bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki
.pdf
Зауваження. За допомогою першої особливої границі та її
наслідків можна досліджувати невизначеності типу 0 |
|
для |
|||
|
|
|
0 |
|
|
виразів, що містять тригонометричні функції. |
|
|
|||
|
1 |
x |
e — друга особлива границя. |
|
|
lim 1 |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Границі — наслідки другої особливої границі:
1
1. lim 1 х x e . 3.
x 0
2. |
|
|
a bx |
e |
ab |
. 4. |
lim 1 |
|
|
||||
|
x |
|
x |
|
|
|
lim ln (1 x) 1.
x 0 x
lim ex 1 1.
x 0 x
Зауваження. За допомогоюдругої особливої границіта їїнас-
лідківможнадосліджуватиневизначеностітипу |
0 |
, |
|
1 . |
|
, |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Означення. Дві нескінченно малі величини x та x на-
зиваються еквівалентними, якщо при x a lim x 1.
x a x
При дослідженні відношення нескінченно малих величин їх можна замінювати еквівалентними.
Виходячи з наслідків першої та другої особливих границь, можна записати таку шкалу еквівалентності нескінченно малих величин при x 0 :
x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctg x ~ ex 1 ~ ln (x 1) .
Приклад 6.
Знайти границю lim tg 7x sin 3x . x 0 15x
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу 0 .
0
Спростимо вираз за допомогою тотожних перетворень і застосуємо першу особливу границю.
237
Дістаємо:
lim |
tg7x sin 3x |
0 |
|
lim |
tg7x |
lim |
sin 3x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
15x |
|
|
15x |
15x |
|
|
|
||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
0 |
|
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
sin 7x |
|
lim |
sin 3x |
|
1 |
|
lim 7 sin 7x |
|
|
1 |
lim |
3 sin 3x |
|
||||||||
cos 7x 15x |
|
15x |
|
15 |
3x |
|||||||||||||||||||
|
x 0 |
x 0 |
|
15 |
|
x 0 |
7x |
|
x 0 |
|
||||||||||||||
|
7 |
|
|
3 |
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Відповідь. 154 .
Приклад 7.
Знайти границю lim 
x2 4 2 . x 0 
x2 16 4
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу 0 . По-
0
множимо і поділимо знаменник і чисельник даного дробу на відповідні спряжені вирази. Скористаємось формулою:
(a b) (a b) a2 b2 .
Маємо:
lim |
|
x2 |
|
4 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 0 |
|
16 4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
4 |
|
2 |
|
|
x |
2 |
|
4 2 |
|
x |
2 |
16 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 0 |
|
|
x |
2 |
16 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
16 |
|
|
x |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
4 4 |
|
x |
2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 4 |
|
8 |
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|||||
x |
|
|
16 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||
x 0 |
2 |
x |
2 |
4 |
|
x 0 |
x |
2 |
x |
2 |
4 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приклад 8. |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin (1 4x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Знайти границю lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
16x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
238
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу 0 .
0
Введемо заміну |
x |
1 sin y . |
Якщо х прямує до |
1 |
, то y прямує до |
|
|
4 |
|
4 |
|
0:y arcsin (1 4 14) 0 .
Маємо:
|
|
arcsin (1 4x) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
arcsin (1 4x) |
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
16x |
2 |
1 |
|
(4x 1)(4x |
1) |
|||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
1 |
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4(1 sin y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
sin y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
y |
|
|
lim |
|
|
|
1 |
|
|
1 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
sin y |
|
|
|||||||||||||
|
y 0 sin y 2 sin y |
|
|
y 0 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
Відповідь. |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Зауваження. Невизначеності типу |
|
та |
0 |
|
зручно роз- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
кривати, користуючись правилом Лопіталя: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f (x) |
lim |
|
f (x) |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тобто необхідно знайти похідну від чисельника і похідну від знаменника дробу, а потім обчислити здобуту границю безпосереднім підставленням.
Приклад 9. |
|
|
|
|
|
|
Знайти границю |
lim |
2 2cos x |
. |
|||
|
||||||
|
x |
|
tg |
|
|
|
|
4 |
x |
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
239
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу 0 .
Знайдемо границю за допомогою правила Лопіталя:
0
lim
x
4
2 2cos x |
|
0 |
lim |
|||
|
|
0 |
||||
|
x |
|
||||
tg x |
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2cos x |
lim |
|
2sin x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
cos |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim 2sin x cos |
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 2. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 3.1-2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Знайти границю lim (x) ( x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Невизначеності типу , 0 , 0 , 00 шляхом тотожних |
||||||||||||||||||||
перетворень зводять до невизначеностей типу |
|
або 0 |
та |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
розкривають за допомогою методів, розглянутих у попередніх |
||||||||||||||||||||
прикладах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приклад 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
||||
Знайти границю |
|
|
3x |
2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
x |
2 |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу |
|
|
||||||||||||||||||
. |
||||||||||||||||||||
Знайдемо границю основи (див. приклад 2). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
3x2 |
x 1 |
|
|
lim |
|
x |
2 |
1 |
|
|
||
x |
|
|
|
x |
||
невизначеності: lim 3x 3 .
Відповідь. .x
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
x |
|
x2 |
3 , що не приводить до |
|||
|
|
|
||||
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
240
Приклад 11.
Знайти границю |
|
|
|
|
2x 7 5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдемо границю основи (див. приклад 2): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 7 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
, що не приводить до невизна- |
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3x 1 |
|
|
|
|
1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 5x 2 |
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ченості: |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Відповідь. 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приклад 12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
3x |
1 |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Знайти границю |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2x |
2x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдемо границю основи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x2 3x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
x |
|
1. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2x |
2 |
2x |
1 |
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Маємо невизначеність типу 1 |
, котру розкриваємо за допомо- |
|||
гою другої особливої границі: |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
e. |
lim 1 |
n |
|
||
n |
|
|
|
|
241
|
2x |
2 |
3x |
|
1 |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
3x 1 |
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
2x |
2 |
2x |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2x |
2 |
|
2x 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x 2 3x 1 2x 2 |
2x 1 |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
5x 2 |
|
|
|
x 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
2x |
2 |
2x |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 2 x 1 |
5x 2 |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 2 |
|
2 x2 2 x 1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5x 2 x 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim e |
3(2 x2 2 x 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2x 2 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
13 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
5x2 13x 6 |
|
|
|
|
lim |
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
e x 3( 2 x |
|
2 x 1 ) |
e |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x2 |
e 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь. e6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Приклад 13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Знайти границю |
|
|
lim |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5x x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу . Помножимо та поділимо вираз на спряжений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x x |
|
5x x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
x |
|
|
5x x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
5x |
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
5x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|||
|
x2 5x x |
|
|
5x x |
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
x x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
Відповідь. |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Знайти границю lim 1 2x tg x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
242
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу 0 .
lim 1 |
2x tg x 0 |
lim |
1 2x |
|
0 |
. |
|||
|
1 |
|
|
1 |
ctg x |
|
|
0 |
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
||
Розкриємо невизначеність за допомогою правила Лопіталя:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
2 |
x |
|
|
2 |
|
||||||
lim 1 2x |
lim |
|
1 2x |
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 2 |
ctg x |
x 2 |
|
ctg x |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Відповідь. |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приклад 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Знайти границю lim(x)tg x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Безпосереднє підставлення дає невизначеність типу 00 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Припустимо |
lim(x)tg x y, |
тоді |
ln y ln lim xtg x ; |
|
ln y lim ln xtg x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln y lim tg x ln x. |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim tg x ln x 0 lim |
|
ln x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Застосуємо правило Лопіталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
lim |
lim |
|
ln x |
|
lim |
|
|
x |
|
|
|
lim |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 ctg x |
|
ctg x |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
x |
|
lim |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln y 0; |
y 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Відповідь. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
243
Неперервність функції
Означення. Функція y f (x) називається неперервною в
точці х0, якщо: |
|
а) вона існує в цій точці; |
|
б) існують лівостороння та правостороння границі, що рівні |
|
між собою і дорівнюють значенню функції в цій точці: |
|
lim f (x) |
lim f (x) f (x0 ). |
x x0 0 |
x x0 0 |
Якщо хоча б одна з умов не виконується, то функція назива-
ється розривною в точці х0 , а сама точка — точкою розриву.
Розрізняють такі типи розривів:
1. Розрив першого роду. Якщо існують скінченні односто- |
|
ронні границі, але вони не рівні між собою: |
|
lim f (x) C1, |
lim f (x) C2 , С1 С2, С1 – С2 називається |
x x0 0 |
x x0 0 |
стрибком функції. |
|
2.Усувний розрив першого роду. Якщо існують скінченні та |
||
рівні між собою односторонні границі, але вони не дорівнюють |
||
значенню функції в цій точці: |
|
|
lim |
f (x) lim |
f (x) f (x0 ). |
x x0 0 |
x x0 0 |
|
Дляусунення розриву можнафункцію довизначитив точціх0. 3.Розрив другого роду. Якщо одна або обидві односторонні границі не існують (зокрема, дорівнюють нескінченності), то
розрив у цій точці називають розривом другого роду.
Задача 3.2. Дослідити функцію y = f(x) на неперервність. Знайти точки розриву, якщо вони існують. Дослідити їхній характер, побудувати схематично графік функції.
Приклад 1.
Дослідити на неперервність та знайти точки розриву функції:
|
|
|
|
якщо |
x 2; |
x 3, |
|||||
y |
|
|
3, |
якщо |
х 2; |
|
х |
2 |
1, |
якщо |
х 2. |
|
|
||||
244
Функція визначена на множині дійсних чисел. Дослідимо поводження функції в точці х = –2 та знайдемо односторонні гра-
ниці: lim ( x 3) 2 3 5, |
lim (x 2 |
1) 5. Односторонні грани- |
x 2 0 |
x 2 0 |
|
ці рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції в цій точці: f (–2) = 3.
Маємо усувний розрив першого роду. Якщо до визначити f (–2) = 5, то функція стане неперервною. Графік функції зображено на рисунку.
y
6
5
4
3
2
1 |
|
|
|
|
–3 –2 –1 0 |
1 |
2 |
3 |
x |
Приклад 2.
Дослідити на неперервність та знайти точки розриву функції
y |
|
|
x 2 4 |
|
|
. |
|
|
x 2 |
|
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Функція визначена на множині дійсних чисел, окрім точки |
|||||||||||
х = 2. Якщо х < 2, то |
|
x 2 |
|
x 2 , якщо х > 2, то |
|
x 2 |
|
x 2 , |
|||
|
|
|
|
||||||||
тому |
|
x 2 x 2 |
x 2 , |
x 2; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x 2, |
x 2. |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
245
Обчислимо односторонні границі функції при x 2 :
lim x 2 4; |
lim x 2 4. |
x 2 0 |
x 2 0 |
Односторонні границі існують, але не рівні між собою. У цій точці маємо неусувний розрив першого роду.
Графік функції зображено на рисунку.
y
4 
2
– 2 |
1 2 |
x |
– 2
– 4 
Приклад 3.
Дослідити на неперервність та знайти точки розриву функції
1
y2 x 2 .
Функція не визначена в точці х = – 2. З’ясуємо тип розриву. Для цього знайдемо лівосторонню та правосторонню границі функції в цій точці:
1 |
|
оскільки при х < –2 значення виразу x + 2 — не- |
||||
lim 2 |
x 2 |
0, |
||||
x 2 0 |
|
|
|
|
||
скінченно мала від’ємна величина. Тоді |
1 |
— нескінченно ве- |
||||
x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
лика від’ємна величина. Аналогічно при х > –2 значення виразу x + 2 — нескінченно мала додатна величина, а — нескінчен-