Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4645 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный экономический университет им. В. Гетьмана
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

.pdf
Скачиваний:
105
Добавлен:
07.03.2016
Размер:
5.29 Mб
Скачать
☆

Похідна за напрямом l cos ; cos ; cos функції трьох

змінних u = u (x, y, z) у точці M (x0; y0; z0) обчислюється за формулою:

u

 

 

u

 

 

cos u

 

cos

u

 

 

cos .

(5)

 

 

 

 

 

е

 

M

x

 

M

 

y

 

M

 

 

z

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Градієнт

функції

трьох

змінних

 

u u x; y; z

у точці

M x0 ; y0 ; z0

обчислюється за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad u

 

 

 

 

u

 

 

;

u

 

 

;

u

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

M

 

x

 

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

M

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5.2. Знайти похідну за напрямом l

cos 45 ;cos 60 ;cos 60

і градієнт функції u x y z a x a y a

22

z у точці M (x ; y ; z ),

якщо 1,

11

12

0

0

0

2, 3, a11 5,

a12 7, a22

9, x0 1, y0

1,

z0 1.

 

 

 

 

 

 

1.Спочатку утворимо функцію u = u(x, y, z), підставивши замість параметрів , , , коефіцієнтів а11, а12, а22 і координат x0; y0; z0 відповідні значення. Дістанемо функцію u x, y, z =

xy2 z3 5x 7 y2 9z3 і точку М (–1; –1; 1).

2.Знайдемо і обчислимо в точці М частинні похідні функції u: ux , uy , uz .

y, z вважаємосталими;

ux функціяu будефункцією y2 z3 5. однієї змінної х.

ux

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

y 1

 

 

 

1 1 5 4.

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

267

u y

 

 

 

 

 

 

 

x, z вважаємо сталими;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функціяu буде функцією

 

2xyz3

14 y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

однієї змінної y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

2 1 1 13 14 1 2 14 16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uz

 

 

 

 

 

 

 

x,

y вважаємо сталими;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функціяu буде функцією

 

3xy 2 z 2 27z 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

однієї змінної z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uz

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

3 1 1 2 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

y 1

 

27 12

3 27 30.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Підставимо знайдені значення

ux

 

M

,

uy

 

M

,

uz

 

M

у формули (5)

 

 

 

 

 

 

і (6):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

4cos 45

 

16cos 60

 

30cos30

 

4

 

 

 

 

16 2

30 2

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 4i 16 j 30k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгоритм відшукання екстремумів функції двох змінних

 

 

 

 

 

 

1. Знаходимо стаціонарні точки, тобто точки, в яких ux 0,

uy 0.

Для

цього обчислюємо

частинні

 

похідні

першого

порядку ux , uy функції и і розв’язуємо систему рівнянь ux 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uy 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Знаходимо частинні похідні другого порядку uxx , uxy , uyy .

268

3. Обчислюємо значення а11, а12, а22 — відповідні значення частинних похідних uxx , uxy , uyy у стаціонарних точках.

4. Знаходимо

a11

a12

для кожної точки.

 

a

a

22

 

 

12

 

 

5.Остаточноговисновку доходимо, розглядаючи такі випадки:

1)0, a11 0 — матимемо точку мінімуму;

2)0, a11 0 — матимемо точку максимуму;

3)< 0 — немає екстремуму;

4)= 0 — сумнівний випадок.

Задача 5.3.1. Знайти екстремум функції двох змінних

z = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y2 + a1x + a2y + a3,

якщо

a11 2, a12 1, a22 4, a1 4, a2 5, a3 6.

1.Спочатку утворимо функцію двох змінних, підставивши замість коефіцієнтів a11, a12 , a22 , a1, a2 , a3 задані значення:

z 2x2 2xy 4 y2 4x 5y 6.

2.Згідно з алгоритмом знайдемо частинні похідні zx , zy :

zx

4x 2 y 4,

z y

2x 8y 5.

Розв’яжемо систему рівнянь:

4x

2 y 4

0;

 

4x 2 y 4 0;

4x 2 y 4

0;

 

 

 

8y 5

0;

 

 

 

 

 

2x

 

4x 16 y 10 0;

14y 14;

 

 

y 1;

 

 

3

 

 

 

 

 

x

 

;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 6;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 1.

 

 

 

 

 

Дістанемо стаціонарну точку 32 ; 1 .

269

3.Знайдемо частинні похідні другого порядку:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді

 

 

 

 

 

 

uxx

4,uxy

2,uyy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11 4, a12

2, a22

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Обчислимо визначник:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

32 22 28.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Висновок: 28 0,

a11 4 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тому

 

; 1 — точка мінімуму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Обчислимо значення функції z у точці

 

 

; 1 :

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zmin

 

 

3

2

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

4 1

4

 

 

 

 

5

6

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 9

3 4 6

5 6

9

16 9 32

 

 

23 .

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

Задача 5.3.2. Знайти екстремуми функції двох змінних z f x; y за умови x; y 0, якщо:

f x; y 1x 1y ; x; y x12 y12 161 .

Потрібно знайти точки екстремуму функції z 1x 1y за

умови x12 y12 161 0.

1.Згідно з алгоритмом спочатку утворимо функцію Лагранжа:

L x; y;

f x; y x; y

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

x

y

 

2

y

2

16

 

 

 

x

 

 

 

 

 

Точка (0; 0) не входить в область визначення функції f (x; y).

270

2.Знайдемо Lx , Ly :

Lx

 

1

 

 

2 x 3

1

 

x 2 ;

x2

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ly

 

1

 

 

2 y 3

 

1

 

y 2 ;

y2

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

Ly

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

х2

 

 

у2

16

 

 

 

 

3.Розв’яжемо систему рівнянь:

 

1

 

x 2 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 ;

 

 

 

 

x 2 ;

 

 

1

 

y 2 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2 ;

 

 

 

 

y 2 ;

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

 

;

 

 

;

 

 

0;

2

2

16

2

16

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

2

 

 

 

 

y2

16

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 8 4 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

8 4

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дістанемо дві точки, «підозрілі» на умовний екстремум:

A 4 2; 4 2; 2 2 ,

B 4 2; 4 2; 2 2 .

 

 

 

 

4.Знайдемо

частинні

похідні

другого

 

порядку функції

L x; y; :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

6 x

4

;

 

 

 

2

 

3

6 y

4

;

 

 

 

 

 

 

Lxx 2x

 

 

 

Lxy 0;

Lx

x3

; Lyy 2 y

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lyx 0;

Ly

y3

; L 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Обчислимо значення похідних другого порядку в точках

A 4 2; 4 2; 2 2 ; B 4 2; 4 2; 2 2 .

Lxx A

2 4 2

6 2 2

4 2

 

4

 

 

2

 

12 2

 

 

2

 

3 2

 

2

;

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

 

 

 

128 2

 

256 4

 

128

 

256

 

256

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lxy

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

271

 

 

A

2

 

 

 

2

 

2

 

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lx

 

x3

 

х 4 2

(4 2)3

64 2 2

64 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Lyy A 2 y 3 6 y 4 А 2562 ;

Lyx A 0;

 

A

2

 

1

;

 

 

Ly

y3

64 2

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

Lx

 

В

 

 

 

 

 

B

64

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

Ly

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

64

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lxx

B

256

 

, Lyy

 

B

256

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lxy

 

B

Lyx

 

B 0, L

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Знайдемо:

 

A ,

 

B :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lxx

 

 

Lxy

 

Lx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lyx

 

 

Lyy

 

Ly

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L x

 

 

L y

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

256

 

 

 

 

 

 

64

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

2

1

 

2

 

2

0;

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

256

 

 

64

2

642 2

256

256 642

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

272

 

 

 

 

 

2

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

256

 

 

 

 

64

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

256

 

 

64

2

256 642

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

2

64

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, у точці А — максимум; у точці В — мінімум; zmax 42 ,

zmin 42 .

Область визначення функції двох змінних відшукуємо за наведеним далі алгоритмом.

1.Записуємо область визначення функцій

z f x, y ,

враховуючи, що область визначення функції y x :

x 0;

функції y loga x : x 0, a 1, a 0 ;

функції y 1x ,

x 0, x ;0 0; ;

функцій y arcsinx , y arccosx :

1 x 1.

2.Зображуємо межі на рисунку.

3.Вибираємо контрольні точки і заштриховуємо відповідні області.

Задача 5.4. Знайти і зобразити графічно область визначення функції двох змінних:

 

 

z

f x; y g x; y lg h x; y arcsin x y ,

273

якщо

1; 2; 5;

f x; y x2 y2 ; g x; y xy ;

h x; y 6x y.

 

1.Спочатку утворимо функцію z x; y , підставивши задані значення в загальний вираз:

z

x 2 2 y 2 5

 

 

2

 

5 lg 6x y arcsin x 2 y 3 .

 

xy 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.З урахуванням області визначення функцій

y

x; y lg x;

y 1 ;

y arcsin x дістанемо систему нерівностей:

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;

 

 

 

 

 

x2

2 y2

5 0;

5

5 2

 

 

 

 

 

 

 

5;

 

 

 

 

 

 

5

0;

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

6x;

 

 

 

 

 

 

y

0;

 

 

y

 

 

 

 

 

6x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 y 3 1;

2 4 x ;

 

 

 

 

 

1

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3.Побудуємо лінії

x2

 

y2

 

1; xy 5; y 6x; y 2

 

х

;

y 1 1 x.

 

 

2

 

 

 

 

5

5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

у

 

 

 

 

 

 

5

 

y = 5/x

yy= –61x

 

1

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

y 2

2 x

2

А

 

 

 

 

 

5 0

 

 

В

х

 

 

 

 

 

 

 

5

 

y 2 1 x

 

y = 5/x

2

 

2

 

 

 

y = –6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

274

4.Візьмемо контрольні точки А (1; 2), В (3; –1) і підставимо їх координати в систему нерівностей.

Точка A 1; 2 : x 1; y 2 :

 

1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

/ 1;

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 6;

 

 

 

 

/

1

 

3;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка B 3; 1 : x 3, y 1 2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

1 2

 

1;

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

 

3

 

1

2 5;

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 3;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

4

3 ;

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3 .

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка А належить незаштрихованій області, точка В — заштрихованій.

Емпіричні формули методу найменших квадратів

Припустимо, що x1, x2 ,..., xn — послідовність значень незалежної змінної, а y1, y2 ,..., yn — послідовність відповідних значень залежної змінної.

275

1.Необхідно підібрати пряму y ax b , яка є найточнішим

наближенням залежності між х та у. Невідомі параметри а і b обчислюються із системи рівнянь:

 

n

 

 

n

 

 

 

yi na b xі;

 

n

i 1

 

n

i 1

n

 

x y

 

a x

b

x2.

i 1

i

i

i 1 i

 

i 1

i

2.Необхідно підібрати

параболу

 

y a

0

a x a

x2

, яка є

найточнішим наближенням

 

 

 

 

 

 

 

х

1

та

2

 

Невідомі

залежності між

 

у.

a0 , a1, a2 обчислюються із системи рівнянь:

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

2

 

n

 

3

n

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

xi a1

xi a2

xi

xi yi ;

 

 

 

 

 

 

i 1

i 1

i 1

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

na0 a1 xi

a2 xi

 

yi ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

xi2 a1 xi3 a2

xi4

x2i

yi .

 

 

 

 

 

i 1

i 1

i 1

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Необхідно знайти гіперболу y a bx , яка є найточнішим

наближенням залежності між х та у. Невідомі параметри а і b визначаємо із системи:

 

 

 

n

1

 

 

n

 

 

 

na b

 

 

yi ;

 

 

 

 

 

 

 

i 1 xi

 

i 1

 

 

yi .

a 1

b 1 1

 

n

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

i 1 x

 

x2

 

i 1 x

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

i

 

4.Необхідно знайти показникову криву

найточнішим наближенням залежності між параметри а і b обчислюємо із системи:

y abx , яка є х та у. Невідомі

n lg yii 1

n

xi lg yii 1

n

n lg a lgb xi ;

i 1

n n

lg a xi lgb xi2.

i1 i 1

276

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности