Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. 1

u(~x) некоторое решение (1).

Замечание: О геометрическом смысле (5).

Как известно из курса математического анализа, математическое выражение

есть градиент функции q. множество уровня q. grad q ортогонален множеству уровня q.

, F не касается :

Иллюстрация при n = 2.

Пример.

y @u@x x@u@y = 0;

G плоскость x; y с выброшенной точкой (0; 0). (Точку выбрасываем, потому что в ней F1 = 0; F2 = 0. )

Составляем систему:

откуда

d(x2 + y2) = 0; u1(x; y) = x2 + y2 первый интеграл.

n = 2; n 1 = 1. Надо проверить, что система из одного первого интеграла является незави-

u(x; y) = (x2 + y2) формула общего решения.

u1 = c; x2 + y2 = c

102 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Задача Коши: u(x; y) = h(x) при y = 0 ^ x > 0.

g(x; y) = y; y 0 x 1 = x 6= 0:

u1(x; y) = x2 ïðè x > 0 ^ y = 0

pp

íà x = u1; u(x; y) = h( x2 + y2) â G:

Глава 6. Линейные уравнения с переменными коэффициентами

a11 : : : a1n

A =

1. Уточнение исследования задачи Коши

и определ¼нные на вс¼м [ ; ].

Замечание: Ценность этого утверждения заключается в подч¼ркнутой части.

Доказательство: j j j~ j

A(t) 6 a1 f(t) 6 b

Ïðè t > t0: (если не выполняется, делаем замену t на t)

Z t

j~y(t)j 6 j~y0j + aj~y( )j + b d :

t0

Z t

j~y(t)j 6 j~y0j + b( ) + a j~y( )j d

t0

По неравенству Гронуолла (см. 1 Главы 3) получаем

y(t) 6 j~y0j + b( ) eajt t0j 6 j~y0j + b( ) ea( ) = C1

D : f 6 t 6 ; j~yj 6 C2g; C2 > C1:

По теореме о продолжении решения (см. Главу 3), получаем, что решение может быть продолжено на весь отрезок.

Следовательно, решение определено при [t0; ]. Теорема доказана.

Рассмотрим уравнение y0 = 1+y2. Это уравнение с разделяющимися переменными, его решение y = tg (t + c)

104 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

2. Системы нормальных дифференциальных уравнений (линейных) с переменными коэффициентами

zn an1 : : : ann

6 t 6 , ~z и A комплексные, A(t) непрерывна на [ ; ]

(1)\ ~z(t0) = z~0, ãäå 6 t0 6 , z~0 производная

Эта задача Коши имеет решение и притом единственное, определенное на вс¼м [ ; ]. Всякое решение в дальнейшем будем рассматривать на вс¼м [ ; ].

Все величины, кроме t, комплексные.

1. Простейшие свойства решений.

Теорема: Пусть z~1(t); : : : ; z~k(t) решение (1), c1; : : : ; ck комплексные числа, тогда

~z(t) решение (1) \ ~z(t0) = ~z0

~

В силу единственности решения задачи Коши ~z(t) W (t).

Определение: Решения z~1(t); : : : ; z~k(t) уравнения (1) называются линейно зависимыми, если существуют c1; : : : ; ck (c1 6= 0; : : : ; ck 6= 0), такие что:

~ c1z~1(t) + : : : + ckz~k(t) 0:

Определение: Решения, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми.

Теорема: Пусть z~1; : : : ; z~k линейно независимые решения (1), t0 2 [ ; ]. Тогда векторы z~1(t0); : : : ; z~k(t0) линейно независимые.

Доказательство: Пусть c1z~1(t); : : : ; ckz~k(t) = 0

Определение: Любая совокупность n линейно независимых решений (1) называется фундаментальной системой решений (1).

Теорема: Фундаментальные системы решений существуют.

2. Системы нормальных дифференциальных уравнений (линейных) с переменными коэффициентами 1

Доказательство: t0 2 [ ; ]; m~1; : : : ; m~n линейно независимые векторы.

Теорема: Пусть z~1(t); : : : ; z~n(t) некоторая фундаментальная система решений (1); пусть ~z(t)какое-либо решение (1). Тогда ~z(t) представляется единственным образом в виде:

~z(t) = c1z~1(t) + : : : + cnz~n(t);

ãäå c1; : : : ; cn - числа.

Доказательство: t0 2 [ ; ], z~1(t0); : : : ; z~n(t0) линейно независимы. Следовательно, вектор ~z(t0) = c1z~1(t0) + : : : + cnz~n(t0), ãäå c1; : : : ; cn

Резюме:

1.Совокупность решений уравнения (1) линейное пространство.

2.Размерность этого пространства равна n.

3.Фундаментальная система решений базис этого пространства.

4.Зафиксируем t0 2 [ ; ]. Соответствие ~z(t) $ ~z(t0) изоморфизм пространства решений и пространства столбцов высоты n.

2.Пусть z~1(t); : : : ; z~n(t) некоторая фундаментальная система решений (1).

Определение: Z(t) матричная функция, Z(t) = kz~1(t); : : : ; z~n(t)k называется фундаментальной матрицей решений (1).

Свойства фундаментальной матрицы решений:

1. Z(t) матрица размера n n на [ ; ]

2. Z(t) непрерывно дифференцируема на [ ; ]

3. dZ(t) = A(t) Z(t) dt

4. det Z(t) 6= 0 íà [ ; ]

Утверждение: Пусть Z(t) матричная функция на [ ; ], обладающая свойствами (1) (4). Тогда Z(t) - фундаментальная матрица решений (1).

106 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Утверждение: Пусть Z(t) фундаментальная матрица решений (1), и ~z(t) некоторое решение (1). Тогда z(t) представляется единственным образом в виде

~ ~

~z(t) = Z(t) C; C = const:

3. Определение: Пусть z~1(t); : : : ; z~n(t) некоторые решения (1). Определитель

W = det kz~1(t); : : : ; z~n(t)k

называется определителем Вронского или вронскианом совокупности решений ~z1(t); : : : ; ~zn(t)

Теорема: Теорема Лиувилля-Остроградского.

Пусть z~1; : : : ; z~n некоторые решения (1), W (t) соответствующий вронскиан, t0 2 [ ; ]. Тогда

Левая и правая части уравнения (2) удовлетворяют (3), и левая и правая части уравнения (2) в точках t0 равны, поэтому в силу единственности решения задачи Коши получаем, что (2) верно для любого t.

4.

Задача: Найти уравнение, для которого данные функции являются решениями:

108 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Теорема: Если известна какая-либо фундаментальная система решений однородной системы

(2), то решение уравнения (1) получается в квадратурах.

Доказательство: Метод получения решения. Пусть известна какая-либо фундаментальная система f~z1(t); : : : ; ~zn(t)g. ¾Сдвигаем¿ эти столбцы в единую матрицу

Z(t) = k~z1(t); : : : ; ~zn(t)k

Это фундаментальная матрица решений.

~y(t) = Z(t)~x(t);

~x(t) новая искомая функция.

~x(t) = Z 1(t)~y(t); Z 1(t) существует.

После такой замены уравнение (1) становится эквивалентным

постоянная.

Замечание: Метод называется методом вариации постоянных. Лагранжу пришла в голову мысль: решение неоднородного уравнения представить в виде известной матрицы, умноженной на новую искомую функцию. Неудачность названия в том, что под вариацией понимается малое изменение, а превращение постоянных в функции.

Решение задачи Коши для (1):

t0 2 [ ; ]; ~y0 произвольный вектор.

~y(t) решение (1) ^ ~y(t0) = ~y0