Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А

Теорема: Пусть y(t) дважды непрерывно дифференцируема.

Тогда F (y) = 0 для любой допустимой вариации y тогда и только тогда, когда y(t) удовлетворяет уравнению (Эйлера)

На концах функция равняется 0. ( (t1) = (t2) = 0:)

(200) выполняется, если gy(y0; 0) = 0. То есть нужно найти те y0, для которых gy(y0; 0) = 0.

4. Случай квадратичного функционала.

f многочлен второй степени относительно совокупности y; y0.

f(t; y; y0) = p(t)(y0)2 + q(t)y2 2m(t)y:

Замечание: Можно возразить, что выписаны не все члены. Но можно показать, что все функции можно привести к такому виду:

Z

c(t)dt не зависит от выбора y(t):

t1

Далее предполагаем, что p0(t), q(t), m(t) непрерывны на отрезке [t1; t2].

Теорема: Пусть p(t) > 0 и q(t) > 0 на [t1; t2]. Пусть y(t) решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям y(t1) = y1, y(t2) = y2. Тогда y(t) дает минимум F .

Замечание: До сих пор я подчеркивал несколько раз, что мы выводим уравнение Эйлера, и если уравнение Эйлера выполнялось, нужно было проводить дополнительное исследование. Для конкретно этого важного частного случая такое исследование можно провести.

Доказательство: Берем нашу функцию y(t), какую-то (t), такую, что (t1) = (t2) = 0, (t)непрерывно дифференцируемая, число (любое).

def

y~(t) = y(t) + y(t)

Приращение функционала представляем в виде суммы линейной части и членов более высо-

кого порядка.

t2

Z

F (~y) = F (y) + F + 2 p(t)( 0)2 + q(t) 2 dt > F (y)

|{z}

=0 t1

Мы доказали, что функция дает минимум. Важно: имеется ввиду глобальный минимум. Если(t) не тождественно нулевая функция, то F (~y) > F (y).

Замечание: Можно ли гарантировать, что существует решение уравнения (3), удовлетворяющее граничным условиям? Пока мы не можем ответить на этот вопрос. Во втором семестре мы докажем, что уравнение (3) имеет решение, и притом единственное.

5. Задача о брахистохроне.

Замечание: В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал работу задача о брахистохроне . Считается, что эта работа положила начало вариационному исчислению. Была рассмотрена

следующая задача: в вертикальной плоскости лежат точки A, B, соединенные некоторой кри-

вой. Под действием силы тяжести по этой кривой скатывается материальная точка. Нужно найти ту кривую, по которой время движения будет минимальным. Эту кривую он назвал брахистохрона (кривая кратчайшего времени, греч.)

Казалось бы, логичнее всего двигаться по отрезку прямой. Оказывается, это не так. Поместим точку A в начало координат, вертикально вниз направлена ось y, где-то задана точка B.

A(0; 0); B(x1; y1)

Ограничимся кривыми, задаваемыми уравнениями y = y(x); 0 6 x 6 x1.

v скорость, v = v(x; y).

Неприятность заключается в том, что на левом конце особенность в нуле. Не будем обращать внимания на эту особенность, а потом посмотрим, во что это нам обойдется.

x = o(y), касательная вертикальна в начальной точке.

[ На лекции было описано геометрическое построение R ] Дадим формулу для времени:

Мы до сих пор рассматривали случай, когда B намного ниже точки A. Интересно рассмотреть

случай, когда x1 íå ìàëî, y1 мало. Точка падает, разгоняется, и доходит до точки B. Таким образом, под действием силы тяжести можно передвигаться в горизонтальном направлении.

ss

Замечание: L = 600 êì, 600 ñåê 10 ìèí.

2. Некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.

Замечание: В этом параграфе все используемые функции предполагаются достаточно гладкими. Если захотеть, можно четко посмотреть, где мы пользовались этими предположениями. Этого не делается, чтобы не отвлекаться от основной задачи.

Когда интегрируем по частям, понижаем порядок , и,

как нетрудно сообразить, последний член будет иметь именно такой вид. Остальные слагаемые появляются при интегрировании по частям:

Покажем, что (t) = 0. Допустим, это не так,

Теорема доказана.

Определение: Каждое решение уравнения (4) называется экстремалью функционала F .

Замечание: Эта задача разумная. Но не утверждается, что эта задача имеет решение, или даже единственное. Если удастся найти решение, отсюда не следует, что на решении достигается минимум. (Оно лишь является кандидатом). Проблема достаточности не затрагивается.