4.6. Заключение

В данной главе было введено понятие двойственности в ЛП, Изложенный материал позволяет сделать следующие выводы относительно практических приложений двойственности.

1. Так как оптимальное решение прямой задачи можно получить непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения двойственной задачи, то в тех случаях, когда число ограничений двойственной задачи меньше, чем прямой, предпочтительнее решать двойственную задачу, поскольку при этом требуется меньший объем вычислений.

2. Понятие двойственности позволяет дать экономическую интерпретацию задачам ЛП, а также раскрыть смысл понятия удельной ценности (или теневой цены) различных ресурсов и условия оптимальности с использованием такой экономической категории, как скрытые издержки производственной деятельности.

3. Двойственность играет важную роль при разработке методов анализа моделей на чувствительность.

4. На основе понятия двойственности построена вычислительная схема решения задач ЛП, получившая название двойственного симплекс-метода. Этот метод имеет исключительно важное значение при реализации некоторых вычислительных процедур, связанных с анализом на чувствительность.

В конце главы описан ряд методов анализа моделей на чувствительность, позволяющих модифицировать полученное оптимальное решение задач ЛП в соответствии с изменениями исходных условий. Результаты, полученные при анализе моделей на чувствительность, можно сформулировать следующим образом.

1. Изменения различных коэффициентов в исходной модели могут повлиять на оптимальность или допустимость текущего решения и привести к одному из трех возможных последствий:

(а) состав переменных и их оптимальные значения остаются неизменными;

(б) состав переменных остается прежним, но их оптимальные значения изменяются;

(в) состав переменных и их значения изменяются. В случаях (а) и (б) методы анализа моделей на чувствительность весьма эффективны. Даже в третьем случае новое оптимальное решение, как правило, удается получить, используя небольшое число дополнительных итераций.

2. Введение дополнительного ограничения не может привести к улучшению значения целевой функции.

3. Введение новой переменной не ухудшает значения целевой функции.

Контрольные вопросы

Верно (В) или неверно (Н)

1 —— Если стандартная прямая задача ЛП — задача минимизации, то двойственная к ней задача— задача максимизации с ограничениями типа и переменными, не имеющими ограничения в знаке.

2 —— Прямая задача всегда должна быть задачей максимизации.

3. —— Если для приведения ограничения прямой задачи к равенству (стандартной форме) нет необходимости использовать остаточную или избыточную переменную, то соответствующая двойственная переменная обязательно не имеет ограничения в знаке.

4. —— Если для приведения ограничения прямой задачи к равенству (стандартной форме) используется остаточная переменная, то соответствующая двойственная переменная будет неотрицательной, когда в прямой задаче целевая функция подлежит максимизации, и неположительной, когда в прямой задаче целевая функция подлежит минимизации,

5. —— Если для приведения ограничения прямой задачи к равенству (стандартной форме) используется избыточная переменная, то соответствующая двойственная переменная не будет иметь ограничения в знаке независимо от направления оптимизации в прямой задаче.

6. —— Наличие в прямой задаче переменной, не имеющей ограничения в знаке, обусловливает наличие двойственного ограничения в виде равенства.

7. —— Задача, двойственная к двойственной,— это прямая (исходная) задача. ;..

8. —— Двойственные ограничения, ассоциированные с искусственными переменными прямой задачи, обусловливают избыточность ограничений двойственной задачи.

9. —— Оптимальное решение прямой (двойственной) задачи легко находится по данным симплекс-таблицы, соответствующей оптимальному решению двойственной (прямой-задачи).

10. —— Когда количество переменных прямой задачи намного меньше числа ограничений, более эффективно нахождение ее решения путем решения двойственной к ней задачи.

11. —— В любой паре допустимых решений прямой и двойственной задач значение целевой функции прямой задачи не может превышать значения целевой функции двойственной задачи независимо от направления оптимизации.

12. —— Равенство значений целевых функций прямой и двойственной задач является единственным условием, необходимым для доказательства оптимальности выбранных значений переменных той и другой задачи.

13. —— Все элементы симплекс-таблицы для задачи ЛП можно определить, если известна соответствующая обратная матрица (и исходная модель).

14. —— Изменения правых частей ограничений задачи ЛП могут повлиять только на правую часть симплекс-таблицы, соответствующей оптимальному решению, т. е. только на допустимость решения.

15. —— Изменение любого коэффициента в задаче ЛП, исключая коэффициенты, фигурирующие в правых частях ее ограничений, может повлиять только на оптимальность решения.

16. —— Если некоторая переменная в симплекс-таблице для оптимального решения является небазисной, то изменение коэффициента при этой переменной в целевой функции может повлиять только на значение соответствующего коэффициента в г-уравнении этой таблицы.

17. —— Изменение коэффициента целевой функции при базисной переменной в оптимальном решении может вызвать в симплекс-таблице для оптимального решения изменение всех коэффициентов при небазисных переменных.

18. —— Неоптимальность решения прямой задачи свидетельствует о недопустимости решения двойственной задачи.

19. —— Если прямая задача имеет неограниченное оптимальное решение, то решение двойственной к ней задачи всегда недопустимое.

20. —— Если прямая задача не имеет допустимых решений, то оптимум соответствующей двойственной задачи всегда неограничен (см. задачу 4.19).

21. ——В оптимальном решении задачи максимизации оптимальная величина прибыли должна быть равна суммарной ценности используемых ресурсов.

22. —— Если в оптимальном решении скрытые издержки некоторого вида производственной деятельности превышают удельную прибыль, уровень его использования должен быть равен нулю.

23. —— При использовании двойственного симплекс-метода начальное решение задачи ЛП должно быть оптимальным, но недопустимым.

24. —— Если при использовании двойственного симплекс-метода выясняется, что в ограничении, ассоциированном с уравнением для .исключаемой переменной, нет ни одного отрицательного коэффициента, то это означает, что задача ЛП не имеет допустимого решения.

25. ——Включение в модель нового вида производственной деятельности может улучшить значение целевой функции.

26. —— Добавление нового ограничения может улучшить значение целевой функции.

27. —— При изменении правых частей ограничений и коэффициентов целевой функции решение может стать как неоптимальным, так и недопустимым.

[Ответы: 1 — В,2 — Н, 3—В, 4—В, 5—Н, с 6 по 10—В, 11—Н, 12—Н, 13-В, 14—В, 15—Н, 16—В, 17—В, 18—В, -19—В, 20—Н, с 21 по 25 — В, 26 — Н, 27-В.]