bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

Нульовий вектор — вектор, модуль якого дорівнює нулю, позначається: a 0 . Для кожного вектора a маємо: a 0 a . Нульовим вектором є точка, напрям його невизначений.

a 1 (рис. 1.3). Вираз вектора через його модуль і орт: а аа .

1.3. Додавання векторів

Додавання векторів визначається за правилом паралелограма або многокутника (рис. 1.4).

Сумавекторівзамкненогомногокутника: a1 a2 ... an 0 (рис.1.5).

325

1.4. Закони додавання векторів

Закони додавання векторів:

1)a b b a — переставний;

2)a b c a b c — сполучний.

Протилежні вектори. Два вектора a іb називаються взаємно протилежними, якщо вони мають рівні модулі a b і напрямлені про-

тилежно a b .

Вектор, протилежний вектору a позначається a .

Із a AB a BA . Сума протилежних векторів a a 0 . Віднімання векторів a іb (різниця векторів позначається: a b ) —

обернена операція щодо додавання векторів: a b a b (рис. 1.7).

Рис. 1.7.

1.5. Множення вектора на скаляр

Множення вектора на скаляр. Добуток вектора a і скаляра λ (позначається λa ) є вектор, який має такі властивості:

1)а a а ;

2)якщо 0, то a a ; якщо 0, то a a

3)якщо a 0, то a 0 ; якщо 0, то 0a 0 .

Закони множення вектора на скаляр:

1)a a — переставний;

2)a а — сполучний;

3)а b а b — розподільний.

а а а

326

1.6. Лінійна комбінація векторів

Лінійна комбінація векторів. Якщо з векторами a1 , a2 , ..., an вико-

нуються операції додавання, віднімання і множення на скаляр, то вектор 1a1 2 a2 n an називається лінійною комбінацією заданих

векторів. Операції додавання, віднімання і множення на скаляр назива-

ються лінійними операціями.

Лінійні залежності між векторами. Вектори a1 , a2 , ..., an назива-

ються лінійно залежними (незалежними), якщо їхня лінійна комбінація є

нуль-вектор 1a1 2 a2 n an 0 і хоча б одне з чисел λ1, л2, ..., лn, не дорівнює нулю.

1.7. Колінеарні вектори

Колінеарні вектори. Вектори називаються колінеарними, якщо вони паралельні між собою, однаково або протилежно напрямлені.

Колінеарні векториa b c || l , і тільки колінеарні, належать одній прямій l зі спільним на ній початком O.

Нехай лінійна комбінація 1 a1 2 a2 0, 2 0.

Звідси a2 1 a1, тобто вектор a2 колінеарний вектору a1 .

2

Отже, два лінійно залежні вектори колінеарні. Якщо вектори a1 i a2

лінійнонезалежні, толінійнакомбінація 1 a1 2 a2 0 при 1 0 i 2 0 .

1.8. Компланарні вектори

Компланарні вектори. Вектори, паралельні одній площини, назива-

ються компланарними.

Компланарні вектори зі спільним початком належать одній і тій самій площині (рис.1.8).

327

Нехай три вектори a, b, c — компланарні (рис. 1.9). Тоді OA1 a,

тобто три компланарні вектори лінійно залежні, і навпаки: три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Якщо некомпланарні орти ( e1 , e2 , e3 ) взаємно ортогональні, то вони утворюють ортогональний базис (i, j, k) векторного простору:

На площині ортогональна система координат визначається базисом

( cos , cos , cos ) називаються напрямними косинусами вектора r . У цих

328

Отже, cos2 cos2 cos2 1.

1.9. Лінійні операції з векторами в координатній формі

1. Алгебраїчне додавання (сума і різниця векторів). Нехай a x1, y1, z1 і b x2 , y2 , z2 . Тоді

a b x1 i y1 j z1 k x2 i y2 j z2 kx1 x2 i y1 y2 j z1 z2 k,

2.Множення вектора a x, y, z на скаляр : a x, y, z .

3.Визначення вектора a за його початком і кінцем.

Рис. 1.11

Нехай (рис. 1.11) r1 x1, y1, z1 , r2 x2 , y2 , z2 . Тоді

329

4. Модуль вектора a з початком в точці (x1, y1, z1 ) і кінцем в точці (x2 , y2 , z2 ) визначається як відстань між цими точками:

а його напрямні косинуси такі:

cos x2 x1 , cos y2 y1 , cos z2 z1 .

1.10. Поділ відрізка в заданому відношенні

Знайти точку М(х, у), яка лежить між точками М1(х1, у1) і М2(х2, у2) або поза ними на прямій М1М2 і поділяє відрізок M1M у відношенні

M1M (рис. 1.12).

MM2

М1 r2 r1 r

0

у

x

Рис. 12.

Якщо M1M MM 2 , то 0 (точка М поділяє внутрішньо відрізок М1М2).

Якщо M1M MM 2 то 0 (точка М поділяє зовнішньо відрізок

М1М2).

З рівностей r r1 r2 r і r r1 r r2 знаходимо

330

ТодіЗокрема, якщо λ = 1, то точка М(х,у,z) — середина відрізка М1М2.

З відношення М1М : ММ2 = л випливає, що, коли довільна точка М переміщується від М1 до М2, то λ [0, ); якщо вона переміщується в

напрямі M1M 2 (M 2 M1 ) поза точкою М2(М1), то , 1 1,0

(рис. 1.13). Отже, , 1 1,0 0, .

Рис. 1.13.

ЗАДАЧІ

1. Знайти модуль вектора a 8, 12,9 , його проекції на координатні площини і напрямні косинуси.

Розв’язання. Модуль вектора a 82 122 81 17 . Проекції вектора a на координатні площини:

осі змінився так, що всі напрямні кути змінилися на однакову величину. Знайти цю величину.

331

Розв’язання. Із формули

cos 2 cos 2 cos 2 1

cos 2 60 cos 2 60 cos 2 45 1.

Очевидно, одним розв’язком є 180 . Виконаємо перетворення:

відповідно дістаємо:

69 54 і 249 54 .

2.СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ДВОХ ВЕКТОРІВ

2.1. Означення. Закони скалярного добутку

Кут між двома векторами a i b і спільним початком О познача-

a або b нульовий, то кут між ними невизначений.

Означення. Скалярним добутком векторів a і b (позначається a b )

називається число (скаляр), що дорівнює добуткові модулів цих векторів на косинус кута між ними:

a b abcos .

332

a b ab a b; a b 0 a b; a b ab a b.

Вираз скалярного добутку через добуток модуля одного вектора на проекцію другого вектора на цей вектор (див. рисунок):

a b aba bab .

b

О

Закони скалярного добутку:

1)a b b a — переставний;

2)a b c a b a c — розподільний;

3)a b a b — сполучний відносно скалярного множника.

Кут між векторами a i b визначається з рівності cos a, b aabb . Таблиця скалярного добутку ортів:

333

2.2. Вираз скалярного добутку через координати

Нехай a x1, y1, z1 i b x2 , y2 , z2 . Тоді

a b x1i y1 j z1 k x2 i y2 j z2 k .

За таблицею скалярного добутку ортів і сполучним законом відносно скалярних множників маємо:

a b x1x2 y1 y2 z1z2.

334