bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

Шукатимемо частинний розв’язок такого рівняння, використовуючи метод Ейлера, у вигляді у = еrx, де r — константа. Підставляючи в ліву частину, матимемо e rx( r n + a1 r n – 1 ++ a2 r n – 2 + . . . .+ a n – 1 r + an) = 0. Останній вираз тотожно дорівнюватиме нулю, а отже, і е rx буде розв’язком, якщо r — корінь рівняння:

rn + a1 rn – 1 + a2 r n – 2 + . . . . + a n – 1 r + an = 0,

яке називають характеристичним для відповідного диференціального рівняння. Розглянемо деякі випадки однорідних рівнянь другого порядку на прикладах.

305

306

Розділ 8. РЯДИ

Числові ряди

Числовим рядом називається вираз виду

u1 u2 un un ,

n 1

а числа u1 u2, … — членами ряду; n-й член un має назву загаль-

ний член ряду.

Частинні суми ряду утворюють таку числову послідовність:

S1 u1,

S2 u1 u2 ,

Sn u1 u2 ... un ,

Числовий ряд називається збіжним, якщо існує границя

виконується нерівність un vn , то

1) зі збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1); 2) із розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (2).

307

Ознака порівняння в граничній формі

Якщо для рядів із додатними членами (1) і (2) існує границя lim un C 0 C , то ці ряди або обидва збіжні, або обидва

n vn

розбіжні.

Для застосування ознаки порівняння крім досліджуваного ряду потрібно будувати ряд порівняння, збіжність якого відома або її можна легко встановити.

Як ряд порівняння рекомендується брати такі ряди:

Ознака Коші (радикальна)

Якщо длязнакододатного ряду існуєграниця lim n un l , то

при l < 1 — ряд збіжний; при l > 1 — ряд розбіжний;

n

при l = 1 — питання про збіжність ряду ознака не розв’язує.

Ознака Коші (інтегральна)

Якщо функція f (x) — неперервна, додатна і монотонно

f x dx або обидва збіжні, або обидва розбіжні.

1 Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченну кількість як додатних, так і від’ємних членів.

308

Збіжність знакозмінних рядів може бути абсолютна чи

умовна.

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо він збіжний, а також збіжним є ряд, складений з абсолютних величин його членів.

Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо він збіжний, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розбіжний.

Достатня умова збіжності знакозмінного ряду.

Якщо збіжний ряд буде складено з абсолютних величин членів знакозмінного ряду, то збіжним виявиться і сам знакозмінний ряд.

Знакозмінний ряд виду а1 а2 а3 а4 ... 1 n 1 an ...,

an 0 називається знакопочерговим.

Ознака Лейбніца

Якщо для знакопочергового ряду виконуються такі умови: 1. a1 a2 an an 1

2. lim an 0 ,

n

то знакопочерговий ряд буде збіжним.

Задача 8.1. Дослідити збіжність ряду f n (для знакозмінного

n 1

ряду встановити, абсолютною чи умовною є його збіжність).

1.f n n2 3n 1 n2 1.

На основі цих даних побудуємо такий ряд:

Загальний член цього ряду un f n n2 3n 1 n2 1 0 , а тому ряд є знакододатним.

309

Перевіримо для цього ряду необхідну умову збіжності:

необхідна умова збіжності не виконується, а тому ряд є розбіжним.

Побудований ряд порівняння є збіжним рядом Діріхле

р 3 1 , а тому ідосліджуванийряд єзбіжним заознакою порів-

2

няння.

310

Отже, даний ряд за ознакою Даламбера збігається.

Отже, даний ряд за ознакою Коші збіжний.

311

Щоб виявити тип ряду, розгорнемо його:

Дослідимо збіжність знакододатного ряда за допомогою озна-

За ознакою Даламбера ряд, утворений із абсолютних величин членів ряду, збігається. Отже, збігається і початковий ряд, причому абсолютно.

312