Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А

10. Матричные формулы решений обыкновенной системы линейных дифференциальных уравнений с п

Теорема: Пусть B произвольная комплексная n n-матрица. Тогда ряд E + B + B2 + : : :

1! 2!

для каждого матричного элемента сходится и притом абсолютно.

Доказательство:

Свойства:

1. BC = CB ) eB eC = eB+C

Доказательство: Ряд для eB è eC формально перемножить, собрать члены при одинаковых степенях. Так можно делать, потому что ряды сходятся абсолютно.

2.(eB) 1 = e B

Доказательство:

B ( B) = B B ) eB e B = eB B = e0 = E

1)et1A et2A = e(t1+t2)A, t1A è t2A перестановочны;

2)detA = AetA = etAA, степенной ряд почленно дифференцируемый. dt

2.Теорема: Рассмотрим уравнение (1). Пусть 6 t0 6 . Тогда функция

является решением (1), удовлетворяющим

V

Каждое решение задачи (1) (4) совпадает на сво¼м отрезке определения с функцией, задаваемой формулой (3); решение задаваемое формулой (3) определено на вс¼м отрезке [ ; ].

Äëÿ (2):

z(t) = ~z0eA(t t0); ãäå ~z0 = ~z(t0)

Доказательство: y(t) = etA~u(t) ~u(t) = e tA~y(t)

3. Алгебраический способ вычисления etA.

Вспомогательные утверждения.

1.A = CBC 1 ) etA = CetBc 1

Доказательство:

10. Матричные формулы решений обыкновенной системы линейных дифференциальных уравнений с п

4. Жорданова форма матрицы

Определение: Упорядоченный набор векторов ~g1; : : : ;~gk называется цепочкой, соответству- ющей собственному значению линейного преобразования , если:

<

>

>

: A~gk = ~gk + ~gk 1

Теорема: (Жордана) Пусть А линейное преобразование в комплексном линейном пространстве. Тогда существует базис этого пространства, составленный из цепочек ( Жорданов базис).

r 1 0

et( E+Q) = et E etQ = et EetQ = et etQ:

При каждом умножении матрицы Q на себя, ¾диагональ¿, содержащая единицы, смещается на

1.f(t) m раз непрерывно дифференцируемая, f(m)(t) = g(t).

2.g(t) ! g~(p)

L

Тогда

g~(p) = pmf~(0) pm 1f(0) pm 2f0(0) : : : f(m 1)(0)

Доказательство:

Z t

f(m 1)(t) = f(m)( ) d + f(m 1)(0) оригинал

0

f(m 2); : : : ; f0(t) оригиналы.

Утверждение доказывается по индукции.

Теорема: Пусть f(t) ! f~(p), и выполнены следующие условия:

L

1.f(t) непрерывно дифференцируемая.

2.jf(t)j 6 Me t.

3.> .

Тогда при t > 0 имеет место

T

При t = 0 правая часто да¼т не f(0), а 12f(0).

Теорема: Пусть f1(t) ! f~1(p), f2(t) ! f~2(p). Пусть кроме того, f~1(p) = f~2(p).

L L

Тогда f1(t) = f2(t)

F1(t) = F2(t); f1(t) = f2(t)

3.Пусть выполнены следующие условия:

1.'(t) = tke t, комплексное, 0 6 k, k 2 Z.

2.> Re

Найд¼м преобразование Лапласа функции '.

'(t)e t ! 0 при t ! +1. Кроме того, j'(t)e tj 6 M, j'(t)j 6 Me t. Рассматривая p: Re p > , Re ( p + ), вычисляем

Z +1

e pttke t dt:

0

Таким образом,

|{z}

=C0

39

Глава 2. Элементы вариационного исчисления

В этой главе все величины вещественные.

Фиксируется класс функций K, рассматриваются функции F (y), где y 2 K, F (y) функционал.

Рассматривается такая задача: найти y : F min. Это и составляет предмет вариационного исчисления.

1. Простейшая задача вариационного исчисления

1.

Фиксируем отрезок t1 6 t 6 t2, y(t),

f задана при t1 6 t 6 t2, y, y0 любые.

Предположение: f непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка включительно.

Определение: Заданы числа y0; y1. Функция y(t) называется допустимой, если она удовлетворяет двум требованиям:

y0(t) непрерывна на отрезке [t1; t2]

y(t1) = y1; y(t2) = y2

Для того, чтобы подставить функцию в интеграл, достаточно первого условия, но мы сужаем класс функций, на которых рассматривается данный интеграл.

Определение: Допустимая функция y(t) дает минимум F , если существует положительное число ", такое, что для любой допустимой функции y~(t), удовлетворяющей условию

maxjy(t) y~(t)j + maxjy0(t) y~0(t)j < "

t t

имеет место F (y) 6 F (~y)

(1) Найти допустимую функцию, дающую минимум F . (Простейшая задача вариационного исчисления)

2. Возьмем y(t) любая непрерывно дифференцируемая функция, на отрезке [t1; t2], не обязательно подчиненная граничным условиям. Составим семейство функций

y(t) + (t);

t2

Z

=(fy + fy0 0)dt (fy = @y@ f(t; y; y0)) è ò.ä.

t1

Определения и обозначения:

(t) = y вариация y(t). (Аналог дифференциала независимого переменного)

!0(0) = F первая вариация F . (Линейная часть приращения функционала, аналог первого дифференциала функции)

t2

Z

F (y) = [fy y + fy0( y)0] dt

t1

Так вычисляется первая вариация функционала по первому дифференциалу независимого переменного (исходной функции).

Это играет такую же роль, как при изучении экстремума в математическом анализе. Вариацией называется малое изменение , малое число.

Определение: Вариация y называется допустимой, если

y t1 = y t2 = 0:

Имеет место: если y(t) допустимая функция, то для того, чтобы вариация y(t) была допустимая, необходимо и достаточно, чтобы y(t) + y(t) была допустимая.

Теорема: Пусть y(t) дает минимум F . Тогда F = 0 для любой допустимой вариации y.

Доказательство: Рассмотрим функции y~(t) = y(t) + (t), где (t1) = (t2) = 0. Тогда для фиксированной функции имеем:

Поэтому !( ) достигает минимума при = 0. (Для достаточно малых получаем малое отклонение функции одна от другой.)

Поэтому !0(0) = 0, !0(0) = F (y) = 0: Теорема доказана.