0085730_32E51_mosin_v_g_matematicheskie_osnovy

Пример 140 Треугольник с вершинами A(1, 3), B(5, 2), C(3, 4) равномерно масштабируется относительно вершины C с коэффициентом 2 (см. рис. B.1, стр. 200). Найти координаты вершин результирующего треугольника A B C .

Масштабирование плоскости как линейный оператор возможно только относительно начала координат. Поэтому для реализации нужного нам плоского преобразования η в матричной форме необходимо сначала сместить центр масштабирования C(3, 4) в начало координат, на вектор b = {−3, −4} (то есть — выполнить трансляцию Tb), затем выполнить равномерное двукратное масштабирование плоскости S2 и наконец — выполнить обратное смещение: трансляцию T−b на вектор −b = {3, 4}.

Теперь можно вычислить координаты результирующего треугольника просто при помощи матричного умножения: для этого нужно предварительно перейти к проективным координатам (см. определение 83 на стр. 199):

Как и следовало ожидать, центр масштабирования под его действием перешел в себя.

Пример 141 Треугольник с вершинами A(4, 2), B(4, 4), C(6, 2) симметрично отражается относительно точки G(1, 3) (см. рис. B.2, стр. 202). Найти координаты вершин результирующего треугольника A B C .

Симметричное отражение плоскости относительно начала координат — это то же самое, что и поворот на π (или равномерное масштабирование с коэффициентом (−1) — как угодно). Поэтому для реализации нужного нам плоского преобразования η в матричной форме необходимо сначала сместить центр симметрии (масштабирования или поворота — как угодно) G(1, 3) в начало координат, на вектор

b = {−1, −3} (то есть — выполнить трансляцию Tb), затем выполнить равномерное масштабирование плоскости S−1 (или поворот Rπ ) и наконец — выполнить обратное смещение: трансляцию T−b на вектор −b = {1, 3}.

00 1

Теперь можно вычислить координаты результирующего треугольника просто при помощи матричного умножения: для этого нужно предварительно перейти к проективным координатам (см. определение 83 на стр. 199):

Пример 142 Треугольник с вершинами A(5, 1), B(5, 3), C(6, 1) симметрично отражается относительно прямой l : y = x (см. рис. B.2, стр. 202). Найти координаты вершин результирующего треугольника A B C .

Выше мы отнесли к основным плоским преобразованиям симметричные отражения Qx, Qy плоскости относительно координатных осей. Поэтому для реализации нужного нам плоского преобразования η в матричной форме необходимо сначала повернуть плоскость так, чтобы прямая l совпала с одной из осей. Можно, например, выполнить сначала поворот R−π/4 на угол −π/4, добившись тем самым

совмещения прямой l с осью x, затем выполнить отражение Qx относительно этой оси и, наконец, выполнить обратный поворот Rπ/4 плоскости на угол π/4.

Теперь можно вычислить координаты результирующего треугольника просто при помощи матричного умножения для этого нужно предварительно перейти к проективным координатам (см. определение 83 на стр. 199):

B.4 Задачи для самостоятельного решения

Задача 14 Определить, являются следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми (см. опр. 75, стр. 188 и соответствующие примеры):

Задача 15 Пусть на плоскости R2 фиксирован базис e1, e2, и пусть в этом базисе векторы f1, f2 и h1, h2 имеют известные разложения. Пусть, кроме того, известны координаты xF вектора x в базисе f1, f2:

Вычислить координаты xH вектора x в базисе h1, h2 (см. теор. 93, стр. 191 и соответствующие примеры).

Задача 16 Оператор ϕ действует в трехмерном пространстве R3, переводя векторы ai в векторы bi (i = 1, 2, 3):

Вычислить матрицу оператора ϕ в том базисе, в котором указаны координаты всех векторов (см. опр. 81, стр. 194 и соответствующие примеры).

Для решения следующих задач воспользуйтесь результатами, полученными в разделе B.3, стр. 198.

Задача 17 Треугольник ABC поворачивается относительно точки H на угол α. Вычислить координаты вершин результирующего треугольника, если:

3)A(3, −3) , B(3, −1) , C(5, −1) , H(2, −1) , α = 3π/2 .

Задача 18 Треугольник ABC равномерно масштабируется относительно точки H с коэффициентом k. Вычислить координаты вершин результирующего треугольника, если:

Задача 19 Треугольник ABC симметрично отражается относительно прямой l. Вычислить координаты вершин результирующего треугольника, если:

206 Приложение C. Функции и графики

рические функции. Их производные были получены нами ранее (см. раздел 5.2.3, стр. 121), здесь мы продублируем этот результат в виде следующей теоремы.

Теорема 96 ( таблица производных ) Простейшие элементарные функции дифференцируются в соответствии со следующими формулами, которые мы объединили по блокам:

1.Производная константы: C = 0, а также — производная перменной, по которой ведется дифференцирование: x = 1.

2.Производная степенной функции:

( xα) = αxα−1, где α — любое вещественное число;

3. Производные тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс:

4.Производные обратных тригонометрических функций арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс:

5. Производные показательных и логарифмических функций:

Далее вопроизведем еще раз правила дифференцирования, полученные выше в теоретическом блоке (см. раздел 5.2.2, стр 119), после чего — рассмотрим примеры.

Теорема 97 (правила дифференцирования) Для любых двух дифференцируемых функций f (x) и g(x) сраведливы следующие правила дифференцирования:

1. дифференцирование суммы: f (x) + g(x) = f (x) + g (x),

2. дифференцирование произведения: f (x) · g(x) = f (x) · g(x) + f (x) · g (x)

(в частности, если один из множителей, например f (x), является константой C, то · g(x) = · g (x), то есть — постоянный множитель можно выносить из-под знака производной),

3. дифференцирование частного: f (x) = f (x) · g(x) − f (x) · g (x) . g(x)

Пример 143 Пусть требуется продифференцировать функцию y:

Прежде всего, воспользуемся правилами дифференцирования (см. теор. 97, стр. 206) для того, чтобы свести вычисления к табличным производным:

Здесь мы сначала свели дифференцирование суммы к сумме производных, а затем

— вынесли из-под знака производной постоянные множители.

Теперь, согласно таблице производных (см. теор. 96, стр. 206), мы можем вычислить производные каждого слагаемого:

Таким образом, результатом дифференцирования данной функции y служит следующая функция y :

Пример 144 Приведем пример на применение правила дифференцирования произведения (см. теор. 97, стр. 206). Пусть требуется продифференцировать следующую функцию: √

y = x sin x .

Она представляет собой произведение двух элементарных функций √x и sin x. Поэтому:

√ √ √ 1 √

y = x · sin x = ( x ) · sin x + x · (sin x) = 2√x · sin x + x · cos x .

Таким образом, результатом дифференцирования служит следующая функция:

Пример 145 Пусть требуется продифференцировать функцию y, являющуюся частным двух элементарных функций:

y = 3x2 + x − 3 . log5 x

Согласно правилу дифференцирования частного (см. теор. 97, стр. 206), мы должны выполнить следующие действия:

Теперь нам нужно выполнить дифференцирование двух скобок в числителе. Вторая из них — это табличная функция, а к первой можно применить правило дифференцирования суммы (см. теор. 97, стр. 206 и пример 143, стр. 206).

y = (6x + 1) · log5 x − (3x2 + x − 3) · (1/x ln 5) .

Пример 146 Продифференцируем следующую функцию:

√

3 x2 − 1

y = √ . x

Пример 148 Пусть требуется продифференцировать сложную функцию y = ln cos x. Мы можем представлять дифференцируемую функцию следующим об-

Поэтому, согласно правилу дифференцирования сложной функции (см. теор. 98, стр. 208), производная сложной функции y имеет следующий вид:

Подставим вместо u выражение этой функции через независимую переменную x, после чего вычислим производную элементарной функции u(x) = cos x, просто воспользовавшись таблицей производных (теор. 96, стр. 206):

y = cos1 x · (cos x) = cos1 x · (− sin x) = − ctg x .

√

Пример 149 Вычислим производную следующей функции: y = x2 + x + 1. Данная функция является сложной, и мы можем трактовать ее следующим образом:

y = √u , где u = x2 + x + 1 .

Действуем по правилу дифференцирования сложной функции (теор. 98, стр. 208):

Далее вычисляем производную функции u(x) = x2 + x + 1, пользуясь правилом дифференцирования суммы (теор. 97, стр. 206) и таблицей производных (теор. 96, стр. 206) для вычисления производных каждого слагаемого:

Возможны более сложные ситуации. Например, когда функция связана с независимой переменной не через одну, а через несколько промежуточных функций. Принцип вычисления производной такой функции остается тем же. Продемонстрируем это на примере.

По правилу дифференцирования сложной функции (теор. 98, стр. 208), пользуясь также таблицей производных элементарных функций (теор. 96, стр. 206), получим

Подставим вместо функции u(x) ее выражение через независимую переменную:

√

u = ln x . В результате, дифференцирование исходной сложной функции мы

√

свели дифференцированию другой функции (u = ln x ), которая устроена проще

Выражение, стоящее в скобках, которое нам остается продифференцировать, снова является сложной функцией

√

u = v , где v = ln x ,

к которой мы снова можем применить правило дифференцирования сложной функции (теор. 98, стр. 208):

Таким образом, возвращаясь к вычислению исходной производной y , мы можем записать для нее следующее выражение:

Теперь для получения результата нам остается продифференцировать ln x. Воспользуемся таблицей производных (теор. 96, стр. 206), так как (ln x) — это уже табличная производная.

Таким образом, применяя правило дифференцирования сложной функции нужное число раз, мы на каждом звене выкладки упрощаем вычисления и сводим, в конечном счете, вычисления к какой-либо табличной производной.

Заметим, что в приведенных примерах на вычисление производных сложных функций мы вводили вспомогательные обозначания для промежуточных функций. Следует иметь ввиду, что делать этого в реальных выкладках не следует. Наоборот, нужно стремиться к тому, чтобы все расписанные нами выше очень подробно рассуждения проводились бы вами в уме.

Например, в реальных (а не в учебных) условиях все решение примера 150 — это одна строчка:

Все остальные рассуждения приведены для разъяснений по поводу производимых действий.

Рассмотрим (уже не так подробно) еще несколько примеров. Пример 151 Продифференцировать функцию y = sin 2x · cos 3x.

Здесь функция является произведением двух функций, каждая из которых является сложной (так как, например, в первом случае элементарная функция sin применяется не к независимой переменной x, а к выражению, зависящему от x, именно: к 2x).

Поэтому прежде всего мы применяем правило дифференцирования произведения (теор. 97, стр. 206) для того, чтобы свести вычисления к дифференцированию множителей:

y = (sin 2x) · cos 3x + sin 2x · (cos 3x) .

Появившиеся в правой части две производные мы можем взять по правилу дифференцирования сложной функции (теор. 98, стр. 208).

y = (sin 2x) · cos 3x + sin 2x · (cos 3x) =

=cos 2x · (2x) · cos 3x + sin 2x · (− sin 3x) · (3x) =

=2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x .