4.3, стр. 91):

1.Известны координаты точек, через которые проходит кривая. Требуется записать уравнения этой кривой в параметрической форме.

2.Требуется записать в параметрической форме уравнения кривой, которая проходит через данный набор точек в заданных направлениях.

3.Известны координаты некоторого набора точек. Требуется в парметрической форме записать уравнения кривой, проходящей “вблизи” этих точек.

Определение 37 (интерполяция) Задачи приведенных трех типов мы будем называть интерполяционными задачами.

В последней главе, посвященной вопросам интерполяции кривых и криволинейных траекторий (см. главу 6, стр. 139), мы подробно рассмотрим задачи первых двух типов: так называемую точную интерполяцию и интерполяцию в форме Эрмита.

Что же касается задач последнего, третьего типа (построение так называемых B-сплайнов), то их рассмотрение выходит за рамки нашего курса. Ознакомиться с алгоритмами построения B-сплайнов можно в монографии Эдварда Энджела [E].

1.Последовательность xn = 2nограничена снизу, но не ограничена сверху.

Действительно, существует число m = 0 такое, что m < xn = 2n для любого номера n последовательности {xn}. Отсюда, в силу определения (см. опр. 40, стр. 97) данная последовательность ограничена снизу.

Сдругой стороны, если мы попытаемся подобрать число M , ограничиваю-

щее последовательность {xn} сверху, мы убедимся, что для любого такого числа найдется номер n, для которого xn = 2n > M . Отсюда, в силу определения (см. опр. 41, стр. 97) данная последовательность неограничена сверху.

2.Рассуждая аналогично, можно убедиться, что последовательность xn = −n ограничена сверху, но неограничена снизу.

3.Наконец, последовательность xn = arctg n является ограниченной последовательностью.

Действительно, в силу известных свойств функции арктангенс, для любого значения аргумента справедливо:

−π2 ≤ arctg n ≤ π2 .

Следовательно, существуют такие числа m = −π/2 и M = π/2, что для любого номера n выполняются следующие неравенства:

m < xn < M .

Отсюда, в силу определения (см. опр. 42, стр. 97) данная последовательность ограничена.

Теорема 36 (необходимый признак сходимости) Если последовательность {xn} сходится, то она ограничена.

Доказательство Пусть последовательность {xn} является сходящейся, и пусть ее пределом служит число a. Тогда, по определению (см. опр. 39, стр. 96), для любого положительного ε найдется такой номер N , что для любого n > N будет справедливо:

|xn − a| < ε .

Следовательно, если n > N , то по абсолютной величине члены последовательности меньше мексимального из чисел |a − ε|, |a + ε|:

|xn| < max{|a − ε|, |a + ε|} .

Обозначим A = max{|a − ε|, |a + ε|, |x1|, |x2|, . . . , |xN |}. Тогда, для любого номера n справедливо: |xn| < A. По свойству модуля это означает, что

−A < xn < A для любого номера n .

Таким образом, существуют числа m = −A и M = A такие, что для любого номера n выполняются следующие неравентсва:

m < xn < M .

По определению (см. опр. 42, стр. 97) это означает, что последовательность {xn} является ограниченной.

Теорема доказана.

Трудно сказать, что эта теорема имеет практическое значение. Однако при решении реальных задач широко применяется ее логическое обращение — достаточный признак расходимости.

Теорема 37 (достаточный признак расходимости) Если числовая последовательность неограничена, то она расходится.

Доказательство Данное утверждение является логическим обращением необходимого признака сходимости (см. теор. 36, стр. 98). Оба они являются истинными или ложными одновременно.

Так как необходимый признак сходимости нами уже доказан, это означает справедливость и текущего утверждения.

Теорема доказана.

Пример 64 Последовательность xn = 2n является расходящейся, так как выше (см. пример 63, стр. 97) мы установили, что она неограничена.

5.1.2Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Прежде, чем перейти к вычислению пределов3, в данном разделе мы рассмотрим бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и установим их свойства. Они понадобятся нам при изучении свойств пределов (см. раздел 5.1.3, стр. 102).

Определение 43 (бесконечно малая последовательность) Числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Пользуясь определением сходимости (см. опр. 39, стр. 96), данное определение можно выразить так: последовательность {αn} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого положительного ε найдется номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство:

|αn| < ε .

Определение 44 (бесконечно большая последовательность) Числовая последовательность {An} называется бесконечно большой, если ее предел “равен” бесконечности4.

Пользуясь определением сходимости (см. опр. 39, стр. 96), данное определение можно выразить так: последовательность {An} называется бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого положительного M найдется номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство:

|An| > M .

Теорема 38 (о сумме бесконечно малых) Пусть {αn} и {βn} — две бесконечно малые последовательности. Тогда их сумма {αn} + {βn} — также бесконечно малая последовательность.

3Вычисление пределов обозначается еще одним изящным названием: предельный переход.

4Конечно же, это высказывание не является хоть сколько-нибудь математически корректным. Мы используем его скорее интуитивно.

Доказательство Пусть ε — произвольное, сколь угодно малое положительное число. Тогда ε/2 — также произвольно малое положительное число.

В силу определения бесконечно малой последовательности (см. опр. 43, стр. 99) существуют два номера N , N такие, что

Если N = max{N , N }, то эти неравенства будут выполняться одновременно при n > N . Сложим неравенства:

|αn| + |βn| < ε/2 + ε/2 = ε для любого n > N .

В силу известного свойства модуля (модуль суммы не превосходит суммы модулей), имеем:

|αn + βn| ≤ |αn| + |βn| < ε/2 + ε/2 = ε для любого n > N .

Итак, для любого, сколь угодно малого положительного ε существует номер N такой, что

|αn + βn| < ε для любого n > N .

По определению бесконечно малой последовательности (см. опр. 43, стр. 99) последовательность {αn} + {βn} является бесконечно малой.

Теорема доказана.

Теорема 39 (о произведении бесконечно малых) Пусть {αn} и {βn}

— две бесконечно малые последовательности. Тогда их произведение {αn} · {βn} — также бесконечно малая последовательность.

Доказательство Рассуждая так же, как и в теореме о сумме бесконечно малых (см. теор. 38, стр. 99), можно придти к выводу, что существует номер N такой, что одновременно выполняются неравенства:

|αn| < ε , |βn| < ε для любого n > N .

Так как ε достаточно мало (можно считать, что ε < 1), то, перемножая эти неравенства, получим:

|αn · βn| = |αn| · |βn| < ε · ε < ε для любого n > N .

Итак, для любого, сколь угодно малого положительного ε существует номер N такой, что

|αn · βn| < ε для любого n > N .

По определению бесконечно малой последовательности (см. опр. 43, стр. 99) последовательность {αn} · {βn} является бесконечно малой.

Теорема доказана.

Теорема 40 (о произведении бесконечно малой и ограниченной)

Пусть {αn} — бесконечно малая, а {fn} — ограниченная последовательности. Тогда их произведение — бесконечно малая последовательность.