Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный экономический университет им. В. Гетьмана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

.pdf

Скачиваний:

114

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4237 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

ТАБЛИЦЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОГО РІВНЯННЯ 2-ГО ПОРЯДКУ

				s a11 a22 ,																												0,

																										2												y
																										2

									b2 ,								1							2					a b,								sgn 1


					2

																																					sgn 2
																s 0,
1																																						O1	x

																				0																	sgn
								X 2 Y 2												0																	sgn
							1									2
																																						Еліпс
																																						Еліпс
				X 2									Y 2
										b2 1 2 s 0
			a2							b2 1 2 s 0
0,																	0,																a2 ,					y



														1																1							sgn 1
																																					sgn 1
2 s 0,																				0,														b	2	.	sgn 2
2 s 0,														2						0,										2				b		.		O1	x
														2																2								O1	x
													X 2						Y	2			1														0
													a2						b	2			1															Уявний еліпс
													a2						b	2																		Уявний еліпс

					0,											X 2 Y 2																0,
														1											2
									1												1
	a			2					1					,	b			2			1						,				0,							y
	a										1			,	b							2					,				0,						sgn 1
												X 2				Y 2																					sgn 1
																								0,													sgn 2
3																																							x
													a2																										x
													a2						b	2																	0	O1
																																					0	O1
		X							i					Y	X							i					Y						0;
																																						Дві уявні прямі,
						a								b					a									b
						a								b					a									b
																																						що перетинаються

i 1 уявна одиниця

354

ТАБЛИЦЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОГО РІВНЯННЯ 2-ГО ПОРЯДКУ

1 2 0,

1 0,

a2 ,

2 0,

sgn 1

b2 ,

a11

sgn 2

О1

a12

(тут 1 , якщо

1 0 )

1 X 2 2Y 2

Гіпербола

X 2

Y 2

a2 ,

b2 ,

sgn 1

sgn 2

y x

0 0,

Дві прямі,

b a

що перетинаються

a11

a22 0,

0, a

0, Y 2 2 pX ,

s a11 a22 ,

a12

— рівняння осі

a11

О1

симетрії

O1 X O1Y

F 0,

a12

0 O1 x0 , y0

a11

Парабола

— вершина a

a a 0,

355

ТАБЛИЦЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОГО РІВНЯННЯ 2-ГО ПОРЯДКУ

0 дві дійсні па-

ралельні прямі: y2 b2

y b y b 0

– b

0 дві уявні пара-

лельні прямі:

y2 b2

y ib y ib 0

– ib

0 дві збіжні дій-

сні прямі: y2 0

Таким чином, існує 9 різних типів кривих ліній 2-го порядку.

ЗАДАЧА

Знайти канонічне рівняння лінії

13x2 10xy 13y2 36x 36 y 36 0.

Розв’язання. Обчислюємо:

13	5		13	5	18		0	8	22


		144,	5	13	18	36	0	8	14
5	13		18	18	36		1	1	1
			18	18	36		1	1	1

10568 72 144.

s a11 a22 26 , s 0, 72.

Характеристичне рівняння:

356

2 26 144 0 ,

його корені:

1		8,			2 18;			1 2				a b
Отже, sgn sgn			2	sgn крива — еліпс.
1			2
Канонічне рівняння:
Канонічне рівняння:
8X	2		18Y		2	72		0		X 2			Y 2	1.
8X			18Y			72		0		9			4	1.
Координати центра O1 x0 , y0										9			4
Координати центра O1 x0 , y0							симетрії кривої:
	13x 5y 18 0,								O1(1,1) .
									O1(1,1) .
	5x 13y 18 0
Кутовий коефіцієнт великої осі О1Х
k 8 13				1 cos						1	,	sin			1	.
k 8 13				1 cos						2	,	sin			2	.
5										2					2
Точки перетину кривої з координатними осями Оху: M 2 3,55; 0 ;
M1 ( 0,78; 0); M 3 (0; 0,78); M 4 (0; 3,55)								(рис. 6.1).

	135°	X
	01	X
M1 o		M х
Y	M3
Y

Рис. 6.1

357

6.3. Площина. Основні поняття, формули, рівняння

Вигляд рівняння площини П визначається її різним однозначним розміщенням в координатному просторі Охуz. Розглянемо випадки

1—9.

1. Точкою M 0 x0 , y0 , z0 П інормаллюплощини n A, B, C (рис. 6.2).

M0	r
	r	П
		П
		M

Оу

Рис. 6.2

Змінний вектор

x, y, z П,

. Тому

M 0 M

A, B,C x x0 , y y0 , z z0 0. Звідси дістаємо загальне рі-

вняння площини:

Ax By Cz D 0,

де D x A y

B z

C, A2 B2 C2

0, тобто вектор

Залежно від значень параметрів А, В, С, D загального рівняння пло-

щини П визначаються такі її положення в просторі Оxyz:

а) D 0,

A, B,C 0

O 0,0 П;

е) С D 0, A, B 0

Oz П;

б) С 0,

A, B, D 0 П|| Oz;

є) A D O, B,C 0 Ox П;

в) B 0,

A,C, D 0 П|| Oy;

ж) A B 0, C, D 0 П || Oxy;

г) A 0,

B,C, D 0 П|| Ox;

з) A C 0, B, D 0

П || Oxz;

д) B D 0,

A,C 0 Oy П;

и) B C 0, A, D 0

П || Oyz;

і) B C D 0, A 0 або A C D 0, B 0,

358

або A B D 0, C 0 x 0, або y 0 , або z 0 — це відповідно рівняння координатних площин: Oyz, Oxz, Oxy.

Площина П поділяє простір Оxyz на два півпростори (дві області

множини точок). В одному з них, де лежить кінець вектора n, вираз

Ax By Cz D 0 , а в другому Ax By Cz D 0 .

За формулою

cos

;

cos n , ON 0, n , ON 2 .

2.Двомапрямимиl1 іl2 , щоперетинаютьсявточці M 0 x0 , y0 , z0 l1 l2

івідповідними напрямними векторами v1 m1, p1, q1 і v2 m2 , p2 , q2 (рис. 6.3).

1	n

M0	v2

v1	r
	r
		2
0		M
0		у
		у
x
Рис. 6.3

Змінний вектор площини OM r x x0 , y y0 , z z0 . Нормаль площини n v1, v2 дорівнює

v v1 v2 .

Рівняння площини: n r 0 .

359

3. Трьома заданими точками M1 x1, y1, z1 , M2 x2 , y2 , z2 і M3 x3 , y3 , z3

(рис. 6.4). Нехай M1M r x x1, y y1, z z1 — змінний вектор площини. Її напрямні вектори:

v1 M1M3 x3 x1, y3 y1, z3 z1 ;

v2 M1M 2 x2 x1, y2 y1, z2 z1 .

Тоді нормаль площини

Рівняння площини:

0 .

Рис. 6.4

4. Рівняння площини у відрізках

на координатних осях:

1 ,

де числа a,b i c — абсциса, ордината і аплікатою відповідно точок A(a,0,0), B (0,b,0) i C (0,0,c) перетину площини з координатними осями

(рис. 6.5), де a a, b b, c c ).

360

z C

П
О	у
B	у

Рис. 6.5

5. Відстанню

p 0 початку координат до площини П і нормаллю

площини

cos , cos , cos ,

(рис.

6.6).

M x, y, z П,

x, y, z — змінний вектор. Звідси

Пр

p cos , cos , cos x, y, z p ,

n r

або x cos y cos z cos p 0 — нормальне рівняння площини.

		z
			n0
			M0
			r
			M
			П

		0	у
		0	у

Рис. 6.6

361

6. Зведення загального рівняння площини до нормального вигляду. Із

загального

рівняння

площини

Ax By Cz D 0 n

A, B, C ,

A2 B2 C2 , cos

cos

, cos

. Тоді

x cos y cos z cos p 0 x

0 ,

або

Ax By Cz D

(знак

перед коренем вибираємо протилежним знаку D за умовою:

0 ).

Маємо зведене загальне рівняння площини до нормального вигляду.

Відстань

d 0

точки

N (x1, y1, z1) від

площини

x cos y cos z cos p 0 :

x1 cos y1 cos z1 cos p

Якщо площину задано загальним рівнянням, то

Ax1 By1 Cz1 D

A2 B2

Число d називається відхиленням точки N(x,y,z) від площини

Ах+ Ву+ Сz + D = 0. Тричлен Ах+ Ву+ Сz + D 0 (або Ах+ Ву+ Сz + D 0),

коли точка N і початок координат лежать по різні боки (по один бік) від

площини.

Р1 : A1x B1 y C1z D2 0,

8. Взаємне розміщення двох площин

1 A1, B1, C1 і Р 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0,

2 A2 , B2 , C2 :

а) площини перетинаються

П1 П2 l

;

б) площини паралельні П || П

;

в) площини суміщаються.

362

9. Кут

між двома площинами П1: A1 x B1 y C1 z D1 0 і

П2: A2 x B2 y C2 z D2 0 відповідно з нормалями n1 i n2. За формулою скалярного добутку

		cos		n1		n2				A1 A2		B1 B2 C1C2								.
		cos																		.
				n1			n2		A2	B 2	C		2		A2		B 2	C 2
									1	1	1				2		2	2
									ЗАДАЧІ
1.	Знайти			рівняння						площини							П,	якщо			точки
M1 (1,0, 1), M 2 (2,2,3), M3 (0, 3,1) П .
Розв’язання. Вектори									1, 2, 4 ,							1, 3,2 ,						.
Розв’язання. Вектори					M1M 2				1, 2, 4 ,			M1M 3				1, 3,2 ,			M1M 2		M1M 3	.
										i
										i		j		k		16, 6, 1 .
										1	2		4
		n	M1M 2					M1M3		1	2		4
										1 3			2

Рівняння площини П(M1 П) :

16 x 1 6 y 0 z 1 0 16x 6 y z 17 0.

2. Знайти рівняння площини П, що проходить через лінію перети-

ну l площин П1 : x 2 y 3z 4 0 i П2 : x y 5z 9 0 і паралельно осі Оz.

Розв’язання. Площина П належить пучку з віссю l:

x 2 y 3z 4 x y 5x 9 0

1 x 2 y 3 5 z 4 9 0

Нормаль площини П: n k 1 , 2, 3 5 0,0,1 0,

звідки 3 5 0 53 . Рівняння площини П має вигляд:

	3		3		2		3	5	3		9	3	0	8x 7 y 7	0.
1	5	x		5		y			5	z 4		5

363

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 4237 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20251.67 Mб0biznesplan_correct111.doc
#
07.03.2016116.21 Кб88biznes_dkr.docx
#
09.09.2019715.78 Кб2BLOCK-4.doc
#
07.03.2016139.78 Кб12Blok_10_11.doc
#
01.05.202549.52 Кб0Blok_viznachen1.docx
#
07.03.20165.29 Mб114bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki.pdf
#
01.05.2025876.03 Кб0BM.doc
#
22.03.2015389.92 Кб16BNP Paribas Inc in Consumer Finance.docx
#
01.05.202529.45 Кб0Boo.docx
#
17.09.20191.92 Mб26Book.doc
#
22.03.20152.54 Mб14Bosch2.docx