Розділ 18. Чисельні методи розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

18.1. Визначник. Дії над матрицями. Обчислення оберненої матриці

Поняття визначника виникло у зв’язку з проблемою знаходження формул для невідомих в системі лінійних рівнянь. Розглянемо систему n рівнянь з n невідомими.

де a_ij – коефіцієнти системи;

i = 1, n – номер рівняння;

j = 1, n – номер невідомого.

Коефіцієнти системи являють собою квадратну матрицю порядку n та вміщують n² елементів.

Визначником (детермінантом) даної системи є число ∆.

, де a_ij – елементи визначника.

Визначник складається тільки з квадратної матриці.

Розглянемо властивості визначника n-го порядку.

1. Визначник не змінюється при транспонуванні матриці (обертання матриці навколо головної діагоналі).

2. Якщо у визначника всі елементи деякого рядка або стовпця дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

3. При перестановці двох рядків або стовпців визначник змінює знак на протилежний. Наприклад, при перестановці першого та другого рядків отримаємо:

4. Якщо визначник має два однакових рядки або стовпці, то він дорівнює нулю.

5. Загальний множник усіх елементів деякого рядка можна виносити за знак визначника:

6. Якщо усі елементи одного рядка (стовпця) пропорційні відповідним елементам другого рядка (стовпця), то визначник дорівнює нулю.

7. Якщо до елементів одного із рядків (стовпців) додати відповідні елементи другого рядка (стовпця) помножені на одне й теж число, відмінне від нуля, то визначник не змінюється.

Властивості визначника використовуються при елементарних перетвореннях для їх обчислення.

Є багато способів розрахунку визначника n-го порядку. Найоптимальнішим засобом є приведення матриці визначника до трикутного виду (з нижнім або верхнім розташуванням нульових елементів). У цьому випадку визначник дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.

Авторами запропоновано універсальну функцію розрахунку визначника n-го порядку, фрагмент якої приведено нижче.

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

# define delta 0.00000001

// ФУНКЦІЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ВИЗНАЧНИКА ПОРЯДКУ N

//Перетворення нижнього трикутника визначника в 0

double mopred(double*k, int n)

{

int i,j,xx,r,kol_el;

double p,t,vv;

kol_el = n*n;

double*kk = new double[kol_el];

//Перезапис елементів масиву

for(i=0;i<kol_el;i++)

kk[i] = k[i];

for(i=n-1;i>=0;i--)

for(j=0;j<i;j++)

{

if (fabs(kk[i*n+j+1])<delta)

{

// Перестановка стовпців якщо елемент

// праворуч нульовий

for(xx=0;xx<=i;xx++)

{

vv = kk[xx*n+j];

kk[xx*n+j]=kk[xx*n+j+1];

kk[xx*n+j+1] = -vv;

}

continue;

}//endif

//Якщо поточний елемент нульовий або отримався

//завдяки перестановці стовпців,

//переходимо до наступного елемента

if (fabs(kk[i*n+j])<delta)continue;

//знаходимо результат від ділення двох сусідніх

.. //ненульових елементів

t = kk[i*n+j]/kk[i*n+j+1];

//перетворюємо поточний елемент в 0 –

//використовуючи властивості визначника

//множимо поточний стовпчик на число(результат

//від ділення) та додаємо наступний стовпчик.

//при цьому визначник не змінюється

for(r=0;r<=i;r++)

kk[r*n+j]=kk[r*n+j]-kk[r*n+j+1]*t;

}

p = 1;

for(i=0;i<n;i++)

p*=kk[i*n+i];

delete[]kk;

return p;

}

У даній функції mopred() відбувається перевірка нижнього трикутника матриці. Йде перевірка елементів по кожному рядку, починаючи з останнього. Алгоритм побудований наступним чином:

1. Якщо нульові елементи вже мають місце, вони будуть здвигатися вліво (за рахунок перестановки стовпців матриці).

2. Перераховуються тільки відмінні від нуля сусідні елементи, таким чином, щоб елемент, з яким іде робота, у результаті арифметичних перетворень дорівнював би нулю (використовуючи сьому властивість визначника).

Таким чином, якщо нульові елементи будуть знаходитись на головній діагоналі, або просто мати місце, їх буде здвинуто вліво, крім того стовпець матриці буде перераховуватись таким чином, щоб елемент, з яким відбувається робота, дорівнював би нулю. Для того щоб не псувати вхідні данні (матриця k), все записується у матрицю kk.

Увага! Для універсальності роботи функцій (передача довільних параметрів) всі матриці представлені у вигляді масивів. Так у кожну функцію передається вказівка на одномірний масив.

Продемонструємо роботу функції на конкретному прикладі (фрагмент програми).

…………………………………………………………………….

void main()

{

double k[9]={

1, 0, 8,

2, 5, 9,

3, 6, 0

};

cout<<"\nopred="<<mopred(k, 3);

}

…………………………………………………………………….

У результаті виконання програми визначник матриці буде дорівнювати -78.

opred = -78

Лінійні дії над матрицями. Множення матриць. Обернена матриця.

Під лінійними діями розуміють додавання і віднімання матриць, множення матриць на скаляр (const). Операція + (–) визначається тільки для матриць однакових розмірів. Сумою (різницею) двох матриць A і B розміром m_xn називається матриця C такого ж розміру у якій елементи обчислюються за формулою . НаприкладC = A – B, де

Нульова матриця при + (–) матриць виконує роль звичайного нуля при + (–) чисел. .

Добутком матриці A на λ (λ = const) називається матриця B, яка отримується з даної помноженням усіх її елементів на скаляр λ.

Помноження матриць відбувається тільки тоді, коли матриця A погоджена з матрицею B (кількість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B).

Тільки квадратні матриці одного порядку є взаємопогоджені. Правило погодження матриць називається правило "рядок на стовбець". Якщо для матриць A і B знайдені добутки A*B і B*A то це не значить, що A*B = B*A. При помноженні квадратної матриці на нульову матрицю отримують нульову матрицю.

Якщо A і B квадратні матриці одного порядку з визначниками |A| і |B|, то для матриці C = A*B, її визначник |C| = |A*B| = |A| * |B|.

Розглянемо квадратну матрицю n-го порядку. Квадратна матриця A^-1 називається оберненою для квадратної матриці A того ж порядку, якщо виконується рівність .

Для того, щоб квадратна матриця A мала обернену, необхідно і достатньо щоб матриця A була невиродженою, тобто щоб її визначник був відмінний від нуля. .

Формула оберненою матриці.

,

де матриця B – транспонована матриця A, у якій елементи замінені алгебраїчними доповненнями.

Необхідною перевіркою правильності знаходження оберненої матриці є рівність .

З точки зору обчислення оберненої матриці – обчислення за допомогою приведеної формули є неоптимальним варіантом, так як при цьому необхідно обчислити n² алгебраїчних доповнень (визначників порядку n-1), а це займає досить багато часу. Одним з самих швидких методів обчислення оберненої матриці є метод Жордана-Гауса, який зводиться до вирішення системи лінійних рівнянь.

Позначимо елементи оберненої матриці через α_lm. Тоді співвідношення AA^-1 = E можна записати так:

.

Якщо розглядати l-й стовпець оберненої матриці як вектор, то він є вирішенням лінійної системи з матрицею A і спеціальною правою частиною (у якій на l-м місці знаходиться одиниця, а на останніх – нулі).

Таким чином, для обернення матриці треба розв’язати n систем лінійних рівнянь з однаковою матрицею A і різними правими частинами. Приведення матриці A до трикутної форми робиться при цьому тільки один раз.

Цікаво відзначити, що обернення матриці зводиться до вирішення n систем лінійних рівнянь, і вимагає лише втричі більше дій ніж вирішення однієї системи рівнянь. Це пояснюється тим, що при вирішенні лінійної системи велика частина обчислень пов'язана з приведенням матриці до трикутного виду, що при оберненні матриці робиться тільки один раз. Зворотний хід і перетворення правих частин виконуються набагато швидше. Тому, якщо потрібно кілька разів розв’язати лінійну систему з однією і тією ж матрицею, то вигідно привести матрицю до трикутної форми лише один раз.

Наведемо код функцій множення матриць та оберненої матриці методом Жордана-Гауса.

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

# define delta 0.00000001

// Ф-я множення 2-х матриць

// Вход:

/*

m1 – масив-шнурок представлення 1-ї матриці розмірності m*n

m2 – масив шнурок представлення 2-ї матриці розмірності n*l

Обов’язкова умова 2-х вхідних матриць (кількість стовбців 1-ї = кількості рядків 2-ї)

m, n, l – розмірності відповідних матриць

*/

// Вихід m3 – отримана матриця (у вигляді масиву)

// розмірністю m*l елементів

void mumnog(double*m1, double*m2,

int m, int n, int l, double*m3)

{

int i,j,k;

for(i=0;i<m;i++)

for(j=0;j<l;j++)

{

m3[i*l+j] = 0;

for(k=0;k<n;k++)

m3[i*l+j]+=m1[i*n+k]*m2[k*l+j];

}

}

/*

Ф-я знаходження оберненої матриці порядку n методом Гаусса

k - масив входу (матриця A)

bb - масив виходу (матриця A^-1)

*/

bool mObr_Gauss(double*k,double*bb,int n)

{

int i,j,tt,xx,r,kol_el;

double t,vv;

kol_el = n*n;

//Якщо визначник 0 - оберненої матриці не існує.

if(fabs(mopred(k,n))<delta)return false;

double*aa = new double[kol_el];

double*kk = new double[kol_el];

//Перегонка масивів

for(i=0;i<kol_el;i++)

{

aa[i] = 0;

kk[i] = k[i];

}

//Заповнення 1 по головній діагоналі –

//aa - одинична матриця

for(i=0;i<n;i++)aa[i*n+i]=1;

//Приведення нижнього трикутника до нульових

//коефіцієнтів (методом Гауса)

//Маніпуляції виконуються як з поточною,

//так і з одиничною матрицею

for(j=0;j<n;j++)

for(i=n-1;i>j;i--)

{

if (fabs(kk[(i-1)*n+j])<delta)

{

for(xx=j;xx<n;xx++)

{

vv = kk[i*n+xx];

kk[i*n+xx]=kk[(i-1)*n+xx];

kk[(i-1)*n+xx] = vv;

}

for(tt=0;tt<n;tt++)

{

vv = aa[i+tt*n];

aa[i+tt*n] = aa[i+tt*n-1];

aa[i+tt*n-1] = vv;

}

continue;

}//endif

if (fabs(kk[i*n+j])<delta)continue;

t = kk[i*n+j]/kk[(i-1)*n+j];

for(r=j;r<=n;r++)

kk[i*n+r]=kk[i*n+r]-kk[(i-1)*n+r]*t;

for(tt=0;tt<n;tt++)

aa[i+tt*n]=aa[i+tt*n]-aa[i+tt*n-1]*t;

}

//Для кожного стовбця зміненої одиничної матриці

//знаходиться розв’язок

//Таким чином отримуємо обернену матрицю,

//тобто коли A->E, E->A^(-1)

for (i=n-1;i>=0;i--)

{

for (j=n-1;j>i;j--)

for(tt=0;tt<n;tt++)

aa[i+tt*n]-=kk[i*n+j]*aa[j+tt*n];

for(tt=0;tt<n;tt++)

aa[i+tt*n]/=kk[i*n+i];

}

//Запис вихідного масиву(транспонований вид)

for(i=0;i<kol_el;i++)bb[i] = aa[(i%n)*n + i/n];

delete[]aa;

delete[]kk;

return true;

}

Широкого поширення набули прямі чисельні методи розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь: оберненої матриці, Крамера, Гауса. Розв’яжемо систему лінійних рівнянь:

кожним з цих методів.