bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

x

функції схематично зображено на рисунку.

y

2

1

247

Розділ 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Диференціювання явно заданих функцій

Нехай х1 та х2 — два значення аргументу, а у1 = f (х1) та у2 = f (х2) — відповідні значення функції у = f (х).

Тоді різниця х = х2 – х1 називається приростом аргументу,

а різниця у = у2 – у1 = f (х2) – f (х1) — приростом функції на сегменті [х1, х2].

Похідною функції у = f (х) за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля:

Геометрично похідна являє собою кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f (х) в точці х:

y tg k .

Знаходження похідноїназивається диференціюваннямфункції.

Формули диференціювання основних функцій

248

Основні правила диференціювання

Нехай c const ; u u (x) , v v (x) — диференційовні функції, тоді:

Запишемофункціональнузалежністьу= у(х) вявномувигляді:

y x sin 2x 1 ln3 3 x 5 .

Звідси:

Дослідження функцій і побудова їхніх графіків

Функція y = f (x) називається зростаючою на проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції (якщо x2 x1 , то f (x2 ) f (x1 ) ); функція називається спадною

на проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції (якщо x2 x1 , то f (x2 ) f (x1 ) ).

249

Ознаки зростання та спадання функції

Теорема 1 (необхідна умова зростання (спадання) функції): 1. Якщо диференційовна функція зростає на деякому проміж-

ку, то похідна цієї функції невід’ємна на цьому проміжку.

2. Якщо диференційовна функція спадає на деякому проміжку, то похідна цієї функції недодатна на цьому проміжку.

Теорема 2 (достатня умова зростання (спадання) функції): 1. Якщо похідна диференційовної функції додатна всередині

деякого проміжку, то функція зростає на цьому проміжку.

2. Якщо похідна диференційовної функції від’ємна всередині проміжку, то функція спадає на цьому проміжку.

Екстремуми функцій

Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції, а ті значення аргументу, при яких досягаються екстремуми функції, називаються точками екстремуму функції (відповідно точками максимуму або мінімуму функції).

Екстремум функції у загальному випадку має локальний характер — це найбільше або найменше значення функції порівняно з близькими її значеннями.

250

Необхідна умова екстремуму функції

Теорема: У точці екстремуму диференційовної функції y f x похідна її дорівнює нулю:

f x2 0 .

Геометрично умова означає, що в точці екстремуму диференційовноїфункції y f x дотичнадо їїграфікапаралельна осіОх.

Значення аргументу х, які для заданої функції перетворюють її похідну f x на нуль або для яких похідна f x не існує (на-

приклад, перетворюється на нескінченність), називаються кри-

тичними значеннями аргументу (критичними точками).

Достатні умови екстремуму функції

Теорема 1 (перше правило). Нехай функція f x неперервна

на деякому інтервалі, в якому міститься критична точка х0, і диференційовна в усіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої точки х0). Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна:

1)змінюєзнакз«+» на«–», топрих= х0 функціямаємаксимум;

2)змінюєзнакз «–» на«+», тофункціямаєуцій точцімінімум;

3)не змінює свого знака, то функція в точці х = х0 екстремуму не має.

Зауваження. На основі цієї теореми можна сформулювати таке правило дослідження неперервної функції y f x на макси-

мум і мінімум.

1.Знаходимо першу похідну функції, тобто f x .

2.Обчислюємо критичні значення аргументу х (критичні точки), для цього:

а) прирівнюємо першу похідну до нуля і відшукуємо дійсні корені

0 ;

має розрив.б) знаходимо значення х, для яких похідна

3.Досліджуємо знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Оскільки знак похідної залишається сталим в інтервалі між двома критичними точками, для дослідження знака похідної ліворуч

251

3) якщо f x0 0 — питання залишається відкритим, і для його розв’язання потрібно застосувати перше правило.

Зауваження. Для критичних точок, в яких похідна функції не існує або дорівнює нескінченності, друге правило не застосовується.

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Якщо функція f x неперервна на проміжку [a; b], то вона

набуває на цьому проміжку свого найбільшого і найменшого значення.

Найбільше значення функції на проміжку [a; b] називається

абсолютним максимумом, а найменше — абсолютним мінімумом.

Правило:

Щоб знайти найбільше значення неперервної функції на проміжку [a, b], необхідно:

1)знайти всі максимуми функції на проміжку;

2)визначити значення функції на кінцях проміжку, тобто

обчислити f (a) і f (b);

3) з усіх знайдених значень функції вибрати найбільше: воно й буде найбільшим значенням функції на проміжку.

Аналогічно потрібно діяти і при визначенні найменшого значення функції на проміжку.

Опуклість і вгнутість кривої. Точка перегину

Крива на проміжку називається опуклою (угнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) від будь-якої її дотичної на цьому проміжку.

Наведемо дві теореми.

Теорема 1. А. Якщо в усіх точках проміжку (с, b) для функції y f x друга її похідна f x 0 , то графік функції вгнутий.

253

Б. Якщо в усіх точках проміжку (а, с) друга похідна функції f(х) від’ємна f x 0 , то графік функції опуклий.

при переході через цю точку змінює свій знак на протилежний, то точка M x 0 , f x 0 є точкою перегину графіка функції.

Зауваження. Якщо в точці х0 друга похідна f x дорівнює

нулю або не існує, але при переході через цю точку f x не M x 0 , f x 0 не є точкою переги-

Асимптоти

Змінна точка М рухається по кривій у нескінченність, коли відстань від цієїточкидо початку координат необмеженозростає.

y

l

у = f(x)

M (x, y)

d •

Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань d

від змінної точки Мкривоїдоцієїпрямої при віддаленні точки М

254

у нескінченність прямує до нуля. Асимптоти бувають вертикальні й похилі.

або lim f x , то пряма х = а є вертикальною асимптотою для

x a

графіка функції y f x .

Похилі асимптоти. Нехай крива y f x має похилу асимп-

Якщо хоча б одна з границь не існує, то крива похилих асимптот у відповідній півплощині не має.

Зауваження. Ціформули записано заприпущення, щох + . Аналогічніформули існують при х – (лівоїпівплощини).

План дослідження функцій і побудови їхніх графіків

При дослідженні функцій виконати такі дії: 1. Знайти область визначення функції.

2. Установити парність (непарність) і періодичність функції. 3. Знайтиточкирозривуфункціїтавстановитихарактеррозриву. 4. Визначити точки перетину графіка функції з осями коор-

динат.

5. Знайти точки екстремуму й обчислити значення функції в цих точках.

6. Визначити інтервали зростання і спадання функції.

7. Знайти точки перегину, інтервали опуклості та вгнутості. 8. Знайти асимптоти.

9. Знайти граничні значення функції, коли х прямує до граничних точок області визначення.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, знайденими в результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

255

Задача 4.2.

У нашому випадку функція має вигляд y x2 2x 17 .

x1

1.Знаходимо область визначення функції. Функція існує при всіх значеннях х, за винятком значення х = –1. Звідси її область визначення: x , 1 1, .

2.Точках= –1 єточкоюрозриву функції.

Дослідимо характер розриву:

Точка х = –1 — точка розриву другого роду.

3.Вертикальні асимптоти. Пряма х = –1 є вертикальною асимптотою графіка функції.

4.Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат:

а) з віссю Ох крива не перетинається, оскільки рівняння

x2 2x 17 не має дійсних коренів; x 1

б) з віссю Оу: х = 0, у = 17; шукана точка (0; 17).

5. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання функції; результати заносимо в таблицю (наведено далі):

Критичними точками х1 = –5, х2 = 3 розіб’ємо область визна-

чення на чотири інтервали: (– , –5), (–5, –1), (–1, 3), (3, + ). Ви-

256