Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А

.).pdf

Скачиваний:

142

Добавлен:

12.03.2016

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

2. О приближенных решениях.		61
Доказательство: Из (1) получаем :
Be Btf(t) B2e Bt Z	t
Be Btf(t) B2e Bt Z	f( )d ABe Bt	(2)

Be Bt

{z }

dt(Be Bt

Z Z

f( )d

f( )d )

ABe B d = A(e B e Bt)

Bf( )d AeB(t ) A

2. О приближенных решениях.

Замечание: Далее в x2 -x5 все величины вещественны.

Пусть n фиксированное, ~z =	0 z.1	1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
	B zn	C
	@	A

	d~y		~
			= f(t; ~y);	(1)
		dt	= f(t; ~y);	(1)
ãäå ~	~
f определена в замкнутой области G

Определение: Функция '~(t) "-приближенное решение (" 0) уравнения (1) тогда и только тогда, когда выполняется:

1.~r(t) определена на некотором [ ; ]; <

2.'~(t) непрерывна на [ ; ]

3.~r(t) кусочно непрерывна на [ ; ]

4.на [ ; ] в точках непрерывности '~0(t) имеет место

d~'(t) ~

f(t; '~(t)) 6 "

Теорема: Пусть '~1(t) è '~2(t) два "-приближенных решения уравнения (1). Пусть выполнены следующие условия:

62	ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ

1.'~1(t0) = '~2(t0) = ~y0

2.Графики '~1(t) è '~2(t) не выходят из цилиндра Q = fjt t0j ; j~y ~y0j g

	~
3. ~	@f	непрерывны в некоторой области	~	~
f è	@~y		G, Q G

Обозначим K = maxQ @~y . Тогда

'~1(t) '~2(t) 2" eK

для тех t, для которых '~1(t) è '~2(t) определены.

Доказательство:

0	~ ~	~	(t)
'~1	(t) = f(t; '1	(t)) + 1	(t)

в точках непрерывности '~1,

~
j 1(t)j "
t	t
Z	Z
~	~
'~1(t) = '~1(t0) + f(t; '~1( ))d + 1( )d
t0	t0
t	t
Z	Z
~	~	( )d ;
'~2(t) = '~2(t0) + f(t; '~1( ))d + 2		( )d ;
t0	t0
~( )	"

'~1(t)'~2(t) = Z	t				t
'~1(t)'~2(t) = Z		f~(t; '~1	( )) f~(t; '~2	( )) d + Z (~1( ) ~2( ))d
t0					t0

z(t) = j'~1(t) '~2(t)j

3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

(~1( )

~2( ))d

'~2(t) = ~z(t)

f(t; '~1( ))

f(t; '~2( )) 6

'~1(t)

'~1(t) '~2(t) Z

f~(t; '~1( )) f~(t; '~2( )) d + Z

~1( )

( ) d

z(t) 2" + K tZ0

~z( )d

Мы взяли для определенности t t0.

z(t) 6 2" eK(t t0) 6 2" eK

3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Замечание: В этом параграфе все величины вещественные. Далее будем иметь дело с набо- z1

рами чисел вида		.	def
рами чисел вида		.	= Z~, n фиксированное для всего параграфа.

		zn


Рассмотрим	уравнение
Рассмотрим
				d~y	~
					= f(t; ~y);	(1)
				dt	= f(t; ~y);	(1)

f определена в замкнутой области G.

Определение: Функция ~y(t) решение (1), если:

1.~y(t) определена на некотором промежутке [ ; ], < ,

2.~0

y (t) непрерывна на [ ; ],

3.		d~y(t)	~
		dt	= f(t; ~y(t)) íà [ ; ]
4.	Для каждого < t < точка (t; ~y0(t)) внутренняя точка G.

Замечание: Что означает условие 4. Мы отбрасываем случаи, когда внутренние точки графика решения лежат на границе нашей области. Допускаются только случаи, когда они лежат внутри этой замкнутой области.

	~
1. Теорема: Пусть ~	@f	непрерывны в
f,	@~y	G. Пусть (t0	; y~0) внутренняя точка G. Тогда:

64	ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
1.	существует > 0, что на отрезке [t0 ; t0 + ] определено решение уравнения	(1),
	удовлетворяющее условию
	~y(t0) = y~0	(2)
2.	Åñëè y~1(t); y~2(t) какие-либо решения задачи (1) ^ (2), то y~1(t) = y~2(t) на пересечении
	отрезков их определения.

Замечание: во первых фиксируется, что при заданных предположениях задача Коши имеет решение. Пункт второй утверждает единственность этого решение. Обратите внимание: утверждение 1 носит локальный характер. Решение существует в окрестности точки. Пункт 2 же носит глобальный характер.

Доказательство:


1. Возьм¼м U какая-либо окрестность (t0; y~0), такая, что U					G.
Возьм¼м Qf(t; ~y): jt t0j 6 ; j~y y~0j 6 g, 0 < ; 0 < ; M
Возьм¼м Qf(t; ~y): jt t0j 6 ; j~y y~0j 6 g, 0 < ; 0 < ; M						6 ; Q 2 U, ãäå M
~
максимум нормы M = maxU jfj.	@~y		: Мы будем строить решение на отрезке !
Обозначим ! = [t0 ; t0 + ], K = maxQ	@~y		: Мы будем строить решение на отрезке !
		~
		@f
следующим образом. Бер¼м какое-то положительное				h > 0, и строим на нашем отрезке

сетку:

tk = t0 + kh; k = 0; 1; 2; : : :

Для зафиксированной сетки строим функцию '~(t): (далее вс¼ при t > t0). Åñëè íàäî провести рассуждения при меньших t, надо сделать замену переменной, поменяв знак.

'~(t) = y~0 + (t t0)f(t0; y~0) ïðè t0 6 t 6 t1,

'~(t) = '~(t1) + (t t1)f (t1; '~(t1)) ïðè t1 6 t 6 t2

'~(t) = '~(t2) + (t t2)f (t2; '~(t2)) ïðè t2 6 t 6 t3

Замечание: Мы строим такой отрезок от t0 äî t1, который касается графика решения в точке (t0; y0). Мы доходим до точки t1. Бер¼м график решения, если он существует,

3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

в этой точке, и доходим до t2. Задавать вопрос ¾почему решение существует¿, не нужно. Мы просто строим последовательность значений по этим формулам. Ни на какие соображения мы не ссылаемся.

t
't~ '~(t ) = tZ	'~0(t) dt

'~0 кусочно-непрерывная функция, поэтому можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Поэтому

'~(t ) '~(t ) 6 jt t jM:

В частности,

'~(t) y~0 6 jt t0jM 6 M 6 :

Мы получили кривую, которая через боковые стенки нашего цилиндра не может выйти за пределы нашего цилиндра.

[ Тут нет рисунка, нарисуйте его сами ]

Следовательно, '~(t) определена при jt t0j 6 .

Теперь докажем, что '~(t) есть "-приближ¼нное решение (1), " ! 0 при h ! 0. Давайте оценим результат подстановки


(t) =		'~(t)	f~(t; '~(t))
(t) =	d dt		f~(t; '~(t))

в точках непрерывности '~0(t).

66			ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
	d'~(t)	~
tr < t < tr+1 :	dt	= f(t2; '~(t2)).	f~(t2	; '~(t2)) f~(t; '~(t))
		(t) =	f~(t2	; '~(t2)) f~(t; '~(t))

jt t2j 6 h, j'~(t) '~(t2)j 6 Mh, f~ равномерно непрерывна					â Q. )
(t) 6 ", ãäå " ! 0 ïðè h ! 0.

h1; h2; : : : ; hs > 0; hs ! 0 ïðè s ! 1.

'~1(t) "s- приближ¼нное решение "s ! 0 ïðè s ! 1. j'~s(t) '~p(t)j 6 2" ek ;

" = max("s; "p). Ссылаемся на теорему, доказанную во втором параграфе.

'~s(t0) = '~p(t0) = y~0:

Используя критерий Коши, получаем

'~1(t) íà ! ~(t) ïðè s ! 1:

~(t) непрерывна, ~(t) = y~0:

d'~s(t) ~

= f(t; '~s(t)) + s(t)

в точках непрерывности '~s0(t).

	~
'~s(t) = y~0 + f( ; '~s( )) d + s( ) d
t0	t0

~	~	~	(t))
f(t; '~s(t)) íà ! f(t;
~(t) = y~0 + tZ0	t
	f~( ; ~( )) d

(3)

(4)

d~(t)		~	~		~
dt		= f(t;		(t));		(t0) = y~0

Осталось только проверить, что всякая внутренняя точка графика является внутренней точкой области.

jt t0j < ) j'~(t)j < M

2. Доказательство единственности решения. Докажем от противного. Пусть существуют

два решения задачи			(1)	^ (2) y~1(t)	è	y~2	(t)	,	y~1	^	^ .
			(1)	^ (2) y~1(t)		y~2	(t)		y~1	(t) 6= y~2	(t)
Возьм¼м	S = ft: y~1				^.
	S = ft: y~1	(t) = y~2(t)g \ [t0; t]

3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

^	самая правая точка замкнутого ограниченного множества							S	.
t0								S
				^	^	(t)	ïðè ^	^
			y^1(t0) = y^2(t0); ~y1(t) 6= ~y2			(t)	t0 < t 6 t:
^	^	(îíà æå	^	^	) внутренняя точка		. Для этой точки строим
(t0); y^1(t0)			(t0); y^2	(t0)		G

[ Тут нет рисунка, нарисуйте его сами ]

^ ^ ^

Q; M; K.

Â ^

(t)

~y2

(t)

0-приближ¼нные решения (точные решения),

~y1

Q ~y1

(t)

6 2^ 0 ek^^

(t0) = ~y2

(t0)

Поэтому

~y1(t) ~y2

= 0. Противоречие.

2. Теорема: (о продолжении решения) Пусть выполняются условия теоремы ï.1. Пусть

ограничено. Тогда решение задачи (1) ^ (2) может быть продолжено так, чтобы концы его

графика лежали на границе

Доказательство:

j~j

M = max f ; M > 0 (для M = 0 очевидно)

(t0; y~0); Q = fjt t0j 6 ; j~y y~0j 6 M g.

: 1 + M2 = ;

где расстояние от (t0; y~0) от границы G.

Далее t > t0. Мы построили решение на отрезке [t0; t0 + ] (см конструкцию, фигурирующую в доказательстве предыдущей теоремы).

Если правый конец достиг границы, то продолжать конструкцию незачем. Но пуст правый конец, то есть точка (t + ; ~y(t + )) не является граничной. Возьм¼м эту точку на рисунке.

Она является внутренней, поэтому мы можем продолжить решение направо. Бер¼м точку (t + ; ~y(t0 + )) в качестве начальной, [t0 + ; t0 + + 1], ãäå 1 выбирается из следующих

соображений: p

1 : 1 1 + M2 = 1;

68 ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ

ãäå 1 расстояние от точки (t + ; ~y(t0 + )) до границы G, и так далее.

В итоге получаем последовательность отрезков, на которую распространяем наше решение.

[t0; t0 + ]; [t0; t0 + + 1]; [t0; t0 + + 1 + 2]; : : :

k расстояние от точки t0 + + : : : + k 1; ~y(t0 + + : : : + k 1) .

Докажем, что эти точки стремятся к границе.

p		Xk	k = X k;	Xk
	1 + M2				k сходится:

Следовательно, k ! 0 ïðè k ! 1.

В утверждении теоремы сказано, что точка должна лежать на границе, а не просто стремиться. Мы получили решение на [t0; t0 + ^), ãäå ^ = + 1 + 2 + : : :. На этом полуотрезке

имеет место формула

~y(t) = y~0 + f( ; ~y( )) d

Обратим внимание на обстоятельство:

	t0t f~( ; ~y( )) d	6 t t M
Z

По критерию Коши существует

	t
lim	~
lim	f( ; ~y( )) d
t!t0+^ tZ0

Естественным образом определяем решение по формуле:

			t
	0 + ^) = 0 + t!t0+^ tZ0
	~y(t y~	lim	~
	~y(t y~	lim	f( ; ~y( )) d
	~y(t) определена при t0 6 t 6 t0 + ^;
непрерывна, и на отрезке [t0; t0 + ^] имеет место ~y0(t) = f~(t; ~y(t)).
Замечание:
1. Если имеем уравнение вида
	y(n) = f(t; y; y0; : : : ; y(n 1));			(5)
то заменой z1 = y0, z2 = y00, : : :, zn 1 = y(n 1)			уравнение сводится к системе y0	= z1; z10 =
z2; : : : ; zn0	1 = f(t; y; z1; : : : ; zn 1). Обязательная задача. Используя результаты пунктов

1 и 2, сформулировать соответствующие теоремы для уравнения (5)

4. Исследование зависимости решения от параметров, входящих в правую часть уравнения и начальных

2.Эта теорема может быть доказана очень многими способами. Мы выбрали метод ломаных Эйлера.

Эта построенная ломаная называется Ломаной Эйлера. Таким образом был предложен приближ¼нный метод решения дифференциального уравнения. На каждом отрезке вместо решения строим отрезок, который в начальной точке имеет направление, заданное нашим дифференциальным уравнением.

Затем мы доказывали, что наше приближ¼нное решение при h ! 0 становится точным.

Задача: составить программу приближ¼нного решения задачи Коши, используя метод Эйлера приближ¼нного решения. Можно попробовать решать задачи из задания таким способом.

3.В одной из теорем мы объединили два формально разных вопроса: существования и единственности решения задачи Коши. В более тонких исследованиях эти два вопроса разделяются. Оказывается, что если правая часть уравнения только непрерывна (раньше требовалось дифференцируемость), то хотя бы одно решение задачи Коши существует.

4.Конечно, условие в этой теореме это достаточное условие, и вовсе не является необходимым. Рассмотрим 2 примера.

y0 = 3 y2

y0 = 3 y2 + 1

Контрольный вопрос: Почему? Какие условия теоремы не выполнены?

4. Исследование зависимости решения от параметров, входящих в правую часть уравнения и начальных данных

В этом параграфе все величины вещественные. Мы рассматриваем уравнение

d~y	= f~ t; ~y; ~y0	(1)
dt

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ

~y =

y.1

; f~ =

f.1

; ~ =

;

~ 0

f(t; ~y; ~y ) определена в замкнутой области Gt;~y;~ .

Тогда мы получим, что решение зависит от параметра и начальных данных.

~y(t0) = y~0

(2)

В этой параграфе мы будем изучать функцию y, как функцию всей совокупности переменных.

Сначала рассмотрим зависимость решения от параметра при фиксированных начальных данных, а потом уже посмотрим, как изучить зависимость при переменных начальных данных.

1. Теорема: Пусть ~

существуют положительные числа ; , такие, что

f è

dt непрерывны в G. Пусть

t0; y~0; ~0

внутренняя точка G. Тогда

ïðè

определено

решение (единственное) задачи (1) ^ (2) и функция ~y(t; ~) непрерывна.

M = maxU

f . (Можно

t0; y~0; ~0

Доказательство: Мы бер¼м нашу точку

, и такую окрестность U, что U

Обозначим

показать, что такое обозначение корректно, максимум

существует).

Возьм¼м такой цилиндр Qfjt t0j 6 ; j~y y~0j 6 ; j~ ~0j 6 g (бицилиндр), что

@~y

0 < ; 0 < ; 0 < ; M

; Q

U:K

max

Мы бер¼м два значения ~1; ~2; ~y(t; ~1); ~y)(t; ~2) решение (1) ^ (2).

Как следует из конструкции построения этих решений, приведенных в предыдущем параграфе, эти решения определены на вс¼м отрезке.

Посмотрим, будут ли эти решения близки, если ~1 близко к ~2.

			~		= f~ t; ~y(t; ~ 1); ~ 1
		t;		1)
		d~y(		1)
		dt
~	~			~		~	~ ~		(3)
jf(t; ~y(t; 1); 1) f(t; ~y(t; 2); 1)j < ";									(3)
åñëè
~	~					ãäå " ! 0 ïðè		! 0;
j 1	2j < ;					ãäå " ! 0 ïðè		! 0;
òàê êàê ~
f равномерно непрерывна в Q.
Тогда			1) f~(t; ~y(t; ~ 1); ~ 2)					< ";
d~y(dt			1) f~(t; ~y(t; ~ 1); ~ 2)					< ";
	~
		t;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.09.2019334.34 Кб3Лекции Дегтярева.doc
#
13.02.2015375.81 Кб25Лекции КМСП.doc
#
13.02.2015477.7 Кб283Лекции Методы оптимальных решений.doc
#
13.02.2015669.7 Кб27лекции мирэкОЗО.doc
#
12.03.20162.18 Mб29Лекции по алгебре 1 модуль.doc
#
12.03.20163.56 Mб142Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А.).pdf
#
11.11.2019262.41 Кб5Лекции по жилищному праву (Селиванова).docx
#
13.02.2015198.76 Кб35лекции по игпзс.rtf
#
13.02.2015222.21 Кб36Лекции по институциональной экономике № 1.pdf
#
13.02.2015205.14 Кб40Лекции по институциональной экономике №2.pdf
#
13.02.2015122.27 Кб21лекции по иогпр.rtf