Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

=

при дополнительном условии (ÀR)² = –(BR)².

С учетом указанного условия полюсное условное уравнение˝

Далее, так же как для центральной системы, находят коррела˝ту

Полные поправки для соответствующих углов получают как

сумму первичной и вторичной поправок, т. е. (i) = (i)¢ + (i)².

Введя в измеренные значения полные поправки, получают уравненные углы. Дальнейшую математическую обработку пр˝о-

водят так же, как и для центральной системы. Числовой приме˝р

упрощенного уравнивания геодезического четырехугольника (см. рис. 14.6) приведен в таблицах 14.9…14.11.

14.9. Вычисление уравненных углов четырехугольника

w3 = (3 + 4) – (7 + 8) = +3².

441

14.10. Вычисление вторичных поправок четырехугольника

Цепь треугольников между двумя исходными сторонами (бази˝са-

ìè). Цепи треугольников между двумя исходными сторонами (рис. 14.7) соответствуют условия: N условий фигур, условие дирекционных углов, условие базисов, два условия координат.˝

Условия фигур и соответствующие им условные уравнения поправок имеют тот же вид, что и для рассмотренной ранее центральной системы.

442

Рис. 14.7. Схема цепи треугольников с двумя исходными сторона˝ми (базисами)

Для составления остальных условных уравнений намечают х˝о- довую линию (на рис. 14.7 отмечена прерывистой линией).

Условие дирекционных углов состоит в том, что дирекционный угол α конечной (исходной) стороны ходовой линии, вычис-

ленный по дирекционному углу α0 начальной (исходной) стороны

ãäå çíàê «ïëþñ» ïðè CR (R = 1, 2, …, N) соответствует левым углам по ходовой линии, а знак «минус» — правым.

При четном числе N ÷ëåí 180°N следует отбросить, а при нечет-

ном — оставить +180° или –180°, смотря по смыслу. Заменив в

последнем равенстве уравненные углы их выражениями чере˝з измеренные и поправки к ним, после преобразований получаю˝т

условное уравнение дирекционных углов

±(Ñ1) ± (Ñ2) ± … ± (ÑN) + wα = 0,

ãäå wα — свободный член (невязка) условного уравнения дирекци˝онных углов;

нус» берут по тому же правилу, что и ранее.

Условие базисов заключается в том, что длина конечной (исход-

ной) стороны ходовой линии, вычисленная по длине начально˝й

должна быть равна длине SN конечной (исходной) стороны хода.

443

Применяя для определения сторон ходовой линии (см. рис. 14.7) N раз теорему синусов, можно прийти к равенству, выражающему условие базисов,

=

èëè

=

Произведя действия, аналогичные тем, которые были выполне˝-

ны при приведении полюсного условного уравнения к линейн˝ому виду, получим базисное условное уравнение

Свободный член базисного условного уравнения в угловой

ìåðå

ws = wr/SN.

Условные уравнения координат имеют для ходовой линии такой

же вид, как для теодолитного хода. Эти условные уравнения д˝аны далее.

Приведем сводку условных уравнений для цепи треугольник˝ов между двумя сторонами.

Условные уравнения фигур:

ãäå w — угловая невязка в треугольнике.

444

ãäå wx = S x – (õêîí – õíà÷); wó = S ó – (óêîí – óíà÷).

Формулы для предельных (допустимых) значений свободных членов условных уравнений:

условных уравнений фигур

=β

условного уравнения дирекционных углов

=α + β

условного уравнения сторон (базисов)

ãäå òβ — средняя квадратическая погрешность измерения угла; ï — число углов, соответствующих данному условному уравнению; òα — средняя квадратическая погрешность исходного дирекционного угла; — средние квадратические погрешности исходной и конечной сторон.

При уравнивании цепи треугольников условные уравнения д˝е-

лят на три группы: 1 — условные уравнения фигур и условное˝

уравнение дирекционных углов; 2 — условное уравнение сто˝рон (базисов); 3 — условные уравнения координат.

По значениям коэффициентов условных уравнений первой группы находят значения коэффициентов нормальных уравн˝ений

445

коррелат

[b1b1] = 3, [b1b2] = 0, …, [b1bN] = 0, [b1br] = ±1,

[b2b2] = 3, ..., [b2bN] = 0, [b2br] = ±1,

………………………………………………….

[bNbN] = 3, [bNbr] = ±1,

[brbr] = N.

Соответственно этому нормальные уравнения коррелат буд˝ут

Из этой системы уравнений исключают k1, k2, …, kN. В результате получают

2Nkα + 3wα ± w1 ± w2 ± … ± wN = 0,

где знак «плюс» перед wR ставят в случае, когда треугольник с но-

мером R лежит вправо от ходовой линии, знак «минус» — влево. Последнее уравнение можно записать в виде

446

а в промежуточные углы

Так как в выражениях первичных поправок первые члены оди-˝

наковые, то для удобства вычислений эти поправки делят со˝ответ-

ственно двум членам их выражений на две части и называют э˝ти части первыми и вторыми поправками.

Первые поправки в соответствии с выражениями (14.92) и (14.93) вычисляют по формуле

т. е. первые поправки получают, распределяя в каждом треуголь-

нике невязку с противоположным знаком, поровну на все угл˝ы треугольника. По исправленным первыми поправками промеж˝у-

точным углам вычисляют новый свободный член условного ур˝авнения дирекционных углов

Вторые поправки (вторые члены первичных поправок) опреде˝-

ляют по формулам:

′

= ± α

Эти формулы можно выразить в виде правила: вторые поправки в промежуточные углы получают путем распределения нов˝ой невязки за условие дирекционных углов по абсолютному зна˝че- нию поровну, причем в первые углы по ходовой линии со знако˝м, имеющимся у невязки, а в левые — с противоположным знаком˝; в связующие углы каждого треугольника вторые поправки вво˝дят равными половине поправки с обратным знаком для промежут˝оч-

ного угла этого треугольника. Первичная поправка равна су˝мме

первой и второй поправок для каждого угла.

Вторичные поправки находят из решения условного уравнен˝ия

сторон (базисов)

447

Так как уравнение (14.96) решают при условии (ÀR)² = – (BR)²,

Этому условному уравнению соответствует нормальное ура˝вне-

Последующие вычисления проводят так же, как для централь-˝

ной системы.

За оставшиеся два условных уравнения координат поправки˝ в углы не определяют. Чтобы устранить невязки wx è wy, их распределяют с противоположными знаками на приращения координ˝ат

сторон ходовой линии пропорционально длинам этих сторон˝.

Контрольные вопросы и задания

1. Изложите сущность уравнивания геодезических сетей. 2. Дай˝те определение понятию «уравнивание». 3. Каковы сущность и состав предвар˝ительных вычислений? 4. Как определить поправки за центрировку? 5. Как определ˝ить поправки за редукцию? 6. Объясните процесс приведения направлений к це˝нтрам пунктов и оценки точности угловых измерений. 7. Какова сущность окон˝чательных вычислений? 8. Расскажите о коррелатном способе уравнивания. 9. Ра˝сскажите о параметрическом способе уравнивания. 10. Каков процесс упрощен˝ного уравнивания центральной системы (условные уравнения: фигур, горизонт˝а, полюсное условное уравнение)? 11. Как упрощенно уравнять геодезический четыре˝хугольник (условные уравнения: фигуры, сумм углов противоположных треугол˝ьников, полюсное условное уравнение)? 12. Как упрощенно уравнять цепи треуго˝льников между двумя исходными пунктами (условные уравнения: фигур, дире˝кционных углов, координат)?

448

à ë à â à 15

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ПОЛИГОНОМЕТРИИ

∙

15.1. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПОЛЕВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ. ПОЛУЧЕНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ КООРДИНАТ ПУНКТОВ

После завершения полевых работ приступают к математиче-

ской обработке результатов полевых наблюдений для оценк˝и точности этих наблюдений, получения предварительных (раб˝о-

чих) и окончательных координат пунктов. Окончательные ко˝ординаты получают из уравнивания строгими способами, при эт˝ом

оценивают точность полевых измерений и полученных коорд˝и-

нат пунктов.

Предварительные координаты пунктов получают в результа˝те уравнивания нестрогими методами. До уравнительных вычис˝ле-

ний следует убедиться в отсутствии в результатах измерен˝ий грубых ошибок, а также в правильности предрасчета как углов, т˝ак и

линий, т. е. проверить качество полевого материала и соотв˝етствие

его точности данному классу. Для этого вычисляют невязки,˝ определяют их допустимость и выполняют оценку точности полев˝ых

измерений.

Угловую невязку хода, опирающегося на две твердые стороны˝, для левых углов вычисляют по формуле

fβ = [β] – [(αê – αí) + 180°(ï + 1)],

ãäå aí, aê — начальный и конечный опорные дирекционные углы; ï — число сторон хода.

Допустимую угловую невязку вычисляют по формуле

ãäå òβ — нормативная средняя квадратическая погрешность изме˝рения угла (для ОМС1 — 5², для ОМС2 — 10²).

Если невязка допустимая, то ее распределяют поровну на ка˝ж-

дый угол, вычисляя поправки

449

На основании угловых невязок вычисляют среднюю квадрати˝-

ческую погрешность измерения угла в полигонометрии по фо˝р- муле

ãäå N — число ходов, принятых для вычисления погрешности.

Для оценки точности линейных измерений в ходах вычисляют˝ невязки в приращениях координат fx, fy и линейную невязку fL ïî

формулам:

fx = [Dx] – (Xê – Õí); fó = [Dó] – (Yê – Yí);

=+

ãäå [ x], [ y] — суммы приращений координат; Õí, Yí è Õê, Yê — координаты на- чального и конечного исходных пунктов.

Среднюю квадратическую погрешность измерения стороны в˝ полигонометрической сети

é ù

=ë û

Линейную невязку хода сравнивают с предельной

ïðåä. fL = 2M,

ãäå Ì — средняя квадратическая погрешность положения конечн˝ой точки хода.

Величину Ì определяют по формулам: для изогнутого хода

450