Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

Вычислив ó по формулам (17.17), сравнивают полученные его

значения. Расхождение не должно превышать трех единиц пос˝леднего знака.

К о н т р о л ь в ы ч и с л е н и й. Если значение a1 èëè a2 близко к 90° (270°), то полученные два значения ó могут сильно

различаться между собой (из-за недостаточного числа знач˝ащих цифр в приращении абсцисс). В этом случае за окончательное˝

значение ó принимают полученное по меньшему (по абсолютной величине) значению тангенса.

Если один из дирекционных углов a1 èëè a2 близок к 90° (270°),

но ни один из них не близок к 0° (180°, 360°), то вместо формул (17.13), (17.17) с тангенсами дирекционных углов можно использовать формулы с котангенсами этих углов

К о н т р о л ь о п р е д е л е н и я. Контроль правильности

определения положения пункта Ð по формулам Гаусса, включаю-

щий контроль правильности результатов измерений и выпис˝ки исходных данных, может быть осуществлен различными спосо˝бами, рассмотрим один из них.

Используя координаты другой пары данных пунктов и соотве˝т-

ствующие им дирекционные углы (например, координаты пунк˝- тов Â, Ñ и дирекционные углы a2, a3), второй раз вычисляют коор-

динаты пункта Ð. Допустимость расхождения между значениями координат, полученными при двух решениях задачи, может бы˝ть определена по тем же формулам, что и при решении задачи по формулам Юнга [см. формулы (17.8), (17.19)].

За окончательные координаты пункта Ð принимают средние арифметические значения из полученных при двух решениях˝.

Пример математической обработки результатов измерений ˝по оп-

ределению координат пункта прямой засечкой по формулам Г˝аус-

са приведен в таблице 17.3.

17.3. Вычисление координат пункта, определяемого прямой засе˝чкой по формулам Гаусса

491

17.3. ОБРАТНАЯ ЗАСЕЧКА (ЗАДАЧА ПОТЕНОТА)

Сущность обратной засечки заключается в определении коо˝р-

динат четвертого пункта по координатам трех исходных пун˝ктов и двум углам, измеренным при определяемом пункте (рис. 17.4).

Для контроля правильности решения задачи при определяем˝ом пункте измеряют третий угол между направлениями на один и˝з

первых трех пунктов и на четвертый пункт исходной сети.

Таким образом, для решения задачи с контролем необходимо

видеть из определяемого пункта четыре пункта исходной се˝ти и измерить три угла при определяемом пункте.

Существует много способов решения задачи Потенота. Рассмотрим ее решение по формулам Кнейссля.

Формулы Кнейссля. Допустим, что требуется определить коор-

динаты пункта Ð (õ, ó) по координатам трех пунктов À (õÀ, óÀ), Â (õÂ, óÂ), Ñ (õÑ, óÑ) исходной сети и по двум измеренным углам γ1, γ2 при определяемом пункте (см. рис. 17.4). Для контроля измерен

третий угол γ3, одна из сторон которого имеет направление на четвертый пункт D (õD, óD) исходной сети.

Введем обозначения: (ÀÐ) = α1, (ÂÐ) = α2, (ÑÐ) = α3, ctg γ1 = à, ctg γ2 = b.

òàê êàê α2 = α1 + γ1 (см. рис. 17.4). Для упрощения записей перене-

сем начало координат в точку À, сохранив направление осей координат.

В новой системе координат:

492

Обозначив коэффициенты при õ′ è ó′в первом из этих двух равенств через k1 è k2, а во втором — через k3 è k4, будем иметь си-

стему двух уравнений с двумя неизвестными в виде

I. k1x′ – k2y′ = – x′2 – y′2;

II. k3x′ – k4y′ = –x′2 – y′2.

Вычтем из первого уравнения второе. Получим

(k1 – k3)x′ – (k2 – k4)ó′ = 0.

Откуда следует, что

′′ =

Обозначим

=

тогда

′′ =

493

откуда

õ¢ = ñó¢.

Подставив это выражение для õ¢ в уравнения I и II, в результате некоторых преобразований получим

Òàê êàê ki (i = 1, 2, 3, 4) выражены через известные величины,

то, найдя их, можно вычислить ñ, а затем получить значения õ¢ è ó¢. Чтобы иметь формулы в старых координатах, следует в вывед˝ен-

ных формулах произвести подстановку

Приведем сводку формул Кнейссля:

Пример решения обратной засечки по формулам Кнейссля приведен в таблице 17.4.

К о н т р о л ь в ы ч и с л е н и й и о п р е д е л е н и я. Правильность вычислений контролируют путем решения задачи˝ во «вторую руку» или по другим формулам.

Для контроля определения положения пункта Ð, включающего контроль результатов измерений и выписки исходных данны˝х, ис-

494

17.4. Вычисление координат пункта, определяемого обратной за˝сечкой, по формулам Кнейссля

495

пользуют третий измеренный угол, заключенный между напра˝влениями на четвертый исходный пункт и на один из первых трех˝ пунктов.

Существует несколько способов контроля. Рассмотрим два и˝з них.

Способ 1. Вторично решают задачу, используя другие два измеренных угла, например g1 è g3, и соответственно другую комбинацию трех исходных пунктов.

Как и в случае прямой засечки, для определения допустимос˝ти расхождений в значениях координат, полученных из двух реш˝е- ний, должно выполняться условие

здесь Ì1, Ì2 — средние квадратические погрешности положения пункта˝Ð, полу- ченного соответственно при первом и втором решениях, вычи˝сляют по формулам:

Следует отметить, что формула (17.21) является строгой, если результаты первого и второго решений независимы между со˝бой. В рассматриваемом случае эта формула приближенная, так ка˝к

один из углов (g1) участвует в обоих решениях.

Убедившись в допустимости расхождений, за окончательные˝ значения координат точки Ð берут средние арифметические из результатов, полученных по двум вариантам решения.

Средняя квадратическая погрешность положения пункта Ð, координаты которого получены как средние арифметические з˝наче- ния из результатов двух решений, для рассматриваемого слу˝чая

приближенно будет

496

Если средняя квадратическая погрешность из второго опре˝деленияÌ2 = 15 ñì, òî

=+ =

àсредняя квадратическая погрешность среднего из двух оп˝ределений

Ì= Ìr/2 = 28/2 = 14 ñì.

Способ 2. По найденным координатам пункта Ð и координатам пункта D вычисляют дирекционный угол (PD). Затем определяют

γдолжно выполняться неравенство

ãäå òβ — средняя квадратическая погрешность измерения углов ˝γ1, γ2 è γ3.

17.4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАСЕЧКА

Сущность линейной засечки состоит в определении координ˝ат

пункта по координатам двух исходных пунктов и по двум рас˝стояниям от определяемого пункта до исходных.

Выведем формулы для определения координат пункта Ð по координатам пунктов À è Â и расстояниям ÀÐ = S1 è ÂÐ = S2

(рис. 17.5). Для контроля определения положения пункта Ð должны быть известны координаты третьего пункта Ñ и расстояние

ÑÐ = S3.

Для треугольника ÀÂÐ имеет место соотношение

497

èëè

=+

При численном решении удобнее использовать формулы

последнего знака

К о н т р о л ь о п р е д е л е н и я. Правильность определения по-

ложения пункта Ð проверяют с помощью расстояния S3 от определяемого пункта до третьего пункта Ñ с известными координатами. Этот контроль может быть осуществлен: путем вычисления длины

отрезка S3 по координатам его концов и сравнения полученного

значения с измеренным; путем решения задачи по расстояния˝м

от пункта Ð до другой пары исходных пунктов, например Â è Ñ, è

сравнения полученных результатов с результатами первог˝о решения.

498

Расхождения при этом контроле считают допустимыми, если

при первом способе

=+

(17.30)

<

ãäå òS — средняя квадратическая погрешность измерения расстоя˝нияS3.

При втором способе должны выполняться условия

= ′ ′′ + ′ ′′ <

=+

ãäå Ì1, Ì2 — средние квадратические погрешности положения пункта˝Ð, полученного соответственно при первом и втором решениях.

За окончательные значения координат принимают средние

арифметические из значений, полученных по двум вариантам˝ решения. Средняя квадратическая погрешность Ì среднего положе-

ния пункта Ð приближенно будет

Пример вычисления координат пункта Ð приведен в таблице

17.5.Использованы формулы (17.25)…(17.29).

17.5.Вычисление координат пункта, определяемого линейной за˝сечкой

499

17.5. ЛУЧЕВОЙ МЕТОД

Лучевой метод определения положения точек с применением˝

электромагнитных дальномеров разработан Ю. Г. Батраков˝ым. Сущность этого метода заключается в определении положен˝ия

точек полярным способом с двух пунктов (рис. 17.6): основного˝

(исходного) À1 и дополнительного À2, выбираемого рядом с основным (на расстоянии 5…20 м от него). Координаты дополнительно˝- го пункта получают путем передачи их с основного пункта п˝оляр-

ным способом.

Этим методом рекомендуют определять координаты точек в о˝т- крытой всхолмленной местности, когда непосредственно с ц˝ент-

ров пунктов триангуляции, расположенных на вершинах холм˝ов, имеется видимость по многим направлениям.

Для планового определения выбранных точек с обоих исходных пунктов (основного и дополнительного) наблюдают напр˝ав-

ления оптическим теодолитом и измеряют расстояния свето˝- или радиодальномерами. Таким образом, каждую точку определяю˝т

дважды. Контролем измерений служит сходимость координат˝ то- чек. В качестве окончательных принимают их средние значен˝ия.

Например, координаты пункта 1, определенные с основного

пункта, будут

Аналогично находят координаты ′′ ′′ пункта 1 с дополни-

тельного пункта À2.

Рис. 17.6. Схема лучевого метода

500