Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1313 вуза, 5306 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный экономический университет им. В. Гетьмана
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

.pdf
Скачиваний:
114
Добавлен:
07.03.2016
Размер:
5.29 Mб
Скачать
☆

Розв’язання. Нехай M r; — довільна точка кола. Оскільки точка

М може займати на колі будь-яке положення, то ρ і φ є змінними величинами. Як і у випадку декартової системи, їх називають поточними, або змінними координатами. Трикутник OMA побудовано на діаметрі кола, тому він прямокутний. За умовою діаметр кола ОА = 2а. З OMA

знаходимо OM OAcos . Отже, рівняння кола має вигляд r 2a cos .

Приклад 4. У полярній системі координат скласти рівняння кола, що має центр C 0 ; 0 і радіус r (рис. 2.6).

Розв’язання. Позначимо буквою М довільну точку кола, нехай ρ і φ

— її полярні координати.

Усі точки кола віддалені від центра на відстань r. Запишемо цю умову символічно:

СМ = r.

(2.12)

Виразимо СМ через координати точки М. За теоремою косинусів маємо:

CM 2 02 2 0 cos 0 .

Підставивши здобутий вираз у рівність (2.12), знайдемо рівняння, що пов’язує координати ρ, φ точки М:

2 0

2 2 0 cos 0 r.

(2.13)

Це і є рівняння даного кола.

Справді, для кожної точки М, що лежить на даному колі, виконується умова (2.12) і, отже, координати точки М задовольняють рівняння (2.13); для кожної точки М, що не лежить на даному колі, умова (2.12) не виконується і, отже, її координати не задовольняють рівняння (2.13).

Таким чином, задачу розв’язано. Можна лише трохи спростити знайдене рівняння і подати його у виді, вільному від радикала:

2 2 0 cos 0 r2 02 .

3.Пряма лінія

3.1.Різні види рівняння прямої. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих

384

Розглянемо деяку пряму на площині (рис. 3.1). Кутом нахилу прямої до осі Ox називається кут, що відлічується проти руху стрілки годинника від додатного напряму осі до даної прямої. Кутовим коефіцієнтом прямої називається тангенс кута нахилу прямої до осі Ox:

k tg .

(3.1)

Кутовий коефіцієнтом прямої характеризує напрям прямої. Якщо k > 0, то пряма утворює з віссю Ox гострий кут, якщо k < 0 — тупий кут. При k = 0 пряма паралельна осі Ox. Для прямої, паралельної осі ординат, кутовий коефіцієнт не існує.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд

y = kx + b,

(3.2)

тут b — довжина відрізка, який відтинає пряма на осі ординат (рис. 3.1). У вигляді (3.2) можна записати рівняння кожної прямої, не паралельної осіOx. Якщопрямапаралельнаосі Ox (рис. 3.1), тоїїрівняннямаєвигляд

x = a.

(3.3)

Рівняння прямої, яка проходить через точку M1(x1; y1) (рис. 3.2), має вигляд

y – y1 = k(x – x1).

(3.4)

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рівняння прямої, яка проходить через дві точки M1(x1; y1) та M2(x2; y2) (рис. 3.3) має вигляд

y y1

 

x x1

.

(3.5)

 

 

y

2

y

 

x

2

x

 

 

1

 

 

1

 

 

Кутовий коефіцієнт цієї прямої

k

y2

y1

.

(3.6)

 

 

 

x

2

x

 

 

 

1

 

 

385

Рис. 3.3

Рівняння

 

 

 

 

 

x

 

y

1

(3.7)

 

a

b

 

 

 

 

називається рівнянням прямої у відрізках на осях. Тут a та b — відрізки, які відтинає пряма на осях координат (рис. 3.4).

Рис. 3.4

 

Загальним рівнянням прямої називається рівняння

 

Ax + By + C = 0.

(3.8)

Коефіцієнти А та В загального рівняння прямої дорівнюють координатам вектора n A; B , перпендикулярного до прямої (рис. 3.5).

386

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Кутом між прямими називається кут, який відлічується проти руху стрілки годинника від першої прямої до другої (рис. 3.6). Кут між пря-

мими y k1x b1 та y k2 x b2 обчислюється за формулою

 

tg

k2 k1

.

 

 

(3.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

1 k k

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Умовою паралельності прямих є рівність їхніх кутових коефіцієнтів:

 

 

k1 = k2.

 

 

 

 

 

(3.10)

Умовою перпендикулярності прямих є співвідношення

 

 

 

k1k2 = –1.

 

 

(3.11)

Якщо прямі задано загальними рівняннями A1x B1 y C1

0 та

A2 x B2 y C2 0 , то кут між ними обчислюється за формулою

 

cos

 

A1 A2 B1B2

(3.12)

 

 

 

 

 

,

A 2 B 2

A 2

B 2

 

1

1

 

 

2

2

 

 

умова паралельності має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

B1

,

 

 

 

(3.13)

 

 

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

умова перпендикулярності має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

A1 A2 B1B2 0.

(3.14)

Приклад 1. Скласти рівняння сторін та діагоналей трапеції з верши-

нами A(–4; 0), B(0; 6), C(3; 6) та D(3; 0) (рис. 3.7).

387

Рис. 3.7

Розв’язання. Рівняння сторони AB запишемо у вигляді рівняння прямої у відрізках (3.7) ax by 1 . Пряма AB відтинає на координатних

осях відрізки a = –4 та b = 6, тому її рівняння x4 6y 1 .

Рівняння сторони BC запишемо у вигляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (3.2) y = kx + b. Пряма BC паралельна осі Ox, тому її кутовий коефіцієнт k = 0. Пряма BC відтинає на осі Oy відрізок b = 6. Отже, рівняння прямої BC має вигляд y = 6.

Пряма CD паралельна осі Oy, тому її рівняння має вигляд (3.3) x = a. Сторона CD відтинає на осі Ox відрізок a = 3, отже, її рівняння x = 3.

Пряма AD має кутовий коефіцієнт k = 0 і проходить через початок координат, тому її рівняння має вигляд y = 0.

Діагональ BD відтинає на координатних осях відрізки a = 3 та b = 6,

тому за формулою (3.7) її рівняння

 

 

x

 

y

1 .

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння діагоналі AC шукаємо у вигляді (3.5) рівняння прямої, що

проходить через дві дані точки

 

y y1

 

 

x x1

. Підставляючи сюди

 

 

 

 

y

2

y

 

x

2

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

координати точок A(–4; 0) та C(3; 6), дістаємо

y 0

 

x 4

. Звідси ма-

6 0

 

ємо рівняння прямої AC 6x 7 y 24 0 .

 

 

 

 

 

3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 2. Визначити кутовий коефіцієнт прямої 5x + 4y – 2 = 0.

Розв’язання. Запишемо рівняння даної прямої у вигляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (3.2):

388

y 54 x 12 .

Звідси випливає, що кутовий коефіцієнт даної прямої k 54 .

Приклад 3. Дано пряму 5x – y + 10 = 0. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M(7; –2):

1)паралельно даній прямій;

2)перпендикулярно до даної прямої.

Розв’язання. Кутовий коефіцієнт даної прямої k = 5.

Кутовий коефіцієнт прямої, що паралельна даній прямій, за умовою (3.10) також дорівнює 5. Таким чином, узявши в рівнянні (3.4)

y – y1 = k(x–x1)

k = 5, x1 = 7, y1 = –2, дістанемо y + 2 = 5(x – 7), або 5x – y – 37 = 0. Це і є рівняння прямої, яка проходить через точку M(7; –2) паралельно даній прямій.

З умови перпендикулярності прямих (3.11) k1k2 = –1 випливає, що кутовий коефіцієнт прямої, перпендикулярної до даної прямої, k2 15 . Підставляючи знайдене значення k та координати точки М в рівняння (3.4), дістаємо y 2 15 x 7 , або після очевидних спрощень x + 5y + 3 = 0.

Приклад 4. Дано трикутник з вершинами A(–3; 1), B(1; 7) та C(5; –1). Скласти рівняння сторони AC, медіани AE, висоти BD та обчислити кут α між медіаною AE та висотою BD (рис. 3.8).

389

Рис. 3.8

Розв’язання. Складемо рівняння сторони AC, підставивши коорди-

нати точок A(–3; 1) та C(5; –1) в рівняння (3.5). Дістаємо:

y 1

 

 

 

x 3

,

1 1

 

 

 

 

y 1

 

x 3

 

 

 

5 3

звідси

 

, або остаточно

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

x + 4y – 1 = 0.

 

 

 

(3.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обчислимо координати точки D за формулами координат середини

відрізка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xE 1 5

3, yE 7 1 3 . Підставляючи в рівняння (3.5) координати

2

 

 

2

 

y 1

 

 

x 3

 

точок A(–3; 1) та E(3; 3), знаходимо рівняння медіани AE:

 

 

,

 

3 1

 

 

 

y 1

 

x 3

 

 

 

 

 

3 3

або

 

, звідси остаточно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x – 3y + 6 = 0.

 

 

 

(3.16)

Висота BD перпендикулярна до сторони AC, кутовий коефіцієнт

якої знайдемо з рівняння (3.15):

kAC

1

. Тому кутовий коефіцієнт ви-

 

1

 

 

4

 

соти BD kBD

4 . Підставимо знайдене значення kBD та координа-

kAC

ти точки В в рівняння (3.4) і дістанемо рівняння висоти BD: y – 7 = 4(x – 1),

або 4x – y + 3 = 0.

З рівняння (3.16) визначимо кутовий коефіцієнт медіани AE: kAE 13 .

Кут між медіаною та висотою обчислимо за формулою (3.9), в якій k1 kAE 13 , k2 kBD 4 .

 

4

1

 

11

11

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, звідси arctg 7

 

Тоді tg

1

 

 

7

 

 

57 32 .

1

3

4

 

 

 

 

 

Приклад 5. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А(4; 2) і утворює з віссю Ох кут 135 (рис. 3.9).

390

Розв’язання. За формулою (3.1) обчислюємо кутовий коефіцієнт прямої: k tg135 1 . Підставимо знайдене значення k та координати точ-

ки A(4; 2) в рівняння (3.4) і дістанемо: y – 2 = –(x – 4), або x + y – 6 = 0.

Рис. 3.9

Рис. 3.10

Приклад 6. Скласти рівняння прямих, які проходить через точку A(3; 1) і утворюють з прямою 2x + y – 2 = 0 кут 45 (рис. 3.10).

Розв’язання. Пряма 2x + y – 2 = 0 має кутовий коефіцієнт k = –2. Кутовий коефіцієнт однієї з шуканих прямих знайдемо з формули (3.9) кута між прямими, якщо візьмемо в ній k1 = k = –2, α = 45:

 

 

tg45

k2 2

 

, або 1

k2 2

.

 

 

1 2k2

 

 

 

 

 

1 2k2

Звідси 1 2k2 k2 2

і k2 1

. Таким чином, рівняння одної з пря-

мих буде таке: y 1 1

 

3

 

 

 

x 3 або x 3y 6 0 .

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Другий розв’язок дістанемо, якщо у формулі кута між прямими (3.9)

візьмемо k

2

k 2, 45

та обчислимо k :

 

 

 

 

 

1

 

1 2 k1 .

1 2k1

Звідси k1 3 імаємодругийрозв’язок: y 1 3 x 3 , або3х– у– 8 = 0. Слід зауважити, що кожна зі знайдених прямих утворює з даною в

умові прямою кут 45 , тому ці прямі взаємно перпендикулярні і після того, як знайдено кутовий коефіцієнт однієї з них k2 13 , кутовий

391

коефіцієнт другої

можна знайти

з умови перпендикулярності

k

1

3.

 

 

 

 

 

1

k2

 

 

 

 

 

Приклад 7. Дано

рівняння двох

сторін прямокутника x 2 y 0,

x 2 y 15 0 та рівняння одної з його діагоналей 7x y 15 0. Знайти вершини прямокутника (рис. 3.11).

Рис. 3.11

Розв’язання. В умові задачі задано рівняння двох паралельних сторін прямокутника, оскільки для цих прямих виконується умова паралельності (3.13).

Знайдемо координати двох протилежних вершин прямокутника, розміщених на перетині паралельних сторін та діагоналі. Для цього розв’яжемо дві системи рівнянь:

x 2 y 0,

 

x 2 y,

 

x 2,

 

0;

 

0;

 

7x y 15

14 y y 15

y 1;

x 2 y 15 0,

y 8x,

 

x 1,

 

0;

 

0;

 

7x y 15

7x 8x 15

y 8.

 

 

 

 

 

Таким чином, маємо координати двох вершин прямокутника A 2;1 ,

C 1;8 .

Кутові коефіцієнти заданих в умові сторін AD та BC k1 12 . Тому

кутові коефіцієнти перпендикулярних до них сторін AB та CD k2 2 . Складемо рівняння сторони AB: y 1 2(x 2), або 2x y 5 0.

392

Складемо рівняння сторони CD: y 8 2 x 1 , або 2x y 10 0. Вершини В та С знайдемо, розв’язавши дві системи рівнянь:

x 2 y 15 0,

x 2 y 15,

 

x 1,

 

 

 

y

5 0;

 

2x y 5 0;

4 y 30

y 7;

x 2 y 0,

 

x 2 y,

 

 

x 4,

 

0;

 

 

0;

 

2x y 10

4 y y 10

y 2.

 

 

 

 

 

 

Отже, знайдено координати ще двох вершин прямокутника B 1;7

та D 4; 2 .

Приклад 8. Точка A 1; 4 є вершиною квадрата, діагональ якого лежить на прямій 7x y 14 0 . Скласти рівняння сторін та другої діагоналі цього квадрата (рис. 3.12.).

Розв’язання. Кутовий коефіцієнт прямої 7х – у – 14 = 0 дорівнює k 7 . Сторони AB та AD лежать на прямих, що проходять через точку A(–1; 4) під кутом 45 до прямої 7x y 14 0. Знайдемо кутовий коефіцієнт k1

прямої AB. Для цього підставимо у формулу (3.9) значення кута між пря-

мими

45 ,

k

2

k 7. Дістанемо 1

 

 

7 k1

,

звідси 7 k

1 7k і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

7k1

1

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

k

. СкладеморівнянняпрямоїAB: y

4

 

3

x 1 , або 3 х– 4 у+ 19 = 0.

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сторона AD перпендикулярна до прямої AB, тому її кутовий коефі-

цієнт kAD 43 . Складемо рівняння прямої AD: y 4 43 x 1 , звід-

ки 4x 3y 8 0.

393

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности