bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

Площа фігури

1.Припустимо, у = f (х) — невід’ємна і неперервна на відрізку [a; b]. Тоді площа S під графіком кривої у = f (х) на [a;

b] чисельно дорівнює визначеному інтегралу b f x dx :

a

y = f (x)

Обчислення об’ємів тіл обертання

Нехай на відрізку [a; b] задано неперервну знакосталу функцію y f x . Потрібно знайти об’єм Vx тіла, утвореного

296

x2 1.

Отже, за формулою (2) маємо:

Виконаємо рисунок тіла обертання фігури, обмеженої даними лініями, навколо осі Ох.

Застосовуємо формулу (3):

297

298

Формули наближеного обчислення визначеного інтеграла

3.Формула параболічних трапецій (Сімпсона):

a

користуючись формулами:

а) лівих прямокутників; б) правих прямокутників; в) трапецій; г) Сімпсона,

якщо a 7; b 17, f x 3x5 1 1/ 2 , n 10.

Обчислимо значення f xi , i 0, ..., 10 , і наведемо їх у таблиці:

299

Підставивши знайдені значення y формули (1), (2), (3), (4), дістанемо:

1.а) І 0,0174; б) І 0,0134.

2.І 0,0154.

3.І 0,01529.

Задача 6.14. Нехай f(x) — навантаження на електростанцію (у кіловат-годинах); х — кількість годин, що відраховуються від початку доби. Обчислити витрати електроенергії за n діб, якщо

f x 3x2 16x 42; n 5.

Витрати електроенергії обчислюються за формулою:

b

Витрати = f x dx.

a

У даному випадку а = 0, b = 5 24 = 120. Отже,

300

Задача 6.15. Витрати виробництва К(х) визначаються за формулою:

К х х2 х ,

де х — кількість вироблених одиниць продукції. Обчислити середнє значення витрат виробництва, якщо обсяг його змінюється від а до b умовних одиниць. Знайти обсяг продукції, при якому витрати набувають середнього значення; 1, 5,

6, а 1, b 11.

Середнє значення функції К(х) можна знайти за теоремою про середнє:

301

Знайдемо обсяг продукції, при якому витрати набувають середнього значення 80,33. Для цього розв’яжемо рівняння:

х2 5х 6 80,33;

х2 5х 74,33 0;

D 25 4 74,33 322,32 17,95 2 ;

x1, 2 5 17,95 ; 2

х1 < 0 — не задовольняє умову задачі.

Тому х 6,476.

302

Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

де f(x), x (a; b); g(y), y (c; d) — неперервні функції. Загальним інтегралом рівняння (1) є

f x dx g y dy c ,

де с — довільна стала.

До рівняння (1) зводиться диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

Якщо f1(x) 0, g(y) 0, то, поділивши обидві частини рівняння (2) на добуток f1(x)g(y) (а рівняння (3) на g(y)), дістанемо рівняння виду (1):

g1 ( y) dy f (x) dx 0 , g( y) f1 (x)

загальним інтегралом якого є g1 ( y) dy f (x) dx C . g( y) f1 (x)

Задача 7.1. Знайти загальний розв’язок рівняння

х + ху + + у (у + ху) = 0.

Запишемо це рівняння у вигляді x (1 + y) dx + y (1 + x) dy = 0.

302

Обчислимо інтеграл

дістанемо загальний розв’язок заданого рівняння x + ln x + y + ln y = C.

Диференціальне рівняння називається лінійним, якщо воно лінійне відносно шуканої функції у (х) та всіх її похідних:

де функції р(х), g (x), f (x) — неперервні на деякому інтервалі

(a; b).

Розв’язок рівняння (4) шукаємо у вигляді y u(x) v(x) . Одна з цих функцій вибирається довільно, при цьому інша функція має визначатися залежно від першої так, щоб їхній добуток u v задовольняв рівняння (4). Цей метод відшукання розв’язку рівняння (4) називається методом Бернуллі. Для розв’язання рів-

няння (4) ще застосовується метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа).

Задача 7.2. Знайти розв’язок рівняння y cos2x + y = tg x, який задовольняє умову у (0) = 0.

Нехай y = u(x) v(x), тоді y = u v + uv . Після підставлення в рівняння матимемо u v cos2x + u(v cos2x + v) = tg x. Виберемо функцію v(x) так, щоб вираз у дужках лівої частини рівняння дорівнював нулю, а саме: v cos2x + v = 0. Інтегруючи це рівняння,

розв’язки рівняння подаються у вигляді y (x) = tg x – 1 + Ce–tg x.

Використовуючи умову у (0) = 0, знаходимо значення сталої С; 0 = –1 + С; С = 1 і відповідний частинний розв’язок рівняння: y(x) = tg x – 1 + e–tg x.

303

Диференціальне рівняння P(x, y)dx + Q(x, y) dy = 0 назива-

ється однорідним, якщо P(x, y) та Q(x, y) є однорідними функціями одного й того самого виміру. Нагадаємо, що f (x, y) називають однорідною функцією виміру m, коли вона задовольняє тотожність f (tx, ty) = tm f (x, y) для всіх t > 0.

Згідно з припущенням про однорідність функцій P (x, y) i Q (x, y) диференціальне рівняння можна записати у вигляді:

Застосувавши заміну y = ux, дістанемо:

ним, якщо f (x, y) — однорідна функція нульового виміру.

Задача 7.3. Розв’язати рівняння: y2dx + (x2 – xy) dy = 0.

Візьмемо y = ux, dy = udx + xdu. Тоді x2u2dx + (x2 – x2u) (udx + xdu) = 0, або dxx 1 u u du 0. Після інтегрування маємо:

lnx+ lnu – u = ln C. Остаточно маємо: y C exp xy .

Рівняння виду y(n) + a1y(n–1) + a2y(n–2) + . . . . + an–1 y + any = f (x),

де ai — сталі, називають лінійним рівнянням зі сталими кое-

фіцієнтами. Таке рівняння завжди можна зінтегрувати, тобто знайти його загальний розв’язок.

Спинимося спочатку на відповідному йому однорідному

рівнянні: y(n) + a1 y(n–1) + a2 y(n–2)+ . . . . + an–1 y + any = 0.

304