bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

значимо знак першої похідної на кожному зі знайдених інтервалів:

Проходячи через критичну точку x1 5 зліва направо, похідна змінює знак з «+» на «–». Завдяки цьому в точціx1 5 функція має максимум:

ymax 5 5 2 2 5 17 8 .5 1

Проходячи критичну точку х2 = 3 зліва направо, похідна змінює знакз «–» на «+». Завдяки цьому в точці х2 = 3 функціямаємінімум:

ymin 3 32 2 3 17 8 . 3 1

Інтервали зростання функції: (– , –5), (3, + ). Інтервали спадання функції: (–5, –1), (–1, 3).

6. Інтервали опуклості й угнутості функції знаходимо за допомогою другої похідної:

257

y 0 на всій області визначення функції , 1 1, ;

y не існує в точці х = –1, яка не належить області визначення функції;

вгнутий на інтервалі (–1, + ); Результати дослідження заносимо в таблицю:

7. Рівняння похилої асимптоти відшукуємо у вигляді y = kx + b,

Таким чином, як у правій (x > 0), так і в лівій (x < 0) півплощині крива має одну й ту саму похилу асимптоту у = х + 1.

8. Знайдемо граничні значення функції при x :

258

9. За результатами дослідження будуємо графік функції (див. рисунок).

у

17

8

Застосування похідної до розв’язування задач геометрії

Якщо криву задано рівнянням y = f (x), то f x 0 tg , де

α — кут, утворений з додатним напрямом осі Ох дотичною до кривої в точці з абсцисою х0.

Рівняння дотичної до кривої y = f (x) в точці M 0 х0 , y0 має вигляд:

y f x0 f x0 x x0 .

259

Нормаллю до кривої в точці М0 називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці.

Рівняння нормалі має вигляд:

y f x0 f 1x0 x x0 .

Кутом між двома кривими y = f1(x) та y = f2(x) в точці їх пе-

ретину M0 x0 , y0 називається кут між дотичними до цих кривих у точці М0. Цей кут обчислюється за формулою:

Задача 4.3 Знайти гострий кут між дотичними до кривої y ax2 bx c , що проходять через точкуM0 x0 , y0 , якщо а = 1, b = 2, c = 1, x0 = 2, y0 = –1.

У нашому випадку рівняння параболи має вигляд

Розв’язуючи цю систему рівнянь, дістаємо дві точки дотику на параболі:

260

Позначимо кутові коефіцієнти дотичних М0М11 та М0М12 відповідно так:

k1 f x11 2 3 10 ; k2 f x12 2 3 10 .

Гострий кут між дотичними М0М11 та М0М12 обчислюється за формулою:

Звідси маємо: arctg 4 10 .

3

Знаходження похідної неявно заданих функцій

Нехай рівняння F(х, у) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Продиференціюємо за х обидві частини цього рівняння, дістанемо рівняння першого степеня відносно у , з цього рівняння легко знайти у , тобто похідну неявно заданої функції.

261

Задача 4.4. Знайти похідну у функції у, заданої рівнянням

Функція у визначається рівнянням

tg(72x3 10 y) x3 .

Продиференціювавши за х обидві частини цього рівняння, дістанемо

262

Розділ 5. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

263

Обчислює частинні похідні в сумах (3) і (4), вважаючи відповідно змінну у і змінну х константами та використовуючи необхідні правила диференціювання і таблицю похідних функції однієї змінної:

y вважаємо сталою, тому задана функціяє

2sin x ln y y 2 cos x ;

xвважаємо сталою,

264

265

uv 'y uv 1 u lnu vy vuy .

3.Підставивши знайдені вирази спочатку в суми (3) і (4), а потім у формулу (1), дістанемо з урахуванням перетворень і спрощень повний диференціал функції (2):

266