4.5. Анализ моделей на чувствительность (после нахождения оптимального решения)
В гл. 2 и 3 был отмечен тот факт, что возможности, предоставляемые теорией ЛП и симплекс-методом, не ограничиваются лишь получением оптимальных значений управляемых переменных. Решение задач ЛП должно обеспечивать пользователя динамичной информацией. Как только условия, в соответствии с которыми была построена модель, изменяются, информация, ассоциированная со статическим оптимальным решением, обычно сразу же теряет актуальность. Анализ модели на чувствительность как раз и связан г с исследованием возможных изменений полученного оптимального решения в результате изменений исходной модели.
Чтобы дать более полное представление о потенциальных возможностях анализа моделей на чувствительность, проиллюстрируем его на примере задачи фирмы Reddy Mikks. Для удобства изложения опять приведем краткую формулировку этой задачи. Рассматривается задача ЛП, связанная с производством двух красок: для наружных и внутренних работ. Ограничения определяют спрос на краски и запасы исходных продуктов. Объемы производства красок для наружных и внутренних работ обозначим через x1 и x2 соответственно. Цель фирмы Reddy Mikks — максимизировать прибыль от реализации продукции; соответствующая задача ЛП формулируется следующим образом (см. пример 2. I.I):
максимизировать z=3x1+2x2 (прибыль) при ограничениях
Получив оптимальное решение для исходных условий, руководство фирмы может проявить интерес к исследованию, например, следующих ситуаций.
1. Производственный отдел считает необходимым скорректировать план выпуска продукции на следующую неделю, так как требуется перераспределить исходный продукт В таким образом, чтобы его расход на производство красок был уменьшен на 2 т в сутки. При этом расход исходного продукта А увеличивается на 3 т в сутки.
2. Отдел сбыта полагает, что в следующем полугодии изменения на рынке позволят продавать в сутки не 2, а З1/2 т краски для внутренних работ.
3. Отдел исследований и разработок предложил внедрить новый технологический процесс, позволяющий снизить расход исходных продуктов А и В на производство тонны краски для наружных работ с 1 и 2 т до 0,8 и 1,7 т соответственно.
4. Финансовый отдел полагает, что обострение конкуренции на рынке сбыта приведет к снижению цен на краски Е и I до 2,5 и 1,5 тыс. долл. за тонну соответственно.
5. Один из членов группы по исследованию операций, анализируя данные об объемах реализации продукции за прошлый год, пришел к выводу, что спрос на краску Е никогда не превышал 3 т в сутки. Его рекомендации сводятся к тому, чтобы объем поставок краски Е не превышал этой величины.
6. Отдел сбыта скептически относится к идее поставок в некоторые районы более дешевого сорта краски Е.
Выше указаны типичные ситуации, которые можно исследовать путем анализа моделей на чувствительность. Ситуации такого рода можно рассматривать как по отдельности, так и в различных сочетаниях. Конечный результат исследования должен дать ответ на следующий вопрос: изменится ли полученное ранее оптимальное решение, и если да, то каково новое оптимальное решение?
Рассмотрим представленный перечень возможных ситуаций более внимательно. На вопрос о том, каким образом каждая из ситуаций может изменить предыдущее оптимальное решение, можно дать ответ: 1) предыдущее решение может стать недопустимым или 2) предыдущее решение может стать неоптимальным 1).
Аргументация сформулированного ответа базируется на результатах вычислений с использованием соотношений двойственности (разд. 4.2). Проанализировав их в рассматриваемом аспекте, можно прийти к следующим выводам.
1. К недопустимости предыдущего решения могут привести только изменение запасов ресурсов (т. е. правых частей ограничений) и(или) добавление новых ограничений (примерами могут служить ситуации 1, 2 и 5 из приведенных выше).
2. К неоптимальности предыдущего решения может привести только изменение целевой функции и(или) изменение определенных элементов левых частей ограничений (например, ситуации 3 и 4). Такое же последствие может иметь и включение в модель нового вида производственной деятельности (ситуация 6).
Исходя из вышеизложенного, общую схему анализа модели на чувствительность можно представить следующим образом.
Шаг 1. Решить исходную задачу ЛП и составить симплекс-таблицу для оптимального решения. Перейти к шагу 2.
Шаг 2. Применительно к рассматриваемым изменениям исходной модели найти новые значения элементов симплекс-таблицы, соответствующей предыдущему оптимальному решению, с помощью вычислительных процедур, основанных на соотношениях двойственности (разд. 4.2). Перейти к шагу 3.
Шаг 3. Если решение, представленное в новой таблице, неоптимальное, перейти к шагу 4. Если это решение недопустимое, перейти к шагу 5. Если же полученное решение является оптимальным, процесс вычислений закончить.
Шаг 4. С помощью обычного симплекс-метода получить новое оптимальное решение (или показать, что оно неограниченное) Закончить вычисления.
Шаг 5. С помощью двойственного симплекс-метода получить допустимое решение (или показать, что задача не имеет допустимых решений). Закончить вычисления.
Опять обратимся к конкретному случаю и проиллюстрируем применение анализа модели на чувствительность на примере задачи фирмы Reddy Mikks. С этой целью приведем формулировки прямой и двойственной задач, а также симплекс-таблицу для (текущего) оптимального решения исходной задачи. Эта информация необходима для начального этапа анализа (см. шаг 1).
Симплекс-таблица для оптимального решения имеет вид
(Последующий материал данного раздела удобнее изучать, имея перед собой исходные формулировки задач и результирующую симплекс-таблицу. Ниже будем называть полученное оптимальное решение прямой задачи текущим решением.)
Дальнейший материал данной главы разделен на два подраздела. В первом рассматриваются изменения условий исходной задачи, которые могут привести к недопустимости текущего решения, а во втором — изменения, которые могут привести к неоптимальности , текущего решения.