0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

Теорема 9 (о линейном комбинировании) Множество V является векторным пространством тогда и только тогда, когда оно вместе с любым набором векторов содержит любую их линейную комбинацию.

Доказательство По сути, нам необходимо доказать два утверждения:

1.если множество V является векторным пространством, то оно вместе с любым набором своих векторов содержит и любую их линейную комбинацию,

2.если множество V вместе с любым набором своих элементов содержит и любую их линейную комбинацию, то оно является векторным простанством.

Начнем с первого утверждения. Итак, пусть V — векторное пространство. Тогда, по определению (см. опр. 10, стр. 28), в силу устойчивости векторного пространства относительно склярного кратного

Далее, в силу устойчивости векторного пространства относительно суммы, мы можем сложить эти два элемента и снова получить вектор векторного пространства V :

Далее, в силу устойчивости векторного пространства относительно скалярного кратного

Складывая полученный на предыдущем шаге элемент α1v1 + α2v2 векторного пространства V с новым элементом α3v3, получим:

Рассуждая подобным образом n раз, в итоге мы придем к следующему результату:

то есть — если множество V является векторным пространством, то оно вместе с любым набором векторов содержит и любую их линейную комбинацию.

Перейдем ко второму утверждению. Пусть множество V вместе с любым набором своих элементов содержит и любую их линейную комбинацию:

Тогда мы в частности можем рассмотреть линейную комбинацию с коэффициентами

α1 = 1 , α2 = 1 , α3 = · · · = αn = 0 .

Отсюда v1 + v2 V , и множество V устойчиво относительно суммы. Точно так же мы можем рассмотреть линейную комбинацию с коэффициентами

α1 = 1 , α2 = · · · = αn = 0 .

Отсюда α1v1 V , и множество V устойчиво относительно скалярного кратного. По определению (см. опр. 10, стр. 28), устойчивость относительно суммы и скалярного кратного означает, что множество V является векторным пространством.

Теорема доказана.

Итак, устойчивость множества относительно двух операций — сложения и скалярного кратного — эквивалентна устойчивости относительно одной операции — взятия линейной комбинации. Таким образом, мы можем дать еще одно определение векторного пространства: множество V называется векторным пространством, если оно устойчиво относительно взятия линейной комбинации.

Определение 12 (тривиальная комбинация) Линейная комбинация

α1v1 + · · · + αnvn

векторов векторного пространства V называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю:

α1 = · · · = αn = 0 .

Определение 13 (нетривиальная комбинация) Линейная комбинация

α1v1 + · · · + αnvn

векторов векторного пространства V называется нетривиальной, если среди ее коэффициентов найдется хотя бы один, отличный от нуля.

Определение 14 (линейная зависимость) Набор векторов v1, . . . , vn

векторного пространства V называется линейно зависимым, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю:

α1v1 + · · · + αnvn = 0 .

Определение 15 (линейная независимость) Набор векторов v1, . . . , vn

векторного пространства V называется линейно независимым, его обращает в ноль только тривиальная линейная комбинация.

Пример 16 Пусть V — пространство столбцов длины 2:

Исследуем на линейную зависимость (независимость) набор из двух векторов:

Допустим, что существует некая линейная комбинация, обращающая этот набор в нулевой вектор: α1v1 + α2v2 = 0. Переходя к конкретным числовым значениям, получим векторное соотношение:

Последнее равенство эквивалентно линейной системе14 относительно переменных

α1, α2:

α1 + 2α2 = 0 −α1 + α2 = 0

решая которую, обнаруживаем, что α1 = 0, α2 = 0. Это означает, что набор векторов v1, v2 обращается в ноль только тривиальной линейной комбинацией. Следовательно, он линейно независим.

Пример 17 Пусть V — пространство столбцов длины 3:

Исследуем на линейную зависимость (независимость) набор из трех векторов:

Допустим, что существует некая линейная комбинация векторов v1, v2, v3, обращающаяся в ноль: α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0. Тогда:

Выполняя почленное сложение в правой части, получим векторное равенство:

Оно эквивалентно однородной линейной системе:

α1 + α2 + 2α3 = 0

Применим для ее решения метод Гаусса15:

Возвращаясь снова к традиционной записи линейной системы, получим неопределенную систему: она содержит три переменные и всего два уравнения. Выразим переменные α1 и α2 через α3.

14О методах решения таких линейных систем (как однородных, так и неоднородых) мы говорим в приложении A.3, стр. 174.

15Метод Гаусса решения линейных систем подробно рассматривается в приложении A.3.2, стр. 177. Тот же метод в приложении к вырожденным системам рассматривается в приложении A.3.4, стр. 181.

Придавая переменной α3 произвольные значения, будем получать соответствующие значения переменных α1 и α2. Например, если α3 = −1, то α1 = α2 = 1. Таким образом, мы отыскали нетривиальную линейную комбинацию, обращающую в ноль данную систему векторов.

v1 + v2 − v3 = 0 .

Следовательно, исходный набор векторов v1, v2, v3 является линейно зависимой системой векторов.

Пример 18 Рассмотрим геометрическую серию векторных пространств (см. пример 11, стр. 28).

π

Рис. 2.2: Линейная зависимость систем векторов на прямой и на плоскости.

1.Начнем с прямой l. Пусть v1, v2 — два вектора, лежащие на l. Тогда, в силу того, что они параллельны, они пропорциональны: v1 = αv2. Следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация v1 −αv2, обращающая эту пару векторов в ноль. Значит, по определению (см. опр. 14, стр. 32), они линейно зависимы.

2.Рассмотрим далее плоскость π. Пусть v1, v2, v3 — три вектора, лежащие на π. Тогда, в силу того, что они компланарны, мы можем подобрать числовые

коэффициенты α и β таким образом, что вектор v3 окажется диагональю параллелограмма со сторонами αv1, βv2. Тогда, по правилу параллелограмма, v3 = αv1 + βv2 Следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация αv1 + βv2 − v3, обращающая эту тройку векторов в ноль. Значит, по определению (см. опр. 14, стр. 32), они линейно зависимы.

3.Рассуждая аналогично, можно показать, что любые четыре вектора физического пространства R3 линейно зависимы.

Итак, вывод: любые два вектора, лежащие на прямой, линейно зависимы; любые три вектора, лежащие на плоскости, линейно зависимы; любые четыре вектора, лежащие в физическом пространстве, линейно зависимы.

Теорема 10 (о пополнении линейно зависимой системы) Если линейно зависимую систему векторов пополнить любым набором векторов, то результирующая система окажется линейно зависимой.

Доказательство Пусть, v1, . . . , vn — линейно зависимая система векторов векторного пространства V . По определению (см. опр. 14, стр. 32) это означает, что существует нетривиальная линейноая комбинация этих векторов, такая что:

α1v1 + · · · + αnvn = 0 .

Напомним (см. опр. 13, стр. 32), что тогда среди коэффициентов α1, . . . , αn этой линейной комбинации хотя бы один окажется отличным от нуля. Рассмотрим теперь пополненный набор векторов:

v1, . . . , vn, vn+1, . . . , vm

и составим их линейную комбинацию, приписывая векторам коэффициенты

α1, . . . , αn, αn+1 = · · · = αm = 0 .

Тогда линейная комбинация, обращающая в ноль пополненный набор векторов

α1v1 + · · · + αnvn + αn+1vn+1 + · · · + αmvm ,

является нетривиальной, так как содержит хотя бы один ненулевой коэффициент. Отсюда, в силу определения (см. опр. 14, стр. 32), пополненная система векторов является линейно зависимой.

Теорема доказана.

Пример 19 Теперь мы можем обобщить геометрическую серию примеров линейной зависимости (см. пример 18, стр. 34) следующим образом:

1.Любая система, содержащая более одного вектора прямой, линейно зависима.

2.Любая система, содержащая более двух векторов плоскости, линейно зависима.

3.Любая система, содержащая более трех векторов физического пространства, линейно зависима.

Теорема 11 (о нулевом векторе) Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство Рассмотрим произвольную систему векторов, содержащую ноль v1, . . . , vn, 0, и составим линейную комбинацию:

0 · v1 + · · · + 0 · vn + 1 · 0 .

Очевидно, что результатом такой линейной комбинации будет ноль. Очевидно также, что она нетривиальна. Отсюда (см. опр. 14, стр.32) — система векторов v1, . . . , vn, 0 линейно зависима.

Теорема доказана.

Теорема 12 (о линейном выражении) В любой линейно зависимой системе векторов хотя бы один из векторов может быть линейно выражен через остальные.

Доказательство Пусть, v1, . . . , vn — линейно зависимая система векторов векторного пространства V . По определению (см. опр. 14, стр. 32) это означает, что существует нетривиальная линейноая комбинация этих векторов такая, что

α1v1 + · · · + αnvn = 0 .

Напомним (см. опр. 13, стр. 32), что тогда среди коэффициентов α1, . . . , αn этой линейной комбинации хотя бы один окажется отличным от нуля. Пусть αk = 0. Тогда

αk vk = −α1v1 − · · · − αk−1vk−1 − αk+1vk+1 − · · · − αnvn .

и обозначим β1 = −α1/αk , . . . , βn = −αn/αk :

vk = β1v1 + · · · + βk−1vk−1 + βk+1vk+1 + · · · + βnvn .

Теорема доказана.

2.2.3Базис и размерность векторного пространства

Для того, чтобы оперировать с числами (с геометрической точки зрения) на числовой прямой отмечается нулевая точка (начало координат) и вводится единица масштаба, то есть — вектор, с которым сравниваются все остальные векторы прямой (или, что то же самое, точки числовой прямой, числа).

Аналогичную роль в произвольном векторном пространстве V играет его базис: это инструмент, при помощи которого можно описывать векторы векторного пространства.

В этом разделе мы введем понятие базиса векторного пространства (см. опр. 17, стр. 36) и тесно связанное с ним понятие размерности векторного пространства (см. опр. 18, стр. 38).

Определение 16 (система образующих векторного пространства)

Пусть v1 . . . vn — некоторая система векторов векторного пространства V . Она называется системой его образующих, если любой вектор v векторного пространства V линейно выражается через векторы v1 . . . vn:

v = α1v1 + · · · + αnvn .

Определение 17 (базис векторного пространства) Базисом векторного пространства V называется любая линейно независимая система его образующих.

Пример 20 Вернемся снова к геометрической серии примеров векторных пространств (см. пример 11, стр. 28) и выясним, что может служить базисом для прямой, плоскости и физического пространства.

1.Зафиксируем на прямой l какой-нибудь ненулевой вектор e1. Тогда, как мы выяснили ранее (см. пример 18, стр. 34), любой вектор v прямой l линейно

выражается через вектор e1. Следовательно, по определению (см. опр. 16, стр. 36), система векторов прямой, содержащая единственный ненулевой

вектор e1, является системой ее образующих. Кроме того, эта система со всей очевидностью (см. опр. 15, стр. 32) является линейно независимой. Это означает (см. опр. 17, стр. 36), что базисом прямой может служить любой ненулевой вектор.

С другой стороны, если мы расмотрим какую-либо пару в екторов e1, e2, то любой вектор v прямой l также будет линейно выражаться через e1, e2 (действительно, как мы только что установили v линейно выразится даже через один вектор e1, поэтому достаточно приписывать второму вектору e2 всегда нулевой коэффициент, чтобы получить нужное выражение). Однако набор из двух векторов прямой линейно зависим (см. пример 18, стр. 34). Следовательно, два вектора, являясь системой образующих прямой, не являются ее базисом.

Более того, любой набор векторов прямой, содержащий более одного вектора — это система ее образующих, но не базис.

2.Далее, зафиксируем на плоскости π пару ненулевых векторов e1, e2, непараллельных друг другу. Выше мы установили (см. пример 18, стр. 34), что

любой вектор v плоскости π линейно выражается через векторы e1, e2. Значит (см. опр. 16, стр. 36), система векторов прямой, содержащая пару нену-

левых векторов e1, e2, является системой ее образующих. Кроме того, эта система, как можно заключить, исходя из геометрических соображений, является линейно независимой (см. опр. 15, стр. 32). Следовательно, (см. опр. 17, стр. 36), базисом плоскости может служить любая пара непараллельных векторов.

С другой стороны, если мы рассмотрим какую-либо тройку непараллельных

векторов e1, e2, e3, то любой вектор v плоскости π также будет линейно выражаться через e1, e2, e3. Однако набор из трех векторов плоскости линейно зависим (см. пример 18, стр. 34). Следовательно, три непараллельных вектора, являясь системой образующих плоскости, не являются ее базисом.

Более того, любой набор векторов плоскости, содержащий более двух непараллельных векторов — это система ее образующих, но не базис.

3.Наконец, аналогичные (но более громоздкие) рассуждения приводят к выводу, что базисом физического пространства может служить любая тройка ненулевых векторов, не лежащих в одной плоскости. Вместе с тем, любая система векторов физического простанства, содержащая более трех ненулевых векторов, не лежащих в одной плоскости, служит системой его образующих и не служит базисом.

Итак, вывод: любой базис прямой состоит из единственного ненулевого вектора; любой базис плоскости состоит из двух непараллельных векторов; любой базис физического пространства состоит их трех ненулевых векторов, не лежащих в одной плоскости. Эти факты сыграют существенную роль в дальнейшем, при изучении размерностей векторных пространств (см пример 21, стр. 38).

Теорема 13 (о разложении по базису) Пусть в векторном простанстве

V фиксирован некоторый базис e1, . . . , en. Тогда любой вектор v векторного пространства V допускает разложение по этому базису:

v = α1e1 + · · · + αnen ,

причем это разложение единственно. Коэффициенты разложения вектора v по базису e1, . . . , en называются координатами вектора v, вычисленными в базисе e1, . . . , en.

Доказательство Фактически, нам нужно установить два факта:

1. что такое разложение вообще существует,

2. и что оно единственно.

Докажем существование. Так как e1, . . . , en — базис пространства V , то, по определению (см. опр. 17, стр. 36), этот набор векторов является, в частности, и системой образующих пространства V . Следовательно (см. опр. 16, стр. 36), любой вектор v векторного пространства V допускает разложение по этому набору векторов:

v = α1e1 + · · · + αnen ,

и, тем самым, существование разложения доказано. Докажем его единственность. Допустим, что существуют два разложения одного и того же вектора v по базису e1, . . . , en:

v= α1e1 + · · · + αnen , v = β1e1 + · · · + βnen ;

ичто они различны. Вычтем второе равенство из первого:

(α1 − β1)e1 + · · · + (αn − βn)en = 0 .

Таким образом, возникает линейная комбинация, обращающая в ноль набор векторов e1, . . . , en. Но этот набор является базисом, и, следовательно (см. опр. 17, стр. 36) он линейно независим. Следовательно, (см. опр. 15, стр. 32), эта линейная комбинация должна быть тривиальной, то есть (см. опр. 12, стр. 32) все ее коэффициенты должны равняться нулю:

и мы пришли к противоречию: ведь изначально мы предполагали, что разложения различны.

Теорема доказана.

Итак, базис векторного пространства позволяет устраивать разложения векторов векторного пространства по базису и тем самым вычислять их координаты. Базис — это инструмент, при помощи которого можно описывать численно векторы векторных простанств, причем при фиксированном базисе это описание однозначно.

Определение 18 (размерность векторного пространства) Пусть V —

векторное пространство, e1, . . . , en — его базис. Размерностью векторного пространства V называется число n элементов его базиса. Она обозначается символом dim (от английского dimension — размерность):

dim V = n .

Пример 21 Рассмотрим еще раз геометрическую серию примеров (см. пример 11, стр. 28). Как мы установили выше (см. пример 20, стр. 36),

1.базис прямой l состоит из единственного вектора, следовательно, dim l = 1,

2.базис плоскости π состоит из двух векторов, следовательно, dim π = 2,

3.базис физического пространства R3 состоит из трех векторов, следовательно, dim R3 = 3.

Пример 22 Рссмотрим пространство строк длины n.

Rn = {(α1, α2, . . . , , αn) | αi R i} .

Как мы уже отмечали выше (см. пример 12, стр. 29), это множество является векторным пространством. Выясним, что может служить его базисом и, соответственно, какова его размерность. Пусть

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0); e2 = (0, 1, 0, . . . , 0); . . . en = (0, 0, 0, . . . , 1) .

Тогда любой вектор v = (α1, α2, . . . , αn) из V может быть представлен в виде:

v = α1e1 + α2e2 + · · · + αnen ,

причем это представление единственно. Отсюда (см. опр. 17, стр. 36 и теор. 13, стр. 37) набор векторов e1, . . . , en является базисом в Rn. Размерность же Rn равна числу элементов его базиса, то есть, dim Rn = n.

Пример 23 Рассмотрим множество R≤n[x] многочленов, степень которых не превосходит n. Выше мы уже отмечали (см. пример 15, стр. 30), что это множество является векторным пространством. Опишем его базис и вычислим размерность. В качестве базиса этого пространства можно выбрать символы:

e1 = 1, e2 = x, e3 = x2, . . . en+1 = xn .

Действительно, пусть f (x) — произвольный многочлен из R≤n[x]. Тогда он имеет вид

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn или f (x) = a0e1 + a1e2 + a2e3 + · · · + anen+1 ,

причем это представление единственно. Отсюда (см. опр. 17, стр. 36 и теор. 13, стр. 37) набор векторов e1, . . . , en является базисом в R≤n[x]. Размерность вычисляется как число элементов базиса: dim R≤n[x] = n + 1.

Пример 24 Рассмотрим полную матричную алгебру второго порядка Matr 2. Как всякая алгебра, она является векторным пространством. Здесь нас интересует ее базис и размерность. В качестве базиса можно выбрать следующий набор из четырех матриц:

Действительно, пусть A — произвольная матрица из Matr 2. Тогда она может быть представлена в виде линейной комбинации матриц E1, E2, E3, E4:

причем это разложение единственно. Отсюда, так же как и выше, мы заключаем, что набор матриц E11, E12, E21, E22 является базисом в полной матричной алгебре Matr 2. Размерность вычисляется как число элементов базиса: dim Matr 2 = 4.

Легко можно показать, что в общем случае dim Matr n = n2.

2.2.4Подпространства векторных пространств

Векторные пространства, как множества, обладают некоторыми подмножествами, свойства которых аналогичны свойствам объемлющих пространств. Такие подмножества получаются, например, при действии линейных операторов на вектороное пространство, что понадобится нам в дальнейшем. В этом разделе мы рассмотрим векторные подпространства, уделяя особое внимание геометрической серии примеров (см. пример 25, стр. 40)

Определение 19 (векторное подпространство) Пусть V — векторное пространство, U — некоторое его подмножество. U называется векторным подпространством пространства V , если оно замкнуто относительно суммы и скалярного кратного (то есть, если оно само является векторным пространством).

Определение 20 (собственные и несобственные подпространства)

По определению, само пространство V и множество, состоящее из одного нулевого вектора, являются подпространствами в V . Они называются несобственными. Все остальные подпространства называются собственными.

Теорема 14 (об образующих векторного подпространства) Пусть V

— векторное пространство, u1, . . . , un — произвольный набор векторов из V . Тогда множество всевозможных линейных комбинаций векторов u1, . . . , un образуют в векторном пространстве V векторное подпространство U .

Доказательство Покажем, что множество U замкнуто относительно операций сложения и скалярного кратного. Пусть

α1u1 + · · · + αnun ; β1u1 + · · · + βnun

— две линейные комбинации векторов u1, . . . , un. Тогда их сумма

α1u1 + · · · + αnun + β1u1 + · · · + βnun = (α1 + β1)u1 + · · · + (αn + βn)un

— это тоже некоторая линейная комбинация векторов u1, . . . , un. Следовательно, множество U замкнуто относительно сложения. Далее, если мы домножим какую-нибудь линейную комбинацию векторов на коэффициент α, то

α(α1u1 + · · · + αnun) = αα1u1 + · · · + ααnun .

В результате мы снова получим линейную комбинацию векторов u1, . . . , un. Следовательно, множество U замкнуто относительно скалярного кратного. Таким образом (см. опр. 19, стр. 40), множество U является векторным подпространством в V .

Теорема доказана.

Пример 25 Рассмотрим снова геометрическую серию примеров векторных подпространств (см. пример 11, стр. 28).

1.Прямая l не обладает собственными векторными подпространствами. В качестве подпространств прямой выступают только ноль (нулевое подпространство) и сама прямая l.