Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

ции. При этом можно считать, что в среде с дисперсией несуще˝е

колебание частоты f распространяется с фазовой скоростью, а огибающая, воспроизводящая форму модулирующего сигнала, рас˝- пространяется с групповой скоростью. Такая картина имеет˝ место и в случае распространения спутникового сигнала в ионосф˝ере.

При фазовых измерениях мы имеем дело с несущими гармониче˝- скими колебаниями (на частотах L1 è L2), распространяющимися

с фазовыми скоростями, а поэтому при расчете задержки в ио˝носфере в этом случае должен иметь место фазовый показатель˝ пре-

ломления. При кодовых измерениях участвуют кодовые сигна˝лы,

которые модулируют несущие колебания, а значит, характеризуются групповой скоростью распространения. Поэтому в этом˝ слу- чае следует использовать групповой показатель преломле˝ния.

Для расчета задержек сигнала в ионосфере применяют следу˝ю-

щие формулы:

при фазовых измерениях

=ò

при кодовых измерениях

=ò

ãäå L1 è L2 — нижняя и верхняя границы ионосферы; Ne — индекс преломления, определяемый по измерениям метеоэлементов (температуры˝, давления и влажности воздуха).

Индекс преломления связан с показателем преломления соо˝т-

ношением

Ne = (n – 1)106.

Индекс преломления показывает, на сколько миллионных до-

лей (единиц шестого знака) показатель преломления воздух˝а

больше единицы. Так, если ï = 1,000 315, òî N = 315.

Из приведенных интегралов видно, что задержки в ионосфере˝

одинаковы по значению, но различны по знаку. Это означает, ч˝то

при кодовых измерениях время распространения сигнала в и˝оно-

сфере увеличивается, а при фазовых уменьшается по сравнен˝ию с вакуумом.

Вычисление интегралов — сложная, а главное не поддающая˝ся

точному решению задача. Для ее решения предложено несколь˝ко

моделей, из которых наибольшее распространение получила˝ модель Клобучара. Рассчитанные по этой модели поправки к пс˝евдодальностям в линейной размерности составляют 5...50 м. Поэто˝му модельный способ учета поправок ионосферы применяют в ос˝-

541

новном в навигации при абсолютном методе определения коо˝р-

динат, а в геодезии — на базах длиной до 10 км, когда ионосферные условия для радиоволн, приходящих на оба приемника, практически одинаковы. В этом случае даже измерения тольк˝о на частоте L1 (с одночастотными приемниками) с использовани-

ем модельного учета дают приемлемые результаты. При точны˝х геодезических измерениях применяют метод, базирующийся˝ на

использовании двух несущих частот L1 è L2, измерения на которых позволяют получить расстояние, свободное от влияния

ионосферы. Для этой цели в спутниковом сигнале предусмотр˝е-

на вторая несущая L2, и все высокочастотные приемники являются двухчастотными.

О т р а ж е н и е р а д и о в о л н. На антенну спутникового

приемника может приходить не только прямой сигнал, но и от˝ра-

женный от земной или водной поверхности и окружающих пред˝- метов (зданий, сооружений, заборов и т. п.). Прямой и отражен˝-

ный сигналы проходят разные пути (рис. 19.13, à). В точке приема возникает их интерференция, приводящая к искажению прямо˝го

сигнала, а следовательно, к ошибкам измерений.

Для того чтобы отсечь лучи, отраженные от земной поверхно˝-

сти, в геодезических антеннах устанавливают специальные˝ металлические экраны (рис. 19.3, á). Такой экран защищает только от

«нижних» отраженных лучей и не снимает проблему отражени˝й от близко расположенных высоких препятствий, когда отражен˝ный

сигнал приходит «сверху».

Г е о м е т р и ч е с к и й ф а к т о р. От геометрии расположения созвездия наблюдаемых спутников зависит точность ли˝нейной засечки, определяемая понятием «геометрический факт˝ор»

(ГФ). В международной терминологии его обозначают аббреви˝а-

турой DOP (Dilution of Precision — падение точности). Если систе-

ма характеризуется средней квадратической погрешностью˝ измерения расстояния òèçì, то погрешность определения местоположения

Ì = DOP · òèçì.

DOP не может быть меньше 1, но чем он меньше, тем лучше. Различают несколько видов DOP, характеризующих уменьшение˝ точности в разных аспектах:

HDOP — снижение точности в плане (Horizontal DOP);

Рис. 19.13. Многопутность:

à — прямой и отраженные сигналы; á — использование экрана; 1 — спутник; 2 — прямой сигнал; 3 — отраженные сигналы; 4 — антенна

542

VDOP — снижение точности по высоте (Vertical DOP);

PDOP — снижение точности пространственного положения (Position DOP);

TDOP — снижение точности определения поправки часов (Tine DOP);

GDOP — общее снижение точности позиционирования

(Geometrical DOP).

Геометрический фактор GDOP — наиболее универсальная ха-

рактеристика, так как показывает понижение точности трех˝мер-

ного позиционирования. Однако большинство пользователе˝й предпочитает оценивать геометрию наблюдений величиной

PDOP. Конфигурацию спутников считают хорошей, если PDOP

не превышает 3, и удовлетворительной, если PDOP не больше 7.

Идеальная для спутниковых определений — конфигурация

спутникового созвездия: один из спутников находится в зен˝ите, а остальные равномерно распределены по окружности с центр˝ом в

определяемой точке так, что их возвышение над горизонтом ˝со-

ставляет 20°. Ситуация, когда спутники сгруппированы в небо˝льшой части неба («сбились в кучу»), является неблагоприятно˝й.

19.8. СИСТЕМА ОТСЧЕТА

Под системой отсчета подразумевают систему координат дл˝я определения места, где произошло событие, вместе со связа˝нны-

ми с этой системой часами для фиксации момента времени, ко˝гда

это событие произошло. При решении геодезических задач, с˝вя-

занных с наблюдениями ИСЗ, приходится пользоваться разли˝ч-

ными системами координат, отличающимися расположением н˝а- чала, ориентировкой основной и начальной плоскостей, а та˝кже

видом координатных систем.

Наиболее часто при обработке результатов наблюдений ИСЗ˝

пользуются системами прямоугольных и эллипсоидальных к˝оор-

динат. Среди прямоугольных координат можно выделить две о˝с- новные группы: инерциальные координаты (невращающиеся), связанные с положением неподвижных звезд, и системы коорд˝и- нат, жестко связанные с землей (вращающиеся системы коорд˝и-

íàò).

Ориентировка инерциальных систем задается каталожными координатами звезд, получаемыми по астрономическим набл˝юдениям методами фундаментальной астронометрии.

Системы координат, связанные с Землей (общеземные, рефе-

ренцные и др.), фиксируются координатами пунктов глобальн˝ых

геодезических сетей на земной поверхности.

Связь между вращающимися и инерциальными системами координат устанавливается по данным различных специальны˝х

служб по наблюдениям звезд, радиоисточников и ИСЗ.

В соответствии с рекомендациями Международного астроно˝- мического союза и Международного союза геодезии и геофиз˝ики

543

Международная служба вращения Земли (МСВЗ) определяет и

ежегодно публикует данные и стандарты инерциальной и зем˝ной систем координат. Более подробно эти вопросы рассмотрены˝ в учебниках по высшей и космической геодезии.

Рассмотрим некоторые системы координат.

О б щ е з е м н а я с и с т е м а к о о р д и н а т. Эта система может быть прямоугольной декартовой или эллипсоидально˝й.

В прямоугольной системе начало координат совпадает с цен˝т- ром масс Земли (рис. 19.14). Ось Z совпадает с направлением из

центра масс Земли в средний северный полюс [так называемо˝е

«Международное условное начало» (МУН)]. Ось X направлена в точку пересечения земного экватора и Гринвичского средн˝его меридиана. Ось Y дополняет систему до правой (направлена на вос-

òîê).

Прямоугольные пространственные координаты удобны для р˝е- шения задач, связанных с обработкой наблюдений спутников˝ при

построении глобальных геодезических систем. При решении˝ геодезических задач, связанных с определением положения точ˝ек

земной поверхности, более наглядное представление дают г˝еодезические эллипсоидальные координаты: Â — геодезическая широ-

òà; L — геодезическая долгота; Í — геодезическая высота. Прямоугольные координаты связаны с эллипсоидальными ко˝-

ординатами следующими соотношениями:

Õ = (N + H)cos Bcos L,

Y = (N + H)cos Bsin L, Z = [(N(1 – e2) + H]sin B,

ãäå N — радиус кривизны нормального сечения земного эллипсоида плоскостью первого вертикала; å — эксцентриситет земного эллипсоида.

В процессе наблюдений при работе с GPS-приемником определяются B, L, H координаты в системе

WGS-84, которую можно считать общеземной.

Р е ф е р е н ц н а я с и с т е м а к о о р - д и н а т. Близость поверхности эллипсоида к поверхности геоида (квазигеоида) оценивается по значениям уклонений

геоида от эллипсоида. В качестве крите-

рия принимают минимум суммы квадра-

тов уклонений, т. е. аномалий высоты

квазигеоида, [ξ2] = min.

Если параметры эллипсоида опреде-

ляют с привлечением пунктов глобальной геодезической сети, то получают общеземной эллипсоид, например эллипсоид WGS-84.

544

Если параметры эллипсоида подбирают для ограниченной те˝р-

ритории (с использованием пунктов геодезической сети отд˝ельно взятой страны), то получают так называемый референц-эллип˝со- ид. В СССР в 1943 г. получен эллипсоид Ф. Н. Красовского, параметры которого используют и до настоящего времени. В обще˝м гео-

дезическая система координат определяется принятым элл˝ипсоидом и характеризуется параметрами: большой полуосью элли˝псои-

äà à; геоцентрической гравитационной постоянной μ = fM+ (f — универсальная гравитационная постоянная; Ì+ — масса Зем-

ли); коэффициентом второй зональной гармоники геопотенци˝ала

I2; угловой скоростью вращения Земли ω0.

Совокупность этих величин определяют полярное сжатие эл˝- липсоида и соответственно размер его малой полуоси.

Таким образом, при задании систем координат устанавливаю˝т

не только геометрические размеры земного эллипсоида, но и˝ параметры гравитационного поля, а также астрономические по˝сто-

янные.

Любая система координат, связанная с Землей, реализуется ˝на

практике значениями координат геодезических пунктов, ко˝торые принимают в качестве опорных при выполнении геодезическ˝их

работ на местности.

Остановимся подробнее на особенностях геодезических ра˝бот,

связанных с использованием современной GPS-аппаратуры. Приступая к работе, геодезист располагает координатами г˝ео-

дезических пунктов, имеющихся на данном объекте. Именно э˝тот

набор координат практически должен реализовать исходну˝ю референцную систему координат. Однако процесс создания люб˝ой геодезической сети на такой огромной, как Государственна˝я гео-

дезическая сеть б. СССР, неизбежно сопровождается система˝ти-

ческими ошибками. Любой участок сети (локальная или регио˝-

нальная ее часть) имеет в этом смысле свои особенности, кот˝орые при современной точности измерений необходимо учитыват˝ь. Поэтому на каждом объекте приходится работать не в единой˝ для всей страны референцной системе, а, по существу, в локальной или региональной системе, отличной от единой референцной˝ системы координат.

Другая особенность применения GPS-аппаратуры — тот факт,

что в ряде случаев точность измерений относительным мето˝дом

точнее опорной геодезической сети. Например, вполне реаль˝ной

становится ситуация, когда для получения координат пункт˝ов

GPS-сети, имеющей сантиметровую и даже миллиметровую точ-

ность, приходится использовать исходные пункты, координа˝ты которых содержат дециметровые ошибки. Эти вопросы подлеж˝ат решению, единого правила для которого пока не установлено˝.

П р е о б р а з о в а н и е г е о д е з и ч е с к и х к о о р д и н а т. GPS-наблюдения позволяют получать результаты в WGS-84 сис-

теме координат. Геодезиста — потребителя продукции, как прави-

545

ло, интересуют данные в локальной (региональной) системе к˝оор-

динат, фиксированной координатами опорных пунктов, распо˝ложенных на участке работ. В этой связи возникает проблема п˝ерехода от системы координат WGS-84 к локальной (региональной)

системе координат. В этом состоит проблема преобразовани˝я или

трансформирования координат.

Как правило, начала рассматриваемых систем координат не с˝о-

впадают, имеет место различие в ориентировке осей систем ˝координат, существует разница в масштабах осей, созданных наз˝емны-

ми и спутниковыми методами.

Если воспользоваться углами Кардано для фиксации взаимн˝ой ориентировки координатных осей, то связь между ними определится выражением

ãäå eõ, eó, ez — углы Кардано; Dõ, Dó, Dz — координаты начала референцной системы координат в WGS-системе; b0 — масштабный коэффициент.

Таким образом, чтобы выполнить трехмерное преобразовани˝е

координат, необходимо знать семь параметров: три параметр˝а

сдвига, три параметра поворота, один масштабный коэффицие˝нт.

Параметры связи некоторых координатных систем приведен˝ы в

таблице 19.2. Для этого необходимо иметь не менее семи уравне˝-

ний типа (19.15), включающих семь неизвестных параметров

трансформирования. Четыре пункта с известными в референц˝ной системе координатами образуют три независимые базы, поро˝жда-

ющие девять уравнений. Два уравнения являются избыточным˝и. Это означает, что необходимо выполнить спутниковые наблю˝дения на четырех пунктах, координаты которых известны в рег˝иональной или локальной системах координат. Такое трехмерн˝ое трансформирование используют в больших сетях, размеры ко˝торых исчисляют тысячами километров.

19.2. Параметры связи некоторых координатных систем

546

Объяснения параметров преобразования приведены на с. 546. Систему параметрических уравнений для решения задачи по˝

определению параметров преобразования координат можно ˝записать в виде

Âгеодезических сетях меньших размеров применяют двумер˝- ное трансформирование. Именно двумерное трансформирова˝ние наиболее часто встречается на практике. Первоначально тр˝ехмер-

ный вектор базы редуцируют на плоскость геодезической пр˝оекции, например на плоскость проекции Гаусса—Крюгера. В это˝м случае имеем четыре параметра трансформирования: два пар˝амет-

ра сдвига начала координат, один угловой параметр вращени˝я и масштабный фактор. Четыре пункта с известными в референцн˝ой системе координатами образуют три независимых базы, поро˝ждающие четыре уравнения с четырьмя неизвестными параметра˝ми трансформирования.

На практике редко определяют угловой параметр вращения и˝ масштабный фактор. Определяют только два параметра сдвиг˝а начала координат. Один из трех исходных пунктов выбирают ˝в ка- честве главного, фиксирующего региональную или локальну˝ю систему координат. Как правило, такой пункт расположен близ˝ко к центру геодезической сети. Остальные два исходных пункта˝ нужны для того, чтобы проконтролировать точность координат г˝лавного исходного пункта.

Âэллипсоидальных геодезических системах координат использо-

âàíà Í-геодезическая высота. По определению Í есть расстояние пункта до эллипсоида, измеряемое по нормали, проведенной ˝от пункта к поверхности эллипсоида. Геодезическая высота Í состо-

γ+ ξ при этом первая составная часть

γполучается из геометрического нивелирования и быстро из-

меняется в зависимости от рельефа местности. Вторая соста˝вная

часть ξ — аномалия высоты, т. е. высота отсчетной для нивелиро-

вания поверхности над поверхностью эллипсоида. Это так на˝зываемая геоидальная часть геодезической высоты; она плавн˝о изменяется и зависит от аномалий гравитационного поля.

547

Нивелирные высоты могут различаться в зависимости от пра˝- вил учета в них гравиметрических поправок.

Различают систему нормальных нивелирных высот, обозначаемых Íγ. Это высота пункта над отсчетной поверхностью, так называемой поверхностью квазигеоида, который строго опред˝еляет-

ся по измерениям на физической поверхности Земли.

Система нормальных высот используется в РФ, странах СНГ и˝ некоторых странах Восточной и Западной Европы. На отечест˝венных картах указаны нормальные высоты.

Система ортометрических высот также широко используется во всем мире. Обозначаются ортометрические нивелирные вы˝соты Í9. Высота Í9 — это высота пункта над поверхностью геоида. Геоид не может быть определен строго по измерениям на пов˝ерхности Земли. Для определения фигуры геоида необходимо зна˝ть плотность масс, расположенных между геоидом и физической˝ поверхностью Земли, что практически является трудноразреш˝имой задачей, поэтому точное определение фигуры геоида невозм˝ожно.

Поверхности геоида и квазигеоида на морях и океанах совпа˝дают, а в равнинной местности расходятся в пределах 2...3 см. В г˝орных районах расстояния между ними могут достигать 2...3 м. Бо˝- лее подробно этот вопрос рассматривают в курсах высшей ге˝одезии.

Р а в н о д е н с т в е н н ы е (з в е з д н ы е) си с т е м ы к о- о р д и н а т. Положение внешней точки пространства (например, ИСЗ) относительно Земли удобно задавать в геоцентрической равноденственной прямоугольной системе координат. Начало системы координат совмещают с центром масс Земли, ось Z направлена вдоль оси вращения Земли (в полюс Мира), ось Õ — в точку весеннего равноденствия γ, îñü Y дополняет систему до правой тройки

векторов.

Наряду с геоцентрической системой координат используют˝ также топоцентрическую равноденственную систему, отличающуюся от геоцентрической системы только положением начала, к˝оторое располагается в точке земной поверхности; оси топоцен˝три- ческой системы параллельны соответствующим осям геоцен˝три- ческой системы координат.

Равноденственные системы координат, определенные ранее˝, не являются инерциальными, поскольку ориентировка оси вращения Земли (оси Мира) и положение точки весеннего равноден-˝ ствия с течением времени меняется вследствие гравитационного воздействия на Землю со стороны Луны, Солнца и планет Солн˝еч-

ной системы. Выделяют истинные и средние равноденственны˝е координатные системы. Переход от истинных к средним равно˝- денственным координатам связан с учетом астрономически˝х явлений прецессии и нутации. Подробно с этими вопросами можно˝ ознакомиться в курсе сферической астрономии.

548

О р б и т а л ь н а я с и с т е м а к о о р д и н а т. Спутники вращаются вокруг Земли по эллиптическим орбитам, близким˝ к

окружностям, но форма эллипса и его ориентация в простран˝стве с течением времени меняются. Мгновенную орбиту (орбиту в н˝е- который момент времени) называют оскулирующей.

С орбитой связана орбитальная система координат, представля-

ющая собой плоскую прямоугольную декартовую систему, пок˝а- занную на рисунке 19.15. Начало 0 орбитальной системы коорди-

нат совпадает с центром масс Земли. Оси õ0 è ó0 лежат в плоскости орбиты. Большая полуось à и малая полуось b эллиптической ор-

биты характеризуют ее размеры и форму. Практически использу-

ют большую полуось à и эксцентриситет

=+

Плоскость орбиты пересекается с плоскостью экватора по л˝и-

íèè ζη, которую называют линией узлов. Точку ζ, в которой спутник пересекает плоскость экватора, переходя из Южного пол˝ушария в Северное, называют восходящим узлом орбиты. Противо˝по-

ложная точка η — нисходящий узел. Ось õ0 проходит через восхо-

дящий узел. Ось ó0 перпендикулярна оси õ0 и лежит в плоскости орбиты.

Рис. 19.15. Кеплеровы элементы орбиты:

S — искусственный спутник Земли (ИСЗ); S ′ — проекция ИСЗ на небесную сферу; υ = υ(t) — истинная аномалия ИСЗ в момент t; r- — радиус-вектор ИСЗ; Ñ — центр орбиты; Ω — долгота восходящего узла; ω — аргумент Перигея

549

Определим остальные параметры, характеризующие ориенти˝-

ровку орбиты в пространстве и положение спутника на орбит˝е. Плоскость орбиты образует с плоскостью экватора угол i — угол наклона орбиты. Второй угловой параметр, задающий ориента˝- цию орбиты в экваториальной системе координат, Ω — угол между

направлением в точку весеннего равноденствия и осью õ0 — долгота восходящего узла орбиты. И третий угловой параметр ω — àðãó-

мент перигея. Перигей — ближайшая к центру масс Земли точ˝ка орбиты. Положение спутника на орбите в некоторый момент t õà-

рактеризуют истинной аномалией υ. Сумму аргумента перигея и

истинную аномалию называют аргументом широты: è = ω + υ. Используют и другие параметры, характеризующие орбиту и пол˝ожение спутника на ней. Элементы, характеризующие орбитально˝е

движение спутника на исходную эпоху, в совокупности с пар˝амет-

рами, определяющими изменения этих элементов с течением в˝ремени, являются основой для составления эфемерид спутника˝.

Пользуясь эфемеридами спутника, можно вычислить орбитал˝ь- ные координаты õ0 è ó0 по формулам:

õ0 = rcos u; y0 = rsin u,

ãäå r — расстояние от центра масс Земли до мгновенного положе˝ния спутника на орбите.

Каждый спутник GPS транслирует данные для получения эфемерид в составе навигационного спутникового сообщения. Э˝фе-

меридами любого космического объекта (звезды, ИСЗ) называ˝ют таблицы, в которых на определенные, обычно равноотстоящие˝,

моменты даны координаты этого объекта.

Ш к а л ы в р е м е н и. Все способы измерения дальностей

(псевдодальностей) основаны на определении времени прох˝ождения радиоволн от спутника до приемника. На каждом спутник˝е

системы GPS установлено по несколько атомных стандартов ча˝с-

тоты, одновременно являющихся генераторами шкал времени˝. С

их помощью генерируются электромагнитные колебания с от˝но-

сительной нестабильностью за сутки около 10–13. Передаваемые

радиосигналы несут метки времени, по которым на Земле на с˝тан-

циях службы времени сверяют временные шкалы системы GPS с государственными эталонами времени и частоты.

В основе измерений физического времени лежит атомное вре˝- мя АТ. Существует Международное атомное время TAI. Единицей атомного времени является атомная секунда — интервал в˝ремени близкий к 1/86 400 части суток. Шкала атомного времени обладает˝ высокой равномерностью (10–13). Она постепенно расходится со шкалой Всемирного астрономического времени UT (Universal Time), соответствующей шкале среднего солнечного времени Гринвичского меридиана, которая задается суточным враще˝нием

Земли. Различают три системы всемирного времени:

550