4.3.3. Приложения, связанные с экономической интерпретацией двойственности

Рассмотрим модель ЛП как средство описания некоторой системы с входом и выходом, причем входом являются лимитируемые ресурсы; выход ассоциируется с вкладом всех видов производственной деятельности в целевую функцию, а модель интерпретируется как средство преобразования лимитируемых ресурсов в соответствующую конечную продукцию.

Нас интересуют прежде всего пути улучшения операционных характеристик системы. В рамках, данного определения системы улучшение этих характеристик может быть в принципе достигнуто одним или несколькими из следующих способов:

1) увеличением вклада производственной деятельности в целевую функцию;

2) увеличением запасов лимитируемых ресурсов;

3) уменьшением потребления ресурсов в производственно-технологических процессах.

При использовании первого способа обычно приходится иметь дело с такими факторами, которые не поддаются управляющим воздействиям. Например, предельная величина прибыли, как правило, определяется ситуацией, складывающейся на рынке сбыта;

при этом конкурентная борьба может не позволить увеличить прибыль за счет повышения цен. Поэтому такой путь улучшения операционных характеристик системы нельзя считать перспективным.

Способ, связанный с увеличением запасов лимитируемых ресурсов, характеризуется большими возможностями управляющих органов, так как он связан с изысканием и выделением средств на закупку дополнительного количества различных ресурсов. В под-разд. 4.3.1 было показано, что двойственные переменные характеризуют ценность соответствующих ресурсов. Поэтому чем выше j двойственные оценки, тем выше приоритет соответствующих видов ресурсов при решении вопроса о распределении дополнительных затрат по видам ресурсов (см. также подразд. 3.4.3).

Факторы, определяющие возможности реализации третьего способа, обычно являются управляемыми. Этот способ требует уменьшения расхода ресурсов при функционировании системы, что может быть достигнуто совершенствованием используемых производственно-технологических процессов.

Аналогично тому как это делается при установлении приоритетности ресурсов, двойственные оценки можно использовать и при решении вопроса о том, совершенствование какого участка производства является первоочерёдным с точки зрения «максимально возможного улучшения операционных характеристик исследуемой системы. В частности, чтобы сделать j-й производственной деятельности более прибыльным, необходимо снизить соответствующую ему оценку ресурсов, т. е. . При этом главное внимание уделяется интенсивности потребления ресурсовa_kj ассоциированной с наибольшей по величине двойственной переменной y_k . Технический аспект, связанный с уменьшением величины a_kj, определяется внутренними характеристиками исследуемой системы.

Пример 4.3.1. Рассмотрим задачу об ассортименте продукции

из примера 2.2.1. В соответствии с условиями этой задачи для изготовления трех видов изделий применяются три технологические операции. Максимальное время использования операций составляет 430, 460 и 420 мин в сутки. Прибыли от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 равны 3, 2 и 5 долл. соответственно. Модель ЛП для этой задачи с использованием данных по операционным затратам времени на изготовление каждого изделия записывается следующим образом:

максимизировать z=3х₁₊2х₂+5х_з (величина прибыли за сутки) при ограничениях

Симплекс-таблица, соответствующая оптимальному решению задачи, имеет вид

Отсюда следует, что уменьшение времени выполнения операции 3 будет неэффективным, так как соответствующая оценка ресурсов, отнесенная к единице ресурса y₃, равна нулю. Сопоставляя теперь операции 1 и 2, можно заметить, что у₂(=2) больше, чей y₁ (=1), поэтому более перспективным следует считать вариант, связанный с уменьшением времени выполнения операции 2.

Насколько нужно сократить это время, чтобы сделать производство изделия вида 1 выгодным? Введем параметр r₂, представляющий сокращение времени выполнения операции 2 при изготовлении изделия вида 1 (в мин). Тогда

Изделие вида 1 станет рентабельным, как только C₁ превысит Z₁, т. е. при условии Z₁<C₁ или 7—2r₂<3, откуда r₂>2. Это означает что для обеспечения рентабельности производства изделия вида 1 время выполнения операции 2 при его изготовлении должно быть уменьшено более чем на 2 мин.

Упражнение 4.3.2. Рассмотрите задачу примера 4.3.1 при условии, что максимальное сокращение времени выполнения операции 2 равно 1,75 мин. Определите дополнительное к этому сокращение времени выполнения операции 1, при котором производство изделия вида 1 станет рентабельным. [Ответ: 0,5 мин ]