4.5.2. Изменения условий задачи, влияющие на оптимальность решения

Текущее решение перестает быть оптимальным только в том случае, когда новые значения коэффициентов 2-уравнения не удовлетворяют условию оптимальности. В разд. 4.3 было показано, что значения z-коэффициентов равны разности между левыми и правыми частями соответствующих двойственных ограничений. Так как левая часть двойственного ограничения определяется столбцами коэффициентов прямой задачи, ассоциированных с видами производственной деятельности, можно сделать вывод, что на оптимальность текущего решения влияют изменения либо коэффициентов целевой - функции, либо удельных расходов ресурсов. Рассмотрим сначала каждый из этих случаев в отдельности. Ситуацию, когда имеет место и то и другое, представим включением в модель новых видов производственной деятельности. Следует помнить, что в каждом из этих случаев все сводится лишь к одному — проверке условий оптимальности для новых значений коэффициентов z-уравнения.

Изменения коэффициентов целевой функции

Напомним, что при определении двойственных оценок используются коэффициенты целевой функции при базисных переменных. В свою очередь эти двойственные оценки подставляются в ограничения двойственной задачи для вычисления коэффициентов z-y равнения. При этом возможны два варианта.

1. Если изменения целевой функции связаны с изменением коэффициентов при текущих базисных переменных, следует получить новые двойственные оценки и затем использовать их при вычислении коэффициентов z-уравнения.

2. Если изменения касаются только коэффициентов при небазисных переменных, следует использовать текущие двойственные оценки (получаемые непосредственно из симплекс-таблицы) и вычислить

коэффициенты г-уравнения только для соответствующих небазисных переменных. Никаких других изменений симплекс-таблица при этом не претерпевает.

Предположим, что целевая функция z=3x₁+2x₂ в задаче фирмы Reddy Mikks заменена на z=5x₁+4x₂. Изменились коэффициенты при x₁ и x₂, которые в данном случае являются базисными переменными текущего решения. Следовательно, необходимо получить новые двойственные оценки (см. подразд. 4.2.2). Заметим, что порядок базисных переменных в симплекс-таблице для текущего решения

Следующий: x_2, x_1, x_5, x₆.

Коэффициенты г-уравнения вычисляются как разности между левыми и правыми частями соответствующих ограничений двойственной задачи. (Обратите внимание на то, что правые части двойственных ограничений теперь должны быть равны новым значениям коэффициентов целевой функции.)

Поскольку в рассматриваемой задаче целевая функция подлежит максимизации и все коэффициенты г-уравнения неотрицательные, указанное изменение целевой функции не влияет ни на состав переменных в оптимальном решении, ни на их значения. Изменяется только величина г, которая становится равной 5х (10/3)4-4 X (4/3)= =22.

Рассмотрим другой пример, когда изменения целевой функции приводят к неоптимальности текущего решения. Предположим, что

Тогда

Можно убедиться в том, что новая г-строка симплекс-таблицы будет иметь следующий вид:

Так как коэффициент при переменной Х₃ имеет отрицательное значение, эту переменную следует ввести в базис и найти новое оптимальное решение с помощью обычного симплекс-метода. Из табл. 4.5 видно, что новый оптимум достигается за одну итерацию. Подтаблица, соответствующая первой итерации, за исключением z-строки, повторяет таблицу, соответствующую текущему оптимальному решению.

Таблица 4.5

Изменения удельных расходов ресурсов

Изменение коэффициента, характеризующего расход ресурса на единицу продукции для какого-либо вида производственной деятельности, может повлиять только на оптимальность решения, так как это изменение связано с левой частью соответствующего двойственного ограничения. Однако мы вынуждены ограничиться рассмотрением данного вопроса только применительно к коэффициентам, фигурирующим при небазисных переменных. Изменение коэффициентов, которые в соответствующих ограничениях стоят перед базисными переменными, влияет на обратную матрицу, и в этом случае вычисления могут оказаться довольно сложными. Поэтому рассмотрим изменения удельных расходов ресурсов, относящиеся только к тем видам производственной деятельности, которым в решении соответствуют небазисные переменные. Проще всего проанализировать ситуацию, связанную с изменением коэффициентов при базисных переменных путем решения заново сформулированной задачи. Разработаны методы, позволяющие проанализировать последствия изменения одного из коэффициентов при базисных переменных. Однако они дают меньше информации, чем другие способы анализа моделей на чувствительность.

Рассмотрим задачу фирмы Reddy Mikks при z=4x₁+x₂. Оптимальное решение для этого случая представлено в табл. 4.5. Переменная x₂ является небазисной, поэтому можно провести анализ последствий, к которым приведет изменение коэффициента при этой переменной в соответствующем ограничении. Положим, что удельные расходы исходных продуктов А и В для данного вида производственной деятельности стали равны 4 и 3 вместо 2 и 1 соответственно. Рассматриваемое двойственное ограничение принимает вид

Так как целевая функция не меняется, двойственные оценки будут такими же, как и в табл. 4.5. Таким образом, в г-уравнении

(Новое значение x₂-коэффициента)==4х04-3х2+1х0+1х0-1=5

Поскольку это значение неотрицательное, при указанном изменении условий оптимальное решение остается таким же, как представленное в табл. 4.5.

Вместо того чтобы исследовать, как получается новое оптимальное решение в случае, аналогичном указанному в п. (б) упражнения 4.5.6 (т. е. когда изменения приводят к неоптимальности предыдущего решения), рассмотрим более общую ситуацию, включающую этот случай как частный. Такой более общей ситуации соответствует включение в модель нового вида производственной деятельности.

Добавление нового вида производственной деятельности

Новый вид производственной деятельности можно ассоциировать с такой небазисной переменной исходной модели, которая первоначально имеет нулевые коэффициенты и в целевой функции, и во всех ограничениях. Значения соответствующих коэффициентов нового вида производственной деятельности будут представлять изменения

относительно исходного нулевого уровня.

Положим, что в задаче фирмы Reddy Mikks нас интересует производство более дешевого сорта краски для наружных работ, требующее по 3/4 т продуктов А и В на 1 т конечного продукта. Соотношение между объемами производства красок для наружных и внутренних работ, представляемое ограничением (3), останется связывающим, однако в новой формулировке этого ограничения должны быть представлены два сорта краски 'для наружных работ. Прибыль, получаемая от реализации 1 т новой краски, равна 1¹/₂ тыс. долл.

Обозначим объем производства новой краски через х₇, при этом

задача формулируется следующим образом:

максимизировать z=3x₁+2x₂+(3/2)x₇

при ограничениях

Добавление нового вида производственной деятельности эквивалентно одновременному изменению целевой функции и коэффициентов, характеризующих удельный расход ресурсов. Переменную х₇ можно рассматривать как переменную, фигурировавшую ранее в исходной модели с нулевыми коэффициентами, которые потом были изменены и приняли значения, соответствующие параметрам модифицированной модели. Такой подход позволяет считать л", небазисной переменной.

Первый этап вычислений связан с анализом соответствующего ограничения двойственной задачи:

В исходной симплекс-таблице х₇ рассматривается как небазисная переменная, поэтому двойственные оценки остаются неизменными. Тогда z-коэффициент при х₇ в таблице, соответствующей; текущему оптимальному решению, будет равен

Отсюда следует, что, если переменная станет положительной, текущее решение будет улучшено.

Симплекс-таблица, соответствующая текущему оптимальному решению, модифицируется следующим образом: в ее левую часть вводится столбец, ассоциированный с переменной х₇ причем коэффициент, фигурирующий при этой переменной в z-уравнении, равен —1/4. Соответствующие коэффициенты ограничений будут равны (см. подразд. 4.2.2)

В табл. 4.6 представлены результаты итераций, приводящие к получению нового оптимального решения.

Как можно заметить, новый вид производственной деятельности не может оказаться представленным в решении, если он не улучшает значения целевой функции. (Например, в табл. 4.6 следствием включения в оптимальное решение переменной х₇, явилось увеличение оптимального значения z от 12²/₃ до 14.) Этот результат прямо противоположен тому, который был получен при анализе последствий включения дополнительного ограничения (подразд. 4.5.1): новое ограничение никогда не улучшает значения целевой функции. Действительно, если дополнительное ограничение оказывается связывающим, оно должно лишь ухудшить оптимальное значение z.

Таблица 4.6