Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный экономический университет им. В. Гетьмана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

.pdf

Скачиваний:

104

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Аналогічно знаходимо координати точок С і А:

		C : xS					xR xP						2 4				1, yS				yS	yP		3		2
		C : xS						2						2			1, yS					2			2
								2						2								2			2
			5	, C					5				QC
			2		1,					,				CS	2.
					1,					,					2.
									2
																				7		5
x	xQ xS					2 2 1					0,			y		yQ yS				7		2 2	2 C 0, 2 .
x											0,			y									2 C 0, 2 .
C		1					1 2							C			1				1 2
		1					1 2										1				1 2
A: xN				xR xQ					2 2					0, yN 3 7 5, N								0, 5 ,				PA	2,
A: xN									2 2					0, yN 3 7 5, N								0, 5 ,				AN	2,
				2				2										2								AN
xA		xP xN						4 2 0				4, yA						2 2 5	8,			A 4,8 .
xA		1							1 2			4, yA							8,			A 4,8 .
		1							1 2									1

Координати вершин трикутника: А (– 4, 8); В (8, 6); С (0, –2).

б) Точка перетину медіан трикутника буде спільною як для трикутника RQP, так і для трикутника АВС. Розглянемо RQP і медіану RM. Точка О поділяє відрізок RM у відношенні

	RO	2.
		2.
	OM																			9
				xR xM		2 2 3						4			yR yM				3 2	9
Звідси x0				xR xM								4	; y0		yR yM				3 2	2	4 .
Звідси x0				1									; y0						3		4 .
				1				1 2		3						1			3
																4
Координати точки перетину медіан:														O			, 4	.
Координати точки перетину медіан:														O		3	, 4	.
																3
в) Площу трикутника АВС знаходимо за формулою
					1		x1	y1	1		1			4			8	1
							x1	y1	1					4			8	1
			S ABC				x2	y2	1					8			6	1
					2		x3	y2	1		2			0 2 1
			1		24 16 64 8 1									112 56.
			2							2

Площа трикутника АВС дорівнює 56 кв. од.

218

г) Знайдемо рівняння QR як рівняння прямої, що проходить через дві точки:

	x x1	y y1		,		x x ,				y y		Q	, x	2	x		R	,	y	2	y		R	,
				,		x x ,				y y			, x		x			,	y		y			,
	x2 x1	y2 y1			1		Q		1
	x2 x1	y2 y1
	x 2	y 7				x 2		y 7			x 2 y 7, x y 5 0.
	2 2					4					x 2 y 7, x y 5 0.
	2 2	3 7				4			4
Звідси PD			xP yP 5							4 2 5						7			7 2			.
			xP yP 5							4 2 5						7			7 2
																					2
			12		12						2					2
			12		12						2					2

PD 7 22 .

д) Точку перетину висот знайдемо як точку перетину прямих

АА1 і ВВ1.

1) Рівняння прямої АА1:

			,			x 4, y 8 ,		8 0, 6 2 8, 8 ,
AA1	BC			AA1			BC
						0 8 x 4 8 y 8 0 x y 4 0.
		AA1			BC

2) Рівняння прямої ВВ1:

BB1 AC, BB1 x 8, y 6 , AC 0 4 , 2 8 4, 10 ,

BB1 AC 0 4 x 8 10 y 6 0

2x 16 5y 30 0 2x 5y 14 0.

Щоб знайти точку перетину висот, потрібно розв’язати систему рівнянь:

2x 5y 14			2	5		7,	1			14	5	6,
2x 5y 14			2	5						14	5
			1	1						4	1
x y 4			1	1						4	1
2	2	14	22 ,		x 1			6	,	y 22 .
	2	14						6
	1	4
	1	4					7				7
Координати точки		перетину висот трикутникаАВС:											6	,	22
Координати точки		перетину висот трикутникаАВС:										E	7	,	7	.
													7		7

Задача2.2-9. ДанодвівершиниА(2, –3), В(5, 1) трикутникаАВС, рівняннясторони ВС: 2х+ 3у– 13 = 0 імедіани АМ: 3x 2 y 3 0.

219

Знайти:

а) точку перетину медіан; б) тангенс кута СВА; в) рівняння сторони АС;

г) рівняння висоти СD, опущеної з вершини С на сторону АВ; д) довжину висоти СD;

е) площу трикутника АВС.

B (5, 1)

А(2, – 3)

2						х
x
	+
		3
			y
				–
				1
					3
						=
						0

а) Знайдемо спочатку точку М перетину медіани АВ і сторони ВС:

						2 3											13 3

2x 3y 13 0				;				2 9 7;						1							13	9	4;
	y 3		0	;		3 1		2 9 7;						1			3 1				13	9	4;
3x	y 3		0			3 1											3 1
	2	13

2			6 39 33.
2			6 39 33.
	3	1
							4		33
Координати точки M								,	7		. Точка Q перетину медіан по-
Координати точки M							7	,			. Точка Q перетину медіан по-
							7					AQ
діляє відрізок АМ у відношенні												AQ		2 . Тому
діляє відрізок АМ у відношенні												QM		2 . Тому
												QM
									2				4		6
					xA xM						2							2
											2
			x										7		7				;
			x																;
			Q		1					1 2					3		7
					1					1 2					3		7
					yA yM					3 2			33		45				15
			yQ		yA yM					3 2			7			7			15	.
			yQ		1						1 2				3				7	.
					1						1 2				3				7

220

	2		15
Координати точки перетину медіани Q		,		.
Координати точки перетину медіани Q	7	,	7	.
	7		7

	б) tg CBA	k2 k1			, де k1 — кутовий коефіцієнт ВС,								k1			2	;
		1 k k		2												3
		1		2							yB yA	1 3		4
k	— кутовий коефіцієнт сторони АВ k									AB	yB yA			4	.
k	— кутовий коефіцієнт сторони АВ k														.
2											xB xA	5 2	3
											xB xA	5 2	3
			3				2
								2
			4				3
	Звідси tg CBA		4				3		18 .
	Звідси tg CBA							1	18 .
				1		4 2		1
								9
						3 3
						3 3

tg CBA 18 .

в) Координати точки А відомі. Щоб знайти координати точки С, розглянемо відрізок ВС, точка М — поділяє цей відрізок навпіл, то-

чка С — відрізок ВМ зовнішньо у відношенні CMBC 2 . Тому

														5			2	4				43
								xB xM						5			2		7			43				43
				xC				xB xM											7				7			43	;
				xC				1								1 2								1		7	;
								1								1 2								1		7
								yB	yM					1			2	33			59				59
				yC				yB	yM					1			2	7				7			59	.
				yC				1							1			2		1					7	.
								1							1			2		1					7
Координати точки													43	,	59
Координати точки									C				7	,			. Рівняння сторони АС шукає-
													7			7
мо у вигляді рівняння прямої, яка проходить через дві точки:
		x x1				y y1			, де x 2,								y 3,					x	2	43 ,			y	2	59 .
									, де x 2,								y 3,					x		43 ,			y		59 .
	x2 x1				y2 y1								1					1							7				7
	x2 x1				y2 y1																				7				7
		x 2					y 3			x 2						y 3			80x 160 57 y 171 .
		43					59												80x 160 57 y 171 .
		43	2				59	3				57					80
		7	2				7	3					7				7
		7					7						7				7
Рівняння сторони АС:											80x 57 y 11 0 .

221

г) Позначимо точку D (x, y). CD AB CD AB 0 ;

						43						59
CD						43		, y				59
CD				x		7		, y					7		, AB 3, 4 .
						7							7
Маємо:
							43									59							21x 129 28y 236 0 ,
				3 x				7				y				7		0					21x 129 28y 236 0 ,
								7								7
				21x 28y 107 0.
Рівняння висоти СD: 21x 28y 107 0.
д) Скористаємось формулою
														d CD								Ax0 By0 C1									,
																						Ax0 By0 C1

																								A2 B2
																								A2 B2
де A, B,				C — коефіцієнти прямої АВ; х0 у0 — координати точки С.
	Рівняння					АВ:						x x1							y y1						x 2					y 3				x 2			y 3
	Рівняння					АВ:																			5 2
											x		2	x					y	2	y				5 2						1 3		3			4
													2		1					2			1
										4x 8 3y 9 4x 3y 17 0.
														43		3				59			17				172 177 119
														43						59							172 177 119
									4											7												7				468
			d CD											7						7												7				468		.

															42		32															5				35
															42		32															5				35
Довжина висоти СD дорівнює 468 .
																							35
						1		x1				y1			1					1			2			3			1


	S ABC							x2				y2			1								5			1			1
е)						2		x3				y3			1					2			43 59						1
		1			129				295						43								7			7						234
		1		2	129				295						43		15						118			1		468				234	33,4		(кв.од.).
		2		2		7				7					7		15									2			7			7	33,4		(кв.од.).
		2				7				7					7								7			2			7			7
	S ABC 33,4							кв.од.

222

y 3 x 3 , або

9 3 1 3

Задача 2.2-10. Дано координати вершин А(–3; 3) та В(–1; 9)
трикутника АВС, рівняння двох його висот х – у + 6 = 0 та 9х –– у
+ 18 = 0 і координати точки Р(7; –4).
	у	0
	В (– 1; 9)	0
	В (– 1; 9)	=
		6
		+
		у
		–
45		х
45
L2	D
	М	N
		N
	А (– 3; 3)	45
		С
	О	х
	О	L1
		Р (7; – 4)

Відкладаємо дані точки А(–3; 3); В(–1; 9) та Р(7; –4) (див. рисунок). Будуємо прямі х – у + 6 = 0 та 9х – у + 18 = 0. На цих прямих лежать висоти трикутника, які перетинаються в точці М. Через точки А та В проводимо прямі, перпендикулярні до висот. У точці їх перетину міститься третя вершина С. Через вершину С проводимо пряму CD, на якій лежить медіана CD. Позначаємо на ній точку перетину медіан N. Через вершину В під кутом 45 до медіани

CD проводимо дві прямі BL1 та BL2. Креслимо трикутник МРС.
1) Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, має
вигляд	y		y1	x		x1		. Підставивши в це рівняння координати
	y			x
		2	y		2	x	2
			1

точок А та В, складемо рівняння сторони АВ:

3x y 12 0 .

Кутовий коефіцієнт висоти, що проходить через вершину В, k = 9. З умови перпендикулярності висоти та сторони АC знаходи-

223

мо кутовий коефіцієнт kAC 19 . Рівняння прямої, що проходить

через задану точку, має вигляд y y1 k(x x1 ) . Підставляючи в це рівняння координати точки А та kAC, складаємо рівняння сто-

рони АВ: y 3 1

(x 3) ,

або

x 9 y 24 0 . Аналогічно знахо-

x y 8 0 .

димо рівняння сторони BC:

2) Координати точки C знайдемо, розв’язавши систему рів-

нянь x 9 y 24 0

Звідси C(6;2).

x y 8 0.

x1 x2

За

формулами

координат

середини відрізка x

обчислюємо координати середини сторони АВ — точки

y 2

x 6

D(–2;

6). Тепер складаємо рівняння медіани CD:

2 6

або x 2 y 10 0 .

6 2

Медіани трикутника в точці перетину поділяються у відношенні 2:1. Звідси випливає, що точка N поділяє відрізок CD у

відношенні	CN		2 .		За формулами поділу відрізка в даному
		ND
відношенні	x	x1 x2			y		y1 y2	обчислюємо координати точ-
		1					1

			2			14
ки перетину медіан			N		;		.
				3		3

3) З формули кута між прямими tg							k2 k1			знайдемо кутові
3) З формули кута між прямими tg										знайдемо кутові
							1 k k		2
							1		2
коефіцієнти прямих BL1 та BL2. Для кута між прямими BL1 та CD
пряма BL1 перша, її кутовий коефіцієнт k1								невідомий. Пряма
CD —	друга, її				кутовий	коефіцієнт	k	1		. Таким чином,
	1							2
	1	k
tg45	2		1	.	Звідси	k 3 . Підставляючи в рівняння
tg45				.	Звідси	k 3 . Підставляючи в рівняння
	1	1 k				1
	1	1 k
		2	1

y y1 k(x x1 ) знайдене значення k1 та координати точки В, знаходимо рівняння прямої BL1: 3x y 6 0 .

224

Для кута між прямими BL2 та CD пряма CD перша, її кутовий коефіцієнт k1 12 Пряма BL2 — друга, її кутовий коефіцієнт k2

	k2		1	. Звідси k2 1 і рівняння
невідомий. Таким чином tg45			2
		1
1			3
		2	k2

прямої BL2 має вигляд: y 9 1 (x 1)			або x 3y 28 0 .
3
Зауваження. Прямі BL1 та BL2	взаємно перпендикулярні, тому
кутовий коефіцієнт прямої BL2	швидше можна було знайти з
умови перпендикулярності прямих k1k2 1 .

4) Координати точки М перетину висот трикутника знайдемо,

	x y 6 0				3		9
розв’язавши систему рівнянь		0	. Звідси	M		;		.
					2		2
	9x y 18

	y	9	x	3
Складемо рівняння сторони MС:		2		2	, або x 3y 12 0 .

	2	9	6	3

		2		2

Довжину сторони МС знайдемо за формулою відстані між точка-

ми MC	(x2 x1 )	2	( y2 y1 )	2		3 2		9	2	5 10	. До-
					6		2	2		2
						2

вжину висоти h трикутника МРС знайдемо як відстань від точки

Р до прямої МС за формулою h Ax0 By0 C . Підставля-

A2 B2

ючи сюди коефіцієнти рівняння прямої МС та координати точки Р (7;

– 4), дістаємо: h		1 7 3 4 12			17			. Тепер обчислюємо пло-


	12		32		10

щу трикутника МРС: S			1 MC h	1		5	10		17	85 .
				2			2		10
			2							4

225

Зауваження. Площу трикутника МРС можна було знайти за

формулою	S	1	x2	x1	y2	y1	.

		2	x3	x1	y3	y1

Задача 2.3. Криву другого порядку задано рівнянням
			3x2 4xy 4 y2 2x 4 y 2 0 .

Визначити тип цієї кривої, записати її канонічне рівняння та
побудувати в старій системі координат.
у'' у	у'	х''

х'

0	1	х
0

Для розв’язання задачі знайдемо визначник:

a12	a13	3 2		12 4 8 0 .
a12	a13	3 2		12 4 8 0 .
a22	a23	2	4

Згідно з класифікацією кривих другого порядку маємо еліпс. Координати центра нової системи координат знайдемо за формулами:

	a12	a13				2	1				a13	a11		1	3
	a12	a13				2	1				a13	a11		1	3
x0	a22	a23				1	2	1 ;	y0		a23	a21		2	2	1
	a22	a23									a23	a21
					8
					8

O 1, 1 .
Знайдемо				a11		a12	a13		3 2			1	8 .
				a11		a12	a13		3 2			1
			a21			a22	a23		2	4		2
				a31		a32	a33		1	2		2

226

Кут α, на який потрібно повернути осі системи координат відносно точки O , знайдемо зі співвідношення:

1	arctg	2a12		1	arctg	4	1 arctg 4 .
2		a a		2		3 4
			22				2
		11

227

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019338.96 Кб1bileti_na_ekzamen_z_fiziki_shporoyu222.docx
#
25.04.20192.47 Mб4Bilet_1-8_Darina.doc
#
07.03.2016116.21 Кб86biznes_dkr.docx
#
09.09.2019715.78 Кб2BLOCK-4.doc
#
07.03.2016139.78 Кб12Blok_10_11.doc
#
07.03.20165.29 Mб104bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki.pdf
#
22.03.2015389.92 Кб15BNP Paribas Inc in Consumer Finance.docx
#
17.09.20191.92 Mб21Book.doc
#
22.03.20152.54 Mб14Bosch2.docx
#
22.03.2015287.23 Кб35BO_otvety.doc
#
05.08.2019566.78 Кб3BO_shpory.doc