Пример расчета средней арифметической в дискретном ряду

Число детей в семье (человек) (х)	Число семей (f)	Произведение вариант на частоты (x f)
0 1 2 3 4	10 40 25 20 5	0 40 50 60 20
Итого	100	170

Следовательно, среднее число детей в семье определяется делением: (170:100). Оно получается равным 1,7 ребенка.

Методика расчета средней арифметической в интервальном ряду приведена в таблице 2.

Таблица 10

Расчет средней арифметической в интервальном ряду

Для расчета средней в интервальном ряду надо перейти к дискретному ряду, т.е. по каждой группе исчисляется средняя по простой арифметической.

При наличии открытых интервалов (например, до 700руб. или 1300 рублей и более), их необходимо преобразовать в закрытые. Для этого берут значение величины интервала как у последующего интервала или предыдущего.

Свойства средней арифметической

1. произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты. (6.4)

2. если от каждой варианты отнять какое-либо число, то новая средняя уменьшится на то же число (6.5)

3. если к каждой варианте прибавить какое-либо число, то новая средняя увеличится на то же число (6.6)

4. если каждую варианту разделить на какое-либо число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз (6.7)

5. если каждую варианту умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз (6.8)

6. если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится так как не изменится удельный вес каждой частоты:2, 6, 10, 12, 29, 22, 16, 3 в сумме дадут 100.

7. сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равняется 0

(6.9)

Эти свойства применяются для упрощения расчетов средней, особенно в интервальных рядах

, где (6.10) , где

m₁ – момент первого порядка

i – величина интервала

A – произвольная постоянная величина, обычно центральная варианта ряда.

Такой способ расчета средней называется способом моментов или способом отсчета от условного нуля.

2. Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической, то есть рассчитанная из обратных значений признака. Применяется, когда веса (частоты) приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на их обратные значения.

( 6.11) , где =x*f

Таблица 11

Расчет среднего процента выполнения плана.

1. (102,5%)

2. - если за веса взять факт, то есть нет данных по плану (102,5%),

то есть средняя гармоническая применяется, когда нет данных о частотах (весах) по отдельным вариантам, но есть информация об их произведении. На практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная (как в примере). Существует также средняя гармоническая простая. Она применяется, если произведения (объемы явлений) по каждому признаку равны.

3. Средняя геометрическая – средний показатель, который вычисляется как корень n-ой степени из произведения вариант х (х1,х2…) (6.12)

4. Средняя квадратическая – показатель вариации признака, (6.13)