bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

ЗАДАЧІ

1. У ABC вектори CA a, CB b. Знайти вектор c — бісектрису кута a , b .

Розв’язання. Бісектриса кута a b перетинає сторону AB в точці D, яка поділяє відрізок АВ на відрізки AD i DB у відношенні λ:

DBAD ba .

У векторному вигляді

r D r A r B , 1

або

ca b .

Уцю рівність підставляємо значення :

c baa bab .

2.У правильному тетраедрі АВСD точки М і Е — середини ребер АС

іАВ, N — точка перетину медіан грані ВСD. Знайти кут між векторами

MN i DE.

335

3. Векторний добуток

3.1. Означення

Векторним добутком векторів a i b (позначається: a b ) назива-

ється вектор c a b , який визначається за таким правилом (рис. 3.1):

336

3) напрям вектора c такий, що впорядкована трійка векторів a, b, c

b

О S ab sin

a

Рис. 3.2

3.2Геометричні властивості векторного добутку

1.c ab sin S — площі паралелограма, побудованого на векто-

рах a i b зі спільним початком; c ab a b .

2. Площа S трикутника, визначеного векторами a i b зі спільним початком, дорівнює:

4. a b 0 a || b (вектори a і b — колінеарні, sin 0, при = 0 ; 180 ).

337

3.3.Алгебраїчні властивості векторного добутку

1.Відсутність переставного закону:

a, b, b a протилежної орієнтації.

2. Сполучний закон відносно скалярного множника

a b a b , a b a b .

3. Розподільний закон відносно додавання:

a b c a b a c ,

b c a b a c a .

3.4.Таблиця векторних добутків ортів:

У таблиці для визначення знаків користуються такою схемою:

«–»

338

3.5. Вираз векторного добутку через координати векторів

a b x1i y1 j z1 k x2 i y2 j z2 k .

Використовуючи таблицю векторного добутку ортів і сполучний закон відносно скалярних множників, дістає вектор у вигляді формули визначника третього порядку

i j k

a b x1 y1 z1 , x2 y2 z2

який обчислюємо, розкладаючи його за елементами i, j, k першого рядка.

ЗАДАЧІ

1. Обчислити синус кута між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах a 2,1, 1 i b 1, 3,1 .

Розв’язання. Вектори діагоналей паралелограма

339

4. Мішаний (векторно-скалярний) добуток трьох векторів

4.1. Означення

Мішаний добуток трьох векторів a, b i c (позначається: a,b,c )

— це число (скаляр)

a b c a, b, c .

340

4.3.Закони мішаного добутку

1.Сполучений закон. Згідно з геометричним змістом мішаного добутку об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c , не змі-

ниться, якщо визначити його основу або векторами a i b , або

bi c , або

ci a . При цьому кожна трійка a, b, c , b, c, a i c, a, b — права. Тому знак векторного добутку «×» можна поставити між будь-якою парою

векторів мішаного добутку a,b, c , а переставлення векторів у цих па-

рах змінює лише знак мішаного добутку, відповідні трійки будуть лівими, а отже, і об’єм (– V) > 0.

Ця властивість схематично визначається коловим переставленням векторів мішаного добутку a, b, c без знаків векторного і скалярного множення. Таким чином,

a,b,c c, a,b b,c, a b, a,c a, c,b c,b, a .

2.Розподільний закон

a a1 , b, c a, b, c a1 , b, c .

3.Сполучний закон відносно скалярних множників:

a, b, c a, b, c .

Умова компланарності трьох векторів. Вектори a, b, c — компла-

нарні, якщо a, b, c 0 .

4.3. Вираз мішаного добутку через координати векторів

Нехай a x1, y1, z1 , b x2 , y2 , z2 , c x3 y3 z3 . Тодімішаний добу-

342

ток a, b, c визначається у вигляді визначника

ЗАДАЧІ

1. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого навекторах m a b c,