Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А

Теорема: Пусть допустимая функция y(t) дает минимум F , и y(t) не является экстремумом функционала G. Тогда существует число такое, что y(t) экстремаль функционала H = F + G, то есть удовлетворяет уравнению

d

hy dth = 0;

ãäå h = f + g.

Доказательство: Пусть y(t) решение задачи.

0 : 0(t1) = 0(t2) = 0;

0(t) существует, так как y(t) не является экстремалью функционала G.

y(t) + 0(t) + (t);

(t1) = (t2), и числа (малые).

= = 0 решение задачи: найти минимум ! при условии ' = `. Тогда:

Из первого равенства следует:

не зависит от выбора (t). Посмотрим, что дает второе равенство:

t2

h = f + g; h не зависит от выбора .

Замечание: Мы получили уравнение Эйлера для функцонала H. В типичном случае мы получим решение в виде уравнения второго порядка, y будет функцией от t; c1; c2; ,

y(t1) = y1; y(t2) = y2; G(y) = `:

Задача: На плоскости заданы две точки A и B. Соединяем их отрезком, рассматриваем некоторую соединяющую их кривую . Надо выбрать ее так, чтобы длина кривой была постоянной, и площадь ограниченной фигуры была максимальна.

Выберем координаты так, чтобы отрезок AB лежал на оси Ox.

: y = y(x); y(x1) = y(x2) = 0; x1 < x2:

Решая уравнение Эйлера, получаем:

(x + c1)2 + (y + c2)2 = 2

Если задача имеет решение, то это решение дуга окружности. Рассмотрим несколько слу- чаев:

1.` < x2 x1. Задача не имеет решения. (Множество допустимых функций пусто)

2.` = x2 x1. Допустимая функция только отрезок [x1; x2].

3. ` > x2 x1, ` < 2 (x2 x1). В этом случае получается дуга, которая является гладкой кривой.

4. ` = 2 (x2 x1). Получим полуокружность, jy0j = 1 на концах.

5. ` > 2 (x2 x1). Получим дугу окружности.

Кривая не представляется уравнением какой-нибудь функции.

Замечание: Под нашу теорию подходит только случай 3). Можно показать, что решение в случаях пунктов 3), 4), 5) действительно является искомым. Данная задача является изопери-

метрической в буквальном смысле. Эта конкретная задача дала название всему класса задач, который мы рассматриваем, несмотря на то, что функционал G может не давать длину, а

какое-нибудь другое значение. другое значение

Z

F (y; z) = f t; y(t); z(t); y0(t); z0(t) dt:

t1

Дана функция g(t; y; z). Заданные функции f и g определены при t1 6 t 6 t2, остальные аргументы любые.

y(t)

Определение: Ïàðà z(t) допустимая, если

1.g t; y(t); z(t) = 0 ïðè t1 6 t 6 t2.

2.y(t1) = y1, z(t1) = z1, y(t2) = y2, z(t2) = z2, ãäå y1, z1, y2, z2 заданы (разумеется g(t; y1; z1) = 0, g(t2; y2; z2) = 0.)

q

p

2 2 0 ~0 2 0 ~0 2 max (y(t) y~(t)) + (z(t) z~(t)) + max (y (t) y (t)) + (z (t) z (t)) < ";

t t

имеет место F (y; z) 6 F (~y; z~). Геометрический смысл задачи Лагранжа:

Задана поверхность , рассматриваются кривые, соединяющие данные две точки, и лежащие

на данной поверхности. Среди этих кривых надо найти ту, которая дает минимум функционала F .

Замечание: Если мы можем выразить, скажем, y через t и z, то надо это сделать и полу-

чить простейшую задачу вариационного исчисления. Сейчас мы рассматриваем общий случай, когда такая ситуация не имеет место.

Доказательство:

Выразим производные:

f^y = fy + fzay + fz0aty + fz0ayyy0

По теореме о равенстве смешанных производных, подчеркнутые слагаемые взаимно уничтожаются. Следовательно,

Вопрос: Если gy = 0?

Ответ: Можно трактовать равенство следующим образом: хотя бы один из знаменателей отличен от нуля; если оба знаменателя отличны от нуля, то это обычное равенство. Если один из знаменателей равен нулю, то соответствующий числитель тоже равен нулю.

Введем функцию (t):

Первое уравнение удовлетворяется. Аналогично показываем, что удовлетворяется и второе. Теорема доказана.

Замечание: Здесь y = y(t; c1; c2; c3; c4; (t)), z = z(t; c1; c2; c3; c4; (t)). Находим параметры из граничных условий и из равенства g(t; y; z) 0.

Глава 3. Исследование задачи Коши

3.Пусть A = @ : : : : : : : : : : : : : A, aij вещественные или комплексные.

an1 : : : anm

Определение: Норма матрицы:

Свойства: