bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki
.pdfA 4B 9;
3A 3B 4C 17;
5A 3C 10;
A 1;B 2;C 5.
Остаточно заданий інтеграл набирає вигляду:
I 2x 3 4x1 3 x22x3x5 5 dx .
Окремо зінтегруємо останній доданок. Застосуємо при цьому загальну схему інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен. Послідовність дій: 1) виділяємо повний квадрат у знаменнику; 2) вводимо як нову змінну вираз, що підноситься до квадрата; 3) розкладаємо дріб на суму за доданками в чисельнику; 4) інтегруємо кожний доданок окремо; 5) повертаємось до початкової змінної:
I |
|
2x 5 |
dx |
|
|
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||
x2 3x 5 |
x |
2 |
|
2 |
|
3 |
x |
9 |
5 |
|
|
9 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
11 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
t x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2t 3 5 |
dx |
|
|
2tdt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ln |
t 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x t |
|
3 |
; dx dt |
|
|
|
t 2 |
11 |
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
arctg |
|
2t |
C ln |
|
x2 |
3x 5 |
|
|
4 11 |
arctg |
2x 3 |
11 |
C. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначений інтеграл
Якщо відрізок [a, b] розбити на n частин вигляду [xk 1, xk ] , |
||
де a x0 x1 ... xn 1 |
xn b і в кожній частині взяти довільну |
|
точку k [xk 1, xk ] , |
то вираз |
n |
Sn f k xk xk 1 є інтегра- |
||
льною сумою функції f x , |
k 1 |
|
що відповідає цьому розбиттю |
287
відрізка.
Визначеним інтегралом функції f x на відрізку [a, b] на-
зивається границя, до якої прямують значення інтегральних
сум Sn за умови, що n , а max xk 0 , де
k
xk xk xk 1 :
b |
f x |
dx lim Sn |
n |
f k |
xk xk 1 . |
|
lim |
||||
a |
|
n |
n k 1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
Числа a та b називаються нижньою та верхньою межами інтегрування.
Для практичного знаходження визначених інтегралів застосовують формулу Ньютона–Лейбніца.
288
Теорема Ньютона–Лейбніца. Якщо функція рвна на відрізку [a, b] і F x — деяка довільна її значення визначеного інтеграла на відрізку [a, b] f x обчислюється за формулою:
b |
f x dx F x |
|
b |
F b F a . |
|
||||
|
|
a |
||
a |
|
|
|
f x неперепервісна, то від функції
Для визначеного інтеграла іноді доцільно виконати підставлення.
Теорема. Нехай функція |
f x неперервна на відрізку [a, b] , |
||
функції x та |
x визначені й неперервні на |
[ , ] і |
|
|
|
|
|
t [a, b] при t [ , ] . Тоді якщо a, b , то |
|
||
|
b |
|
|
|
f x dx f t t dt . |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
Ця формула називається формулою заміни змінної у визна-
ченому інтегралі, або інтегрування підставленням.
Необхідно пам’ятати, що при виконанні підставлення для визначеного інтеграла необхідно змінювати значення меж інтегрування.
Інтегрування частинами для визначеного інтеграла
Якщо функція U x і V x неперервно диференційовні на
[a, b] , то
bb
UdV UV ba VdU .
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
Задача 6.6. Обчислити |
визначений |
інтеграл |
xm f px q dx , |
|||||
якщо |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
а |
b |
|
f u |
|
m |
p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
log2u |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
289
Підставивши значення параметрів у загальну формулу, дістанемо:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U log2 2x 3 |
dU |
|
|
|
|
|
2dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x log2 2x 3 dx |
|
|
|
|
2x |
3 ln 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
V x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 log2 2x 3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
x2 |
|
dx |
x2 log2 2x 3 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
1 |
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 log2 2x |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
4x2 9 9 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4ln 2 |
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
x2 log2 |
2x 3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4ln 2 |
|
2x 3 |
|
2x 3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
22 log |
2 |
2 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 3x |
|
|
|
|
ln |
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4ln 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
12 log |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
3 |
2 |
|
2 |
ln 2 2 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
4ln 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 7 ln 7 5ln 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
3 1 |
|
|
|
|
ln 2 |
1 3 |
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4ln 2 |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Невластиві інтеграли
Невластивий інтеграл на необмеженому проміжку інтегрування — це границя, до якої прямує значення визначеного інтеграла при необмеженому збільшенні границі інтегрування:
|
f x dx lim |
|
f x dx lim F F a . |
|
|
||
a |
a |
|
Якщо остання границя не існує, то невластивий інтеграл називають розбіжним.
290
Задача 6.7. Обчислити невластивий інтеграл або довести його розбіжність:
f px q |
dx , якщо |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
m |
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Варіант |
а |
f u |
m |
p |
q |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
1 |
log6 u |
2 |
5 |
7 |
Підставляємо значення параметрів із таблиці в загальну формулу, маємо:
|
log6 5x 7 |
log6 |
5x 7 |
dx . |
||||
I0 |
|
|
|
dx lim |
|
|
|
|
x2 |
|
x2 |
||||||
|
1 |
1 |
|
Знайдемо спочатку первісну підінтегральної функції.
|
|
|
|
|
|
|
|
U log6 5x 7 |
dU |
5dx |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
log6 |
5x 7 |
dx |
|
5x 7 ln 6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 |
|
|
dV dx |
V |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
log6 5x 7 |
|
|
|
|
x2 |
|
x |
|
|
||||
|
|
|
5 |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
ln 6 |
x 5x 7 |
|
|
|
|
Для визначення другого інтеграла необхідно розкласти раціональний вираз під знаком інтеграла на суму елементарних дробів:
1 |
|
|
A |
|
B |
|
A 5x 7 Bx |
; |
1 A 5x 7 Bx. |
x 5x 7 |
|
5x 7 |
x 5x 7 |
||||||
|
x |
|
|
|
Підставляючи в останню тотожність значення x 0 , знаходимо A 17 , потім знаходимо B 75 . Таким чином, невизначений інтеграл дорівнює
|
|
log |
|
5x |
7 |
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
||||||
I1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
ln 6 |
|
7x |
|
|
7 5x 7 |
||||||||||
log6 5x 7 |
|
5ln |
|
x |
|
|
|
|
5ln |
|
5x 7 |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7 ln 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
7 ln 6 |
|
291
Повернемося до невластивого інтеграла:
|
|
|
|
|
log6 5x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log6 5x 7 |
|
|
|
|
5 ln |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I |
0 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ln 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5 ln |
|
5x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log6 5 7 |
|
|
|
|
|
5 ln |
|
|
|
|
|
|
|
5 ln |
|
5 7 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 ln 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ln 6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ln 6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
log |
|
5 1 7 |
|
|
5 ln |
|
1 |
|
|
|
|
5 ln |
|
5 1 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
5 7 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ln 6 |
|
|
|
|
7 ln 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
5 ln |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
lim ln |
|
|
|
|
|
log |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 ln 6 |
|
|
|
|
5 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ln 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
5 |
|
|
ln |
1 |
|
log6 12 0 5 ln12 |
|
|
1 5 ln 5 24 ln 2 12 ln 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 ln 6 |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ln 6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 ln 3 |
|
|
Подвійні інтеграли
1.Якщо функція f(х, у) інтегровна на множині
D x; y |
|
a x b, |
x y x , |
|
|
|
|
||||
то |
|
b |
x |
f x; y dy. |
|
|
|
|
|||
f x; y dxdy dx |
|
(1) |
|||
D |
|
a |
x |
|
|
2.Якщо функція f(х, у) інтегровна на множині
D x; y y x y , c y d ,
то
|
d |
y |
|
f x; y dxdy dy |
f x; y dx. |
(2) |
|
D |
c |
y |
|
292
Задача 6.8. Знайти подвійний інтеграл f x; y dxdy , якщо
D |
|
f x; y 1 x y 2 , D — трикутник, обмежений прямими |
x 2 y; |
y 2x; x y 6. |
|
Трикутник D зображено на рисунку. Відрізком АВ поділимо область D на дві області D1 i D2. Тоді:
I f x; y dxdy f x; y dxdy f x; y dxdy.
D |
|
|
|
|
D1 |
|
|
|
D2 |
|||
|
|
уy |
|
|
|
|
A |
y = 6 – x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y = |
2 х |
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|
||
|
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
yу==(1х/2)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За формулою (1) знаходимо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 x |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f x, y dx dy dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
y |
1 |
|
|
x y |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x / 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
х/ 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln 7 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
ln 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3x 1 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x; y dxdy dx |
|
|
|
dy |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x / 2 1 |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
2 |
ln7 ln 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отже, |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln 7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
292
Криволінійний інтеграл першого роду
Якщо |
гладку криву |
Г задано |
рівнянням |
x x t , y y t , |
|||||
z z t , t , а функція f (х, у, |
z) |
неперервна на кривій Г, то |
|||||||
f x, y, z ds |
|
|
|
|
|
z t dt. |
(1) |
||
f x t , y t , z t x t y t |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
y f x , |
Якщо Г — гладка плоска крива, задана рівнянням |
|||||||||
a x b, |
то |
b |
f x; f x |
1 |
f |
x dx. |
|
(2) |
|
f (x; y) ds |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Г |
a |
|
|
|
|
|
|
x y , |
Якщо Г — гладка плоска крива, задана рівнянням |
|||||||||
c y d, |
то |
d |
f y , y |
1 y dy. |
|
(3) |
|||
f (x; y) ds |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Г |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 6.9. Обчислити криволінійний інтеграл x y ds, де Г
— межа трикутника з вершинами О (0; 0), А (1; 0), ВГ (1; 1).
у
1В
ОА
0 |
1 х |
Нехай І1, І2, І3 — криволінійні інтеграли від функції х + y по відрізках відповідно АВ, ВО, ОА.
Відрізок АВ задається рівнянням х = 1, 0 y 1, тому за формулою (1) маємо:
І1 |
y 1 dy 3. |
||
|
1 |
|
|
|
0 |
2 |
|
ВідрізкиВОіОАзадаютьсявідповіднорівняннямиy = x; 0 x 1; y = 0; 0 x 1.
293
За формулою (2) знаходимо
1 |
|
|
І2 |
2х |
2 dx 2; |
0 |
xdx 1 . |
|
I3 |
||
|
1 |
|
Отже, |
0 |
2 |
|
|
I I1 I2 I3 2 2.
Криволінійний інтеграл другого роду
Якщо гладку криву Г задано рівнянням x = x(t); y = y(t); z =
z(t); t , а вектор-функція F (P; Q; R) неперервна на Г, то
|
|
Р х t ; |
y t ; |
z t x t Q x t ; |
y t ; z t y t |
|
|
Рdx Qdy Rdz |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
R x t ; |
y t ; z t z t dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо Г — плоска гладка крива, задана рівнянням y = f (x) а |
|||||||
х b, то |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x; y dx P x; f x dx; |
|
(2) |
|||
|
|
Г |
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
x dx. |
|
(3) |
|
Q x; y dy Q x; f x f |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
a |
|
|
|
|
Задача 6.10. Обчислити криволінійний інтеграл І ydx xdy
Г
за кривою Г з початком (0; 0) і кінцем А (1; 1), якщо Г — дуга параболи y x2 .
у |
у = х2 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
х |
294
Якщо Г — дуга параболи, застосовуємо формули (2) і (3). Маємо:
|
ydx 1 x 2 dx ; |
|
xdy 1 2x 2 dx ; |
І 1 3x 2 dx 1. |
Г |
0 |
Г |
0 |
0 |
Застосування інтегрального числення
Довжина дуги кривої
Якщо криву задано рівнянням y f (x), |
|
то довжина дуги від |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x a до x b обчислюється за формулою: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
b |
|
1 |
f x |
2 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t , |
y шt , |
|
|
|
||||||||
Якщо |
криву |
задано |
|
|
рівнянням |
|
t , |
то |
|||||||||||||||||||||||||||||
довжина дуги обчислюється за формулою: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
t |
|
2 |
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 6.11. Обчислити довжину дуги |
|
кривої |
y f x |
від |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x a |
до x b, |
якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f |
x 3 e x / 6 e x / 6 , a 0; b 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Застосовуємо формулу (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
3 |
2 |
е |
х/ 6 |
|
е |
х/ 6 |
|
2 |
dx |
|
3 |
|
1 |
1 |
e |
x / 3 |
2 e |
x / 3 |
dx |
|
|||||||||||||
|
І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
1 |
e |
x / 3 |
|
1 |
e |
x / 3 |
|
dx |
|
3 |
|
e2 x / 3 2e x / 3 1 |
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4e x / 3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 3 e x / 6 |
|
ex / 3 1 2 dx 1 3 e x / 6 e x / 3 1 dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 e x / 6 e x / 6 dx |
1 |
6e x / 6 6e x / 6 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
e |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
295