bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

Задача 5.5. Знайти показникову криву, яка відповідає даним наведеної таблиці:

Дістанемо систему рівнянь:

7 lg a 21 lg b 12,8472;21 lg a 91 lg b 40,4149.

Розв’язавши систему рівнянь, дістанемо: lg a 1,6346;

lg b 0,0669.

Звідси

a 43,1; b 1,167.

Показникову криву, яка найточніше відбиває динаміку функції у, наведено на рисунку.

y

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

1 2 3 4 5 6 х x

277

Розділ 6. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

функція F x називається первісною функції f x , а процедура знаходженняпервісноїєоперацією інтегрування функції f x .

Теорема про множину первісних

Припустимо, відома деяка первісна F x функції f x , тоді функція x є первісною тоді і тільки тоді, коли x F x C , де

Властивості операції інтегрування

1.d f x dx f x dx .

2.dF x F x C .

Ці дві властивості вказують на зв’язок операцій інтегрування та диференціювання як обернених операцій. Можна вважати, що знаки диференціала та інтеграла взаємно знищуються.

3. Лінійність операції інтегрування:

af x bg x dx a f x dx b g x dx .

Таблиця первісних

xn 1

1.xndx n 1 C , при n 1 .

2.dxx ln x C .

278

3. axdx ax C .

ln a

3а. exdx ex C .

4.sin xdx cos x C .

5.cos xdx sin x C .

6.cosdx2 x tg x C .

7.sindx2 x ctg x C .

8.tg xdx ln cos x C .

9.ctg xdx ln sin x C .

Інтегрування розкладом

Це найпростіший метод інтегрування, що спирається на лінійну властивість невизначеного інтеграла. Інтеграл від суми

279

розкладається на суму простіших інтегралів. Поширеним є випадок, коли у вигляді суми розкладаємо дріб за доданками в чисельнику.

Приклад.

виду f t dt тільки тоді, коли в заданому інтегралі можна виділити вираз виду dt x dx .

Інтегрування безпосередньо збігається за змістом з інтегруванням підставлення, але нова змінна не вводиться, запис скорочується до прямого застосування формули:

f x x dx f x d x F x C.

Приклад.

280

281

Інтегрування частинами

Інтегрування частинами — це потужний метод інтегрування, що дає змогу змінити вираз підінтегральної функції. Формула інтегрування частинами:

UdV UV VdU .

Доведення цієї формули спирається на відому формулу похідної від добутку:

UdV UV VdU.

Основна особливість методу полягає в тому, що він дає змогу перейти від функції до її диференціала, тому за U і вибирають функцію, яка при диференціюванні спрощується.

Приклад.

x ln x dx x ln x x C.

Зауваження. Вибір функції U повністю визначає dV — це те, що залишається в підінтегральному виразі після вилучення U. Обчислення V за відомим диференціалом dV полягає в операції

інтегрування V dV (аледовільнаконстанта Снепишеться).

282

Правило вибору функції U

гочлена вищий за перший, то метод інтегрування частинами застосовується кілька разів.

Приклад.