6.3. Структурные средние величины.

Структурные средние применяются для характеристики структуры изучаемой совокупности. К ним относятся: мода, медиана, квартили, децили, процентили.

Модой (Мо) в статистике называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности, то есть варианта имеющая наибольшую частоту.

На графике она соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения (значению признака). В дискретном вариационном ряду она определяется логическим путем. В приведенном в таблице 4 дискретном вариационном ряду мода – это семья с двумя детьми, т.к. в этой группе наибольшая частота: 75 семей.

Таблица 12

Пример расчета моды и медианы в дискретном ряду

Распределение семей по числу детей (х)	Число семей (f)	Накопленные частоты (S)
0 1 2 3 4 5 6	10 30 75 45 20 15 6	10 40 115 160 180 195 201
Всего	201	-

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральный вариант модального интервала, то есть того, который имеет наибольшую частоту. Это не обязательно середина модального интервала: только когда распределение симметрично или соседние интервалы не отличаются сильно частотами.

Мода рассчитывается в интервальном ряду по формуле:

(6.14) , где

X_{Mo -} нижняя граница модального интервала

i_Mo - величина модального интервала

f_Mo - частота модального интервала

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным

Мода несколько неопределённа, т.к. зависит от величины групп, от положения границ групп.

Медианой (Ме) в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда, то есть делит численность упорядоченного вариационного ряда пополам. Для ранжированного ряда дискретного (построенного в порядке возрастания или убывания частот) с нечетным числом членов медианой будет варианта, расположенная в центре ряда:

В ранжированном ряду с четным числом медианой будет средняя арифметическая из 2-х смежных вариант: 1, 3, 4, 5, 7, 9 лет, следовательно, медиана равна 4,5 года (6 продавцов по стажу работы)

Медиана в дискретном ряду и медианый интервал в интервальном ряду находятся по данным о накопленных частотах. Медиана делит численность упорядоченного ряда пополам, значит находится там, где накопленная (кумулятивная) частота составляет половину или больше половины суммы частот, а предыдущая накопленная частота меньше половины численности совокупности.

В дискретном ряду, пример которого приведен в таблице 4, медиана - это 2 ребенка (f/2 = 100,5). Накопление частот (числа семей) производится последовательным суммирование частот: 10семей, 40 семей, 115 семей, 160 семей и т. д. Число семей, равное 100,5 попадает в третью группу.

В интервальном вариационном ряду медиана рассчитывается по формуле:

(6.15) , где

X_Me - начальное значение медианого интервала

S_Me-1 - сумма накопленных частот до медианных интервалов

I_Me - величина медианного интервала

f_Me - частота медианного интервала

f/2 - полусумма частот ряда

Медиана по своему положению более определена чем мода, так как по ее смыслу половина численности ряда имеет значение признака меньше, чем медианное, а другая половина – большее значение.

По данным примера интервального вариационного ряда, приведенного в таблице 2, определен средний уровень заработной платы: = 1055,0руб. По приведенным методикам рассчитаем модальный уровень и медианный уровень заработной платы: Мо = 1070,83руб, Ме = 1069,0руб. Соотношение этих 3-х величин указывает направление и степень асимметрии распределения.

Если , Мо, Ме совпадают - то группа данных чисел симметрична;>Ме при немногочисленной группе с очень высокими числами;<Ме - значит нет больших чисел, и данные концентрируются.

Если совокупность неоднородна, то мода определяется трудно. Она отчетливо выражена при однородности группы. Если имеется немногочисленная группа с высокими числами, то >Мо.

Величины, находящиеся на одной четверти и на трех четвертях расстояния от начала ряда называются квартилями, на одной десятой – децилями, на одной сотой – процентилями. Все они рассчитываются по формуле медианы с соответствующими изменениями. Так, при определении квартилей, берется в расчет 1/4, 2/4 или 3/4 суммы частот, нижняя граница и величина квартильного интервала, частота этого интервала. Сам квартильный интервал определяется по сумме накопленных частот, пересчитанной в проценты: 25 %, 50 %, 75 %. Аналогичная процедура применяется при расчете децилей (десятые части от 100 %) и процентилей (сотые части 100 %). Второй квартиль, пятый дециль и пятидесятый процентиль совпадают с медианой.