bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

2. Поділ відрізка у даному відношенні

Якщо точка М(x; y) лежить на прямій (рис. 1.7), що проходить через точки М1(x1; y1) та М2(x2; y2), то її координати обчислюються за формулами:

Рис. 1.7 Рис. 1.8

Приклад 1. Відрізок між точками А(2; –5) та В(7; 10) поділено на п’ять рівних частин (рис. 1.8). Знайти координати точок поділу.

Розв’язання. Знайдемо відношення, в якому точка М1(х1; y1) поділяє

374

Для точки М2 (х2; y2) відношення AM2 2 , і її координати

M 2 B 3

М3 (5, 6) і М4 (7, 5).

Приклад 2. Проведено відрізок від точки А(–3; 3) до точки В(3; –2). До якої точки потрібно продовжити цей відрізок, щоб його довжина збільшилась утричі?

Розв’язання. Якщо довжина відрізка АВ збільшиться втричі, то відношення, в якому шукана точка М поділяє відрізок АВ (рис. 1.9), дорів-

нює AMMB . Знак «–» вибрано тому, що точка М не належить відрізку

продовжити до точки М (11; –12).

Приклад 3. Знайти довжину медіани АD (рис. 1.10) трикутника з ве-

ршинами А(1; 3), В(2; 1) та С(–4; –3).

Розв’язання. Медіана AD поділяє сторону ВС пополам, тому координати точки D обчислюємо за формулами (1.5):

Тепер знайдемо відстань між точками А(1; 3) та D(–1; –1):

375

AD 1 1 2 1 3 2 20 2 5.

Приклад 4. Знайти довжину бісектриси АD (рис. 1.11) трикутника з вершинами А(–3; 1), В(1; 4) та С(3; 9).

Рис. 11

Розв’язання. Бісектриса внутрішнього кута трикутника поділяє протилежну сторону у відношенні, пропорційному до довжин прилег-

сторону ВС: DCBD ACAB 105 12 . Тепер знаходимо координати точки

D:

376

Приклад 5. Дано дві суміжні вершини паралелограма А(–2; –1) і В(3; 1) (рис. 1.12) та точку перетину його діагоналей М(1; 2). Знайти координати двох інших вершин паралелограма.

Розв’язання. Точки С та D поділяють відрізки АМ та ВМ у відношенні 2. Тому

Приклад 6. Дано вершини трикутника А(–3; –1) і В(1; 5) та точку перетину медіан М(2; 0). Знайти координати третьої вершини С.

Розв’язання. Нехай CD –– медіана, проведена з вершини С (рис. 1.13). Точка D — це середина відрізка АВ, за формулами (1.5) вона має координати D (–1; 2). Медіани трикутника в точці перетину поділяються у відношенні 2:1. Звідси випливає, що точка С поділяє відрізок MD у відно-

шенні MCCD 23 . Її координати обчислюємо за формулами (1.4):

377

Таким чином, точка С має координати С(8; –4).

2.Рівняння лінії на площині

2.1.Поняття рівняння лінії. Перетин ліній

Нехай на площині задано прямокутну систему координат xOy. Рівняння з двома змінними

яке задовольняють координати x та y кожної точки лінії і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на лінії, називається рів-

нянням лінії.

Змінні x та y в рівнянні (2.1) називаються змінними координатами її точок.

Надалі замість виразу «дано рівняння лінії F(x, y) = 0» будемо казати скорочено: дано лінію F(x, y) = 0.

Для знаходження координат точок перетину ліній F1(x, y) = 0 та F2(x, y) = 0 потрібно розв’язати систему рівнянь

Якщо ця система рівнянь несумісна, то це означає, що дані лінії не перетинаються.

Приклад 1. Визначити, які з точок М1(2; 1), М2(–3; 4), М3(–1; 7) ле-

жать на лінії 2x +y – 5 =0.

Розв’язання. Підставляємо координати даних точок в рівняння лінії і переконуємось, що це рівняння задовольняють координати точок M1 та M3 і не задовольняють координати точки M2. Таким чином, точки M1 та M3 лежать на лінії 2x +y – 5 =0, точка M2 не лежить на цій лінії.

Приклад 2. Знайти точки перетину кола x2 + y2 – 2x + 4y – 8 = 0 з віссю абсцис.

378

Розв’язання. Рівняння осі абсцис y = 0, тому точки перетину кола та осі Ox знаходимо, розв’язуючи систему рівнянь:

Розв’язання. Точки перетину ліній знаходимо, розв’язуючи систему рівнянь:

2.2. Рівняння лінії як геометричного місця точок

Нехай лінію задано як геометричне місце точок, що мають деяку одну

йту саму властивість. Для того щоб скласти її рівняння, потрібно:

1)вибрати довільну (змінну) точку М(х; y) цієї лінії;

2)записати спільну властивість точок лінії у вигляді рівності;

3)виразити геометричні образи (відрізки, кути тощо), які входять у записану рівність, через координати змінної точки М(х; y).

Приклад 1. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох даних точок A(1; 3) та В(–5; 2).

379

Розв’язання. Нехай точка М(х; y) — довільна точка лінії. Геометричну властивість даної лінії можна записати у вигляді

Виразимо довжини відрізків, що входять до складу рівності (2.3), через координати точок A, B та M:

AM x 1 2 y 3 2 , BM x 5 2 y 2 2 .

Підставивши здобуті вирази в рівність (2.3), дістанемо рівняння шуканої лінії:

Справді, для кожної точки М(х; y), що лежить на лінії, виконується рівність (2.3), а отже, вона задовольняє рівняння (2.4). Для кожної точки M, що не лежить на даній лінії, не виконується рівність (2.3), і тому її координати не задовольняють рівняння (2.4). Рівняння (2.4) можна суттєво спростити. Якщо піднести обидві його частини до квадрату, розкрити дужки та звести подібні члени, дістанемо

Це і є рівняння даної лінії. Таким чином, рівняння (2.5) є рівнянням перпендикулярадовідрізкаАВ, проведеногочерезсерединуцьоговідрізка.

Приклад 2. Скласти рівняння геометричного місця точок, сума квадратіввідстанейяких віддвохданихточокA(–a; 0) таB(a; 0) дорівнює4a2.

Розв’язання. Позначимо довільну точку лінії через М(х; y). З умови задачі випливає, що

(2.6)

Виразимо довжини відрізків AM та BM через змінні координати точки M:

AM x a 2 y2 , BM x a 2 y2 .

Підставляючи здобуті вирази у рівність (2.6), знаходимо рівняння, яке задовольняють координати x і y точки М:

Це і є рівняння даної лінії. Справді, для кожної точки М, що лежить на цій лінії, виконується умова (2.6), а отже, координати точки М задо-

380

вольняють рівняння (2.7); для кожної точки М, що не лежить на лінії, не буде виконуватися умова (2.6), а отже, її координати не будуть задовольняти рівняння (2.7).

Рівняння (2.7) є рівнянням кола радіуса а з центром у початку координат.

Приклад 3. Скласти рівняння геометричного місця центра ваги трикутника, дві вершини якого A(1; 0) та B(5; 0), якщо третя вершина лежить на бісектрисі першого та третього координатних кутів.

Розв’язання. Центр ваги трикутника міститься в точці М(х; y) перетину його медіан (рис. 2.1).

Точка С лежить на бісектрисі координатного кута, тому xC = yC. Звідси

3x – 6 = 3y, або x – y –2 = 0.

Приклад 4. Скласти рівняння геометричного місця середин тих хорд кола x2 + y2 = 25, довжина яких дорівнює 8.

381

Розв’язання. Розглянемо хорду АВ, що сполучає точки A(a; b) та B(c; d). Нехай її середина — точка M(x; y) (рис. 2.2). Точки А та В лежать на колі, тому їхні координати задовольняють рівняння кола, тобто

За умовою довжина хорди AB = 8. Звідси (c – a)2 + (d – b)2 = 64, або c2 + d2 + a2 + b2 – 2ac – 2bd = 64. Ураховуючи (2.8), з останньої рівності дістанемо:

Таким чином, рівняння шуканого геометричного місця точок має вигляд x2 + y2 = 9.

2.3. Рівняння лінії в полярній системі координат

Нехай на площині задано точкуО, яка називається полюсом, та вісь ОР,

яка називається полярною віссю (рис. 2.3). Назвемо полярним радіусом

точки М її відстань r = OM і полярним кутом точки М — кут φ між полярною віссю та відрізком ОМ. Тоді кожній точці площини відповідає єдина пара чисел (r; φ), які називаються полярними координатами точки.

382

Якщо взяти полюс за початок декартової прямокутної системи координат, а полярну вісь — за вісь Оx (рис. 2.4), то декартові координати (x; y) точки М та її полярні координати (r; φ) будуть пов’язані залежностями

Розв’язання. За формулами (2.10) x 4 cos 3 2, y 4sin 3 2 3. .

Таким чином, у декартових координатах M 2;2 3 .

Приклад 3. Скласти рівняння кола, що проходить через полюс, якщо його центр міститься на полярній осі, а радіус дорівнює а (рис. 2.5).

383