4.5.1. Изменения условий задачи, влияющие на допустимость решения

К недопустимости текущего решения могут привести 1) изменение запасов ресурсов (т. е. правых частей ограничений) и 2) введение новых ограничений. Рассмотрим каждый случай в отдельности.

Изменение правых частей ограничений

Положим, что в задаче фирмы Reddy Mikks запас исходного продукта А с 6 т увеличен до 7 т. Как это отразится на текущем решении?

Из соотношений двойственности следует, что изменение правых

частей ограничений может повлиять только на элементы правой части симплекс-таблицы и, следовательно, только на допустимость решения. Поэтому нужно определить новые значения элементов правой части таблицы с использованием вычислительных процедур, рассмотренных в разд. 4.2. (Обратная матрица в симплекс-таблице для оптимального решения заштрихована.)

Новое (базисное) решение задачи имеет вид (см. подразд. 4.2 2)

Так как элементы правой части таблицы остались неотрицательными, состав текущих базисных переменных не изменился. Они приняли только новые значения: x₁=3, х₂=2, х₅=2, x₃=x₄=x₆=0. Новое значение z равно 3(3)+2(2)=13

Рассмотрим случай, когда значения текущих базисных переменных становятся недопустимыми. Предположим, что максимальный суточный запас исходных продуктов А и В будет составлять не 6 и 8 т, а 7 и 4 т соответственно. Элементы правой части таблицы вычисляются следующим образом:

Текущее решение будет недопустимым, так как переменные х₅ и x₆ стали отрицательными. Чтобы получить новое допустимое решение, нужно воспользоваться двойственным симплекс-методом. В приведенной ниже таблице, соответствующей новому оптимальному решению прямой задачи, измененная правая часть заштрихована. Все остальные элементы таблицы остались прежними.

Заметим, что новое значение г равно 3(1/3) +2(10/3) ==23/3.

Полученное решение оптимальное (все коэффициенты z-уравнения неотрицательные), однако оно не является допустимым (по крайней мере одна базисная переменная имеет отрицательный знак). Результаты вычислений с помощью двойственного симплекс-метода указывают на то, что исключаемой переменной должна быть x₅, а новой базисной переменной — х₃. Получаем следующую таблицу:

Решение, представленное в этой таблице, и оптимальное, и допустимое; при этом x₁=1, x₂=2 и z=7. Допустимое решение удалось получить за одну итерацию, но в общем случае двойственный симплекс-метод приводит к допустимому решению за большее число итераций.

Добавление нового ограничения

Введение дополнительного ограничения может привести к одной из указанных ниже ситуаций.

1. Новое ограничение при текущем решении выполняется. В этом случае данное ограничение либо несвязывающее, либо избыточное, и поэтому его добавление не изменяет полученного решения.

2. Новое ограничение при текущем решении не выполняется. Так как такое ограничение связывающее, то с помощью двойственного симплекс-метода находится новое решение.

Рассмотрим указанные случаи на конкретных примерах. Положим, что максимальный спрос на краску Е не превышает 4 т в сутки. Следует ввести в модель новое ограничение. Так как очевидно, что при текущем решении это ограничение выполняется, оно относится к несвязывающим, и, следовательно, решение остается неизменным.

Предположим теперь, что максимальный спрос на краску Е не превышает 3 т в сутки. Новое ограничение при текущем решении не выполняется, поэтому необходимо найти допустимое решение. Введем сначала новое ограничение в стандартную формулировку задачи, добавляя, если это необходимо, остаточную или избыточную переменную. Выразим какую-либо из текущих базисных переменных, содержащихся в этом ограничении, через текущие небазисные переменные. Введем «модифицированное» ограничение в симплекс-таблицу, соответствующую текущему оптимальному решению, и воспользуемся двойственным симплекс-методом для нахождения допустимого решения.

Для приведения нового ограничения i<3 к стандартной форме введем остаточную переменную х„ в результате чего получим

В текущем решении х₁ является базисной переменной, поэтому необходимо выразить ее через небазисные переменные. В таблице для текущего оптимального решения x₁-уравнение имеет вид

Таким образом, новое ограничение, где фигурируют только текущие небазисные переменные, можно записать как

Модифицированное ограничение вводится в симплекс-таблицу

для текущего оптимального решения так, как показано ниже. Дополнительные элементы таблицы заштрихованы. Остальная часть симплекс-таблицы полностью соответствует исходной.

Реализация двойственного симплекс-метода предусматривает замену в этой таблице текущей базисной переменной x_7, переменной х₄, что приводит к получению следующей таблицы для оптимального допустимого решения:

Новое оптимальное значение г хуже, чем то, которое соответствовало условиям задачи до введения нового ограничения. Этого и следовало ожидать, так как добавление нового связывающего ограничения не может улучшить значения целевой функции.

Последовательное включение новых ограничений в симплекс-таблицу, соответствующую текущему оптимальному решению, иногда используется для уменьшения объема вычислений, связанных а решением, задач ЛП. В гл. 3 было показано, что объем вычислений при использовании симплекс-метода прежде всего зависит от числа ограничений. Можно существенно облегчить вычисления, выделяя второстепенные ограничения модели, которые представляются слабо влияющими (либо вообще не влияющими) на вид оптимального решения . Затем решается задача ЛП с учетом только оставшихся (основных) ограничений. После этого в результирующую симплекс-таблицу последовательно вводятся второстепенные ограничения (и оценивается их влияние на текущий оптимум) до тех пор, пока не станет ясно, что решение удовлетворяет всем этим первоначально не учтенным ограничениям. Упрощение вычислений особенно заметно в тех случаях, когда исключается много второстепенных ограничений.