Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

"y00 + ay0 + by = f(t)

, f0(t) непрерывна на [ ; ], " = 0, a = 0.

y( ) = y ;

(10 ); (10 )

ay0 + by = f(t)

.).pdf

Скачиваний:

142

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

7. Первая краевая задача. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Задачи с сингуля

Доказательство: Составим функцию

def

f(t)

W (t) = y(t)

;

W 0(t) +

f0(t)

W =

(8)

W ( ) = y

f( )

W (t) = y

e a=" (t ) Z

a="

(t )f0( )

f( )

d (ñì. x6; (6))

}

обозначим u(t)

a max jf0j

d = a2 max jf0j

1 e a=" (t )

6 a2 max jf0j

u(t) 6 Z e

a="

)

Дополнение к теореме:

Рассуждение прокатывает, если a" > 0, начальное условие на левом конце. Кроме того, если a" < 0 и начальное условие на правом конце, совершая замену t ! t, теорема верна.

Åñëè a" < 0, начальное условие на левом конце, или a" > 0 и начальное условие на правом конце, то решение на соответствующем конце быстро раст¼т, и это не тот случай, который

мы изучаем.

Пример: "y0 y = 0, " > 0, y0( ) = 1. Решение: y = e(t )=".

22	ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.В этом пункте все величины вещественные.

Теорема: Пусть " > 0, a > 0. Тогда для достаточно малого " решение y(t) задачи (9) ^(10 ) ^ (10 ) существует и единственно. Оно может быть при " ! 0 представлено в виде

y(t) = y^(t) + y y^( ) e a=" (t ) + u(t);

где y^(t) решение (11) ^ (10 ), а u(t) = O("). O( ) означает оценку, равномерную на [ ; ].

Доказательство: Обозначим

def

W (t) = y(t) y^(t)

Несложными вычислениями получаем равенства:

W 00 +

W 0

W =

y^00

(t)

y^00

f0 by^

(12)

Стандартный метод решения задач: находим частное решение, затем общее решение. Пусть W (t) то решение (12), для которого выполнены условия

	W ( ) = 0;					W 0( ) = 0				(13)
Покажем, что W (t) = O("). Составим характеристическое уравнение:
		2 +	a		+	b	= 0:

	"				"
Его корни:	a + p							a p
1 =		a2 4b"		;		2 =			a2 4b"
	2"				2"

7. Первая краевая задача. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Задачи с сингуля

b	+ O("); 2 ! 1	2" = a + O(")
1 = a

Запишем (12) в следующем виде:

(D 1)(D

2)W = y^00; D

def

(12)

(14)

(D 1)v = y^00

(15)

(D 2)W = v

Èç (13) è (15)

) v( ) = 0

(16)

Èç (14)

)

v = O(1);

= O(1)

(15)

"W 0

+ W

= "v;

= a + O(")

Так как W ( ) = 0, то используя формулу для решения уравнения (15) в виде (7), получаем

W = O(").

Подбер¼м общее решение, удовлетворяющее начальным условиям: W (t) = W (t) + z(t).

		a			b
	( z00 +			z0 +		z = 0			(17)
	( z00 +		"	z0 +	"	z = 0	z( ) = W ( )		(17)
		z( ) = y y^( );					z( ) = W ( )
		z(t) = C1e 1(t ) + C2e =" (t )
		C1 + C2 = y y^( )							(18)
		C1e 1( ) + C2e =" ( ) = W ( )
det k k = det		1			1			6= 0 для достаточно малых ":
det k k = det	e 1( ) e =" ( )[!0]							6= 0 для достаточно малых ":

Тем самым, система (18) имеет, и при том единственное, решение. Если уравнение (17) имеет

единственное решение, то исходная краевая задача (9) ^ (10 ) ^ (10 ) для достаточно малых " имеет единственное решение.

C1 = O("); C2 = y y^( ) + O(")

В качестве упражнения читателю предоставляется следующее:

def	e =" (t ) e a=" (t ) = O("); ãäå = a + O(")
q(t) =	e =" (t ) e a=" (t ) = O("); ãäå = a + O(")

u(t) = W (t) + C1e 1	(t ) +	y y^( ) q(t) +	C2 y + y^( ) e =" (t ) = O("):
Справедливость последнего
	равенства легко проверяется раскрытием скобок. Доказательство

завершено.

Замечание: Фактически рассмотрен случай "a > 0. Если "a < 0, то надо сделать замену t 7! t. На рисунке изображено решение (11) ^ (10 ) y^(t) и y(t).

24	ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ.

8. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Матричные функции Q(t) скалярной переменной t.

t вещественная,

Q(t) =		q11(t) : : : q1m(t)
	q		(t)	: : : q		(t)
			n1		nm

qrs(t) вещественная, если нужно, комплексная (оговаривается отдельно). Введем следующие определения:

1.	Q(t) непрерывна					,		âñå qrs непрерывны.
2.		dQ(t)			,	dqrs(t)
				= L(t)					= `rs(t) äëÿ âñåõ r; s; `rs соответствующие элементы L(t).
			dt				dt

3.	Z		Q(t) dt = L		,	Z	qrs(t) dt = `rs äëÿ âñåõ r; s; `rs соответствующие элементы L(t).

Замечание: Порядок сомножителей для матриц важен!

Теорема:

1. Пусть dA(t) è dB(t) существуют и (A + B) определено. Тогда dt dt

d A(t) + B(t)

dA(t)

dB(t)

2. Пусть

dA(t)

dB(t)

существуют и AB определено. Тогда

d A(t)B(t)	=	dA(t)	B(t) + A(t)	dB(t)

dt		dt		dt

8. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Пусть

dQ(t)

непрерывна на [ ; ]. Тогда

Q(t)

dt = Q( ) Q( )

Обозначение:

x11

; : : : ; xn1 комплексные

2 Cn

def

x11; : : : ; xn1 вещественные

xn1

8 f1(t; y1; y10 ; : : : ; y1(k1); : : : ; ym; ym0 ; : : : ; ym(km)) = 0

:fm(t; y1; y10 ; : : : ; y1(k1); : : : ; ym; ym0 ; : : : ; ym(km)) = 0

t независимая переменная (вещественная); y1; : : : ; ym искомые функции от t. f1; : : : ; fm заданные функции, y1; : : : ; ym, f1; : : : ; fm вещественные или комплексные.

Такую систему можно свести к системе, в которую входит только первая производная. Стандартный способ такого сведения:

f(t; y; y0; : : : ; y(k)) = 0

u10

= u2

= u1

= y0; u

= y00; : : : ; u

= y

: : :

k 2

> f(t; y; u1; : : : ; uk 1; uk0 1) = 0

8 f1(t; y1; : : : ; yn; y10 ; : : : ; yn0 ) = 0

(1)

< fn(t; y1; : : : ; yn; y10 ; : : : ; yn0 ) = 0

~y =

;

f~ =

def

f~(t; ~y; y~0) = ~0

(1)

Определение: Функция ~y = '~(t) решение (1), если:

1.'~(t) определена на некотором промежутке ( ; ), ( ; ], [ ; ), или [ ; ].

2.~0

'(t) непрерывна на ( ; ), ( ; ], [ ; ), или [ ; ] соответственно.

3. ~ ~0 ~

f t; '~(t); ' (t) = 0 на ( ; ), ( ; ], [ ; ), или [ ; ] соответственно.

26	ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ.

Важный частный случай:

8 < y10

: yn0

=f1(t; y1; : : : ; yn)

=fn(t; y1; : : : ; yn)

d~y	~
dt	= f(t; ~y)

(2)

Система (2) называется нормальной формой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, где каждое уравнение разрешено относительно производной.

Задача Коши для (2):

Заданы t0, ~y0. Найти ~y(t) решение (2), удовлетворяющее условию ~y(t0) = ~y0.

9. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

8 y10 = a11y1 + : : : + a1nyn + f1(t)

(1)

< yn0 = an1y1 + : : : + annyn + fn(t)

Для определ¼нности t

меняется на отрезке

6 t 6

. (

вещественная).

y1; : : : ; yn искомые

функции от t; f1; : : : ; fn заданные функции; a11; : : : ; ann заданные числа.

ars; yr; fr комплексные. f1(t); : : : ; fn(t) непрерывны на [ ; ].

~y =

y.1

; f~

f.1

; A =

a11 : : : a1n

an1 : : : ann

d~y

= A~y + f(t)

(1)

Задача Коши для (1):

Заданы t0 2 [ ; ] è ~y0. Найти ~y(t) решение (1), удовлетворяющее условию

~y(t0) = ~y0

(2)

Теорема: Пусть A линейное преобразование в линейном комплексном пространстве. Пусть

существует базис из собственных векторов A. Тогда в этом базисе A имеет вид

1 ..

(диагональная матрица ), где

; : : : ;

корни характеристического уравнения det(A

E) =

9. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Замечание:
	0	1
	0	0

пример матрицы, у которой не существует базиса из собственных векторов.

Теорема: Пусть A линейное преобразование в комплексном линейном пространстве. Тогда существует базис, в котором матрица A верхняя треугольная.

2. Общий метод решения нормальных систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

A = SBS 1, где S матрица перехода к новому базису, B верхняя треугольная матрица,

b11 : : : b1n

B =		... .

bnn

d~y

1 d~y

(1)

= SBS

~y + f(t);

= BS

+ S

f(t)

d(S 1~y)

= B(S 1~y) + S 1f~(t)

S 1~y = J~ новая искомая функция, S 1f~(t) = F~ (t) новая заданная функция.

= BJ~ + F~ (t)

(10)

8 ddt1

= b11J1 + : : : + b1nJn + F1(t)

dJ2

= b22J2 + : : : + b2nJn + F2(t)

(10)

dJn

dt = b(n 1)(n 1)Jn 1 + : : : + b(n 1)nJn + Fn 1(t)

dJn

= bnnJn + Fn(t)

Порядок решения: снизу вверх

Следствия:

1.Система (1) решается в квадратурах (можно написать явное решение, содержащее за-

данные функции, элементарные функции, алгебраические операции и операцию интегрирования)

2.Теорема: Задача (1) ^ (2) имеет решение. Это решение может быть продолжено на весь отрезок [ ; ], и это решение единственно.

Доказательство:	~	1
~y(t0) = ~y0 ,			~y0
	J(t0) = S

= b22Y1 + : : : + b2nYn + F2(t)

28	ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ.

) ^

~y0

(1) ^ (2)

J(t0) = S

Рассмотрим дифференциальное уравнение

d~y

:a:11: : : :: :: :: : :a:1:n:

= A~y + f(t);

(1)

ãäå 6 t 6 , A =

= const; ~y =

y.1

; f~ = f.1

an1 : : : ann

Предположение:

непрерывна

íà

[ ; ]

;

комплексные.

f(t)

A; f; ~y

Пусть A = SBS 1, где S матрица перехода к новому базису, B верхняя треугольная.

Тогда:

~y(t) = S 1Y~ (t); f~(t) = S 1F~ (t)

= b11Y1

+ : : : + b1nYn + F1

(t)

@Y2

(1)

(10) :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

>@Yn

>= bnnYn + Fn(t)

3. Однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассматривается уравнение

d~z	= A~z;	1 6 t 6 1	(3)
dt

Теорема: Пусть существует базис ~g1; : : : ;~gn из собственных векторов A~gr = r~gr; r = 1; n. Тогда ~z(t) решение (3) тогда и только тогда, когда

~z(t) = C1e 1t~g1 + : : : + Cne nt~gn;

ãäå C1; : : : ; Cn числа.

> dz1 = 1z1;

> dt

Доказательство: Система имеет вид: : : : : : : : : : : : Обозначая S = k~g1; : : : ;~gnk, получим

d n

= nzn

, èëè

zi(t) = Cie

it.

~z(t) = SZ(t)

1t 0

2t 1

nt 0

~z(t) = C1e

+ C2e

+ : : : + Cne

; ~z(t) = SZ(t)

9. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

k~g1; : : : ;~gnk k0 : : : 1 : : : 0k> = ~gk (на k ом месте стоит 1)

Теорема: Пусть система линейных однородных дифференциальных уравнений (3) такова, что характеристическое уравнение det(A E) = 0 имеет корни 1; : : : ; m кратности k1; : : : ; km. Тогда

	~z(t) решение (3)		) ~z(t) = ~q1(t)e 1t + : : : + ~qm(t)e mt;
ãäå ~qr(t) = ~qr0 + ~qr1 t + : : : + ~qrkr 1 tkr 1.
Доказательство:		8 dt1		= b11z1 + : : : + b1nzn
			dz
		> : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :					(30)
		>
		> dzn
		<
		>	dt	= bnnzn
		>
		>
	решения	:				.
b11; b22; b33; : : :		характеристического уравнения			det(A E) = 0
b11; b22; b33; : : :					det(A E) = 0

Доказываем утверждение в новом базисе, затем возвращаемся в старый:

~z(t) = SZ(t):

Не сказано, что ~z(t) решение. Это значит, что выражение любого решения представимо в таком виде, но не любое такое выражение решение .

Чтобы найти ~qi в старом базисе, используется метод неопределенных коэффициентов.

4. (1) è (3)

d~y		~
dt	= A~y + f(t)
	d~z	= A~z
	dt	= A~z
	dt

Теорема: Пусть ~y (t) какое-либо решение (1), ~y(t) = ~y (t) + ~z(t). Тогда

~y(t) решение (1) , ~z(t) решение (3).

Теорема: Пусть

		~	~		~
		f(t) = f1(t) + : : : + fn(t);
d~yk
d~yk		= A~yk + fk(t); k = 1; N; ~y(t) = ~y1(t) + : : : + ~yn(t):
	dt	= A~yk + fk(t); k = 1; N; ~y(t) = ~y1(t) + : : : + ~yn(t):
	dt
Тогда ~y(t) решение (1).
Далее ~
f(t) квазимногочлен.
Теорема: Пусть			~
			~	t	; ãäå
			f(t) = ~q(t)e		; ãäå
~q(t) = ~q0 + t~q1(t) + : : : + tn~qn(t);				~q0; : : : ; ~qn; константы.

Пусть k-кратный корень характеристического уравнения det(A E) = 0.

(1)

(3)

30	ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ.

Тогда существует решение (1), имеющее вид:

~y(t) = ~r(t)e t; ãäå

~r(t) = r0 + t~r1(t) + : : : + tk+n~rk+n(t); ~rs = const:

Доказательство: Перейдем к новой системе координат, где матрица преобразования имеет верхнетреугольную форму (10). Выкладки в исходной системе координат, методом неопреде-

ленных коэффициентов.

5. Пусть все вещественно.

det(A E) = 0 имеет вещественные корни и пары комплексно сопряженных корней + i иi одинаковой кратности.

e( +i )t = e t(cos t + i sin t):

Если вещественное:

e t~r(t)

В случае комплексных корней:

1 = + i ; 2 = + i : ~q1(t)e 1t + ~q2(t)e 2t = e t(~r(t) cos t + ~s(t) sin t)

10. Матричные формулы решений обыкновенной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

d~y

= A~y + f~(t); 6 t 6 ; A =

:a:11: : : :: :: :: : :a:1:n:

= const; ~y =

y.1

; f~ =

f.1

(1)

an1 : : : ann

	d~z	= A~z	(2)
	dt

При n = 1 имеем такие формулы: y(t) = e(t t0)Ay(t0) + tZ0			t
			e(t )Af( )d è z(t) = e(t t0)Az(t0).

1.Введем понятие матричной экспоненты.

2.Докажем эти формулы.

3.Дадим удобный способ вычисления etA.

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.09.2019334.34 Кб3Лекции Дегтярева.doc
#
13.02.2015375.81 Кб25Лекции КМСП.doc
#
13.02.2015477.7 Кб283Лекции Методы оптимальных решений.doc
#
13.02.2015669.7 Кб27лекции мирэкОЗО.doc
#
12.03.20162.18 Mб29Лекции по алгебре 1 модуль.doc
#
12.03.20163.56 Mб142Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А.).pdf
#
11.11.2019262.41 Кб5Лекции по жилищному праву (Селиванова).docx
#
13.02.2015198.76 Кб35лекции по игпзс.rtf
#
13.02.2015222.21 Кб36Лекции по институциональной экономике № 1.pdf
#
13.02.2015205.14 Кб40Лекции по институциональной экономике №2.pdf
#
13.02.2015122.27 Кб21лекции по иогпр.rtf