Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А

` график решения (1) , ` 2 Q^ dy = p dt íà `.

Задача Коши для (1): (различные формулировки)

1.Íà Q задана точка. Найти то решение уравнения (1), график которого проходит через эту точку.

2.Заданы числа t0; y0; p0, удовлетворяющие условию f(t0; y0; p0) = 0. Найти y(t) то решение уравнения (1), для которого выполняется (2):

Замечание: Мы зада¼м три числа, чтобы исключить возможность протыкания прямой поверхности в нескольких точках.

Все величины, которые рассматриваются в этом параграфе, вещественные.

d

Теорема: Пусть f(t0; y0; p0) = 0, dpf(t0; y0; p0) 6= 0. Тогда существует решение задачи (1)^(2). Если y1(t); y2(t) решения задачи (1) ^ (2), то y1(t) = y2(t) в некоторой окрестности точки t0.

[ Вопрос на понимание: окрестность равномерная? ]

Доказательство: В силу наших ограничений по теореме о неявных функция в некоторой окрестности точки t0 соотношение f(t; y; p) = 0 эквивалентно

p = g(t; y);

где g непрерывна вместе с первыми частными производными. Тем самым, в некоторой окрестности нашей точки уравнение f(t; y; y0) = 0 эквивалентно

Начальные данные приобретают следующий вид:

Тем самым, в некоторой фиксированной окрестности точки (t0; y0; p0) используем теорему 3.

Замечание: Из доказательства видно, что окрестность фиксированная, то есть не зависит от выбора функции.

2.

Определение: Решение уравнения (1) называется особым, если на каждом интервале графи-

ка этого решения существуют точки, в которых нарушается единственность решения задачи Коши.

Теорема: Пусть y = y(t) особое решение (1). Тогда в каждой точке графика этого решения

имеет место f = 0 и @f@p = 0. (от противного, если бы производная не равнялась нулю, то можно было бы воспользоваться предыдущей теоремой существования и единственности решения задачи Коши).

Определение: Множество точек, в которых f = 0 ^ @f@p , называется p-дискриминантным множеством уравнения p = 0. Стандартное обозначение: . Тогда предыдущую теорему можно

переформулировать так:

Теорема: График особого решения лежит на p-дискриминантном множестве этого уравнения.

Замечание: В типичном случае множество двумерное множество в тр¼хмерном пространстве. p-дискриминантное множество зада¼тся двумя уравнениями, поэтому имеет вид кривой. Кандидатами в особое решение являются какие-либо из этих кусков кривых.

Если кусок кривой является решением, то отсюда не следует, что это решение особое. Вообще говоря, задача формулировки достаточного условия особого решения выходит за рамки программы МФТИ. Поэтому когда мы применяем эти при¼мы к исследованию уравнения, необходимо всегда помнить, что эти требования являются обязательными. Для доказательства надо провести дополнительное исследование.

3. Примеры

Совокупность графиков решений множество горизонтальных прямых. Дискриминантное множество:

:

p2 = 0

2p = 0

Каждая точка плоскости принадлежит дискриминантному множеству. С другой стороны, особых решений нет.

4. Уравнение Клеро.

y = ty0 + f(y0);

где f определена на интервале ( ; ), и f00 непрерывна на ( ; ), f00 > 0.

Замечание: Клод Алексис Клеро. Работал в 1 половине 18 века. Первую математиче- скую работу (исследование геометрических свойств алгебраических кривых 4 порядка) написал в 12 лет. В 16 лет изучил кривые двоякой кривизны. В 18 лет стал адъюнктом Парижской Академии Наук. Вв¼л криволинейные интегралы, понятие полного дифференциала функции нескольких переменных. Кроме того, занимался теорией формы Земли, движения Луны, и т.д.

y = tp + f(p); dy = p dt. Решаем уравнение в переменных t; p.

p dt + t dp + f0(p) = p dt

(p + f0(p)) dp = 0

Надо рассмотреть две возможности:

(a) dp = 0 , p = C const. y = Ct + f(C). Мы получили семейство прямых `(C), зависящих от параметра C. Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что действительно решение.

(b) На решении t + f0(p) = 0.

t = f0(p); y = f0(p)p + f(p) (параметрическая запись решения.)

Òàê êàê ddpt = f00 < 0, то оно не обращается в 0. По теореме о неявной функции, соотношение t = t(p) , p = p(t).

Обозначим эту кривую . Она выпукла вверх. Мы нашли семейство решений, и ещ¼ одно решение. Как они связаны друг с другом? Докажем, что совокупность этих `(C) совокупность касательных к нашей кривой .

Доказательство: Çàäà¼ì t0 = f0(p0), получаем y0 = f0(p0)p0 + f(p0).

`(C); C = p0; y = p0t + f(p0); t0 = f(p0); y0 = f0(p0)p0 + f(p0); y00 = C = p0:

Действительно, это та же самая точка, касательная в этой точке совпадает с нашей кривой.

Общая картина такая. Есть выпуклая вверх кривая , и берутся всевозможнные каса-

тельные к этой кривой. Множество касательных в объединении с кривой есть решение нашей задачи.

Замечание: существенно было то, что мы предположили, что f00 > 0. Хорошая задача: исследовать случаи