12 Дәріс. Сенімділік көрсеткіштерін нүктелік және интервалдық тәсілдермен бағалау

Сенімділік көрсеткіштерін статистикалық мәліметтерге сүйене отырып анықтау, оларды нүктелік бағалау болып табылады. Статистикалық мәліметтер арнайы сынақ нәтижесінде немесе эксплуатациялау кезінде бақылау жүргізудің арқасында жинақталады.

NUN жоспары бойынша сынаққа N жұйе қойылады. Сынақ барлық жүйелер істен шыққанда ғана тоқтатылады. Жүйелердің істен шығу уақыттары t¡ тіркеледі. NUN сынағының мәліметтеріне сүйене отырып, жүйелердің істен шыққанға дейінгі жұмыс уақыттарының орта мәні былайша анықталады (нүктелік бағалануы).

T= (12.1)

Соңғы формула таралымның кез-келген заңдылықтары үшін тура. Егерде таралу заңдылықтары экспоненциалдық заңдылыққа бағынса, онда NUN жоспарынан басқа кез-келген жоспар үшін жұмыс істеу уақыттарының орта мәні былайша анықталады.

T= (12.2)

мұндағы Ѕ –сынақ кезіндегі бүкіл жүйелердің істен шыққанға дейінгі жұмыс істеу уақыттарының қосындысы , - сынақ кезіндегі бүкіл жүйелердің істен шығу сандарының жалпы қосындысы . Мысалы, NUТ жоспары үшін

S = + (N-m)T, (12.3)

мұндағы m – (О,Т) интервалында істен шыққан жүйелердің саны, t¡ - i–ші жүйенің жұмыс істеу уақыты (істен шыққан жүйелердің ішіндегі, i = 1,m)

NUR жоспары үшін

S = + (N-r)t _r , (12.4)

мұндағы tr – ең ақырғы істен шығуға сәйкес келетін уақыт

Қарапайым ағында және NRТ жоспары үшін Т*ср нүктелік бағалануы келесі формула арқылы анықталады.

T= = (12.5)

Егерде алғашқы істен шыққанға дейінгі жұмыс уақытының таралу заңы экспоненциалдық заңдылыққа бағынса, онда істен шығу қарқыны λ* істен шыққанға дейінгі жұмыс уақытының орта мәні T арқылы анықталады.

λ* = 1/ T (12.6)

Мысалы, NUN жоспары үшін

λ* = N/ (12.7)

Қалған жоспарлар үшін

λ* = / S

Қарапайым ағын параметрін ω* нүктелік бағалау істен шығу қарқынын λ* бағалаумен сәйкес келеді

Мысалға, NRТ жоспары үшін

ω* = λ* = /NТ (12.8)

Егер таралым заңдылықтары қалыпты заңдылыққа бағынса, онда істен шыққанға дейінгі жұмыс уақытының орта мәнімен қатар, таралымның екінші параметрін , яғни ортаквадраттық ауытқуын σ* бағалауға тура келеді. Мысалға, NUN жоспары бойынша

σ* = (12.9)

мұнда, істен шығу уақыты tтіркеліп отырады.

t уақыттағы істен шығу ықтималдылығы Q (t) былайша бағаланады:

Q (t) = n(t)/ N, (12.10)

Мұндағы n(t) – t уақыттағы істен шыққан жүйелер саны t = Т уақыт интервалында табылса, онда сынақ NUТ жоспарына сәйкес келеді.

Интервалдық бағалау

Инженерлік есептеулерде нүктелік бағалаудың нәтижесінде алынған сенімділік көрсеткіштері кеңінен қолданылады. Әдетте сенімділіктің орта мәндері кездейсоқ шамалардың таралу заңдылықтары туралы мәліметті бере алмайды. Мысалға, NUN жоспары бойынша сынақтан өткен жүйенің істен шығу сандары бірінші сынақ бойынша n1 (N = 21) тең, ал екінші сынақ бойынша n2 тең (N = 10). Сынақтың нәтижелері төмендегі кестемен берілген.

t 100 200 300 400 500 600 700 800

n1 6 5 3 3 1 1 1 1

n2 1 2 4 2 1 - - -

Істен шығу аралықтарындағы жүйелердің жұмыс істеу уақытының орта мәні бірінші және екінші сынақ нәтижелері бойынша сәйкесінше Т*ср1 = 6300/21 = 300час.; Т*ср2 = 3000/10 = 300 час. , яғни өзара тең. Бірақта, бірінші сынақ нәтижелері екіншімен салыстырғанда анағұрлым өзгеше, себебі Т*ср1= Т*ср2 болғанымен, істен шыққанға дейінгі уақыттардың таралым заңдылықтары бірдей емес. Бірінші сынақтікі экспоненциалдық заңдылыққа жақын, екіншісінікі – қалыпты заңдылыққа жақын. Сонымен қатар, бірінші сынақтағы жүйелер саны екіншісімен салыстырғанда екі еседей артық..

Бұл жағдай нүктелік бағалауға қарағанда ақпаратты көбірек беретін бағалау тәсілін оиластыруды қажет етеді. Мұндай тәсілдің бірі – сенімділікті интервалдық бағалау болып табылады.

Әдетте сынақ кезінде бас жиынтықтан белгілі бір n үлгі алынып, сынақ сол үлгілер үшін жүргізіледі. Сынақтан өткен үлгілердің сенімділік көрсеткіштеріне қарап, бүкіл жүйелердің (бас жиынтықтың) сенімділігіне баға беріледі. Әрине, мұндай жағдайда біраз қателіктер жіберіледі.

Δx = / x – x /,

мұндағы Δx – абсолюттік қателік, x – алынған үлгілерге тән көрсеткіштердің орта мәні (таңдамалық көрсеткіш), x– бас жиынтыққа тән көрсеткіщтердің орта мәні (сенімділіктің шынайы мәні)

Бұдан шығатыны, сенімділік көрсеткіштерінің шын мәні келесі интервалда жатады.

x – Δx < x < x + Δx, (12.11)

мұндағы x ± Δx – сенімділік интервалы (доверительный интервал) деп аталады, «+» таңбасы x параметрінің жоғарғы сенімділік шекарасына, ал «-» таңбасы – төменгі сенімділік шекарасына сәйкес келеді.

Әдетте сенімділік көрсеткіштерінің шын мәндерінің төменгі және жоғарғы шекараларын көрсету жеткіліксіз, себебі алынған нәтижелердің қаншалықты сенімділікпен алынғаны белгісіз. Алынған нәтижелердің сенімділігі – сенімділік ықтималдылығы (доверительная вероятность) арқылы бағаланады. Сонымен, сенімділік интервалы сенімділік көрсеткіштерінің дәлдігін (точность) сипаттайды, ал сенімділік ықтималдылығы – алынған нәтижелердің қаншалықты шындыққа жанасатындығын сипаттайды.

Сенімділік ықтималдылығы деп, бағаланатын шаманың шын мәні x табылған сенімділік интервалының ішіне түсу ықтималдылығын айтеды, яғни

= Р [x – Δx < xо < x + Δx] (12.12)

Сенімділік интервалының шекаралары таңдамалардың көлеміне және сенімділік ықтималдылығының мәніне тәуелді. Сенімділік интервалы мен сенімділік ықтималдылығының араларында өзара байланыс бар. Бұл байланыс таралым заңдылықтарына тәуелді болып келеді.

Кейде сенімділік ықтималдылығымен қатар маңыздылық деңгейі β (уровень значимость) қолданылады. Маңыздылық деңгейі бағаланатын шаманың шын мәні xтабылған сенімділік интервалына кірмей қалу ықтималдылығын көрсетеді (β = 1- ).

Сенімділік интервалының шекаралық мәндерін табу үшін, бағаланатын кездейсоқ параметрдің таралу заңын айқындау қажет. Таралу заңдылығы белгілі болған жағдайда, сенімділік интервалының жоғарғы және төмнгі шекаралары алдын-ала берілген сенімділік ықтималдылығын қанағаттандыратындай қылып анықталады. Кейбір әдебиеттерде түрлі таралым заңдылықтарына қарай, сенімділіктің интервалын анықтайтындай арнайы кестелер келтіріледі. Сенімділік итервалын тұрғызуды келесі қарапайым мысалмен түсіндірейк.

NUN жоспары бойынша жүйелерді (N = 10) сынақтан өткізсін. Сынақ кезіндегі жүйелердің істен шыққанға дейінгі жұмыс істеу уақыттары келесі кестеде берілген.

t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7	t8	t9	t10
100	120	130	105	110	150	110	100	125	140

Нүктелік бағалау бойынша жүйелердің жұмыс істеу уақыттарының орта мәнін табу және сенімділік ықтималдылығының = 0,95. мәніне сәйкес, сенімділік интервалын анықтау қажет.

Істен шықпай жұмыс істеу уақытының орта мәні

T= = 119 сағ.

Егер істен шықпай жұмыс істеу уақыты қалыпты заңға бағынса, онда ортаквадраттық ауытқу:

σ = = 17,2 сағ.

Сенімділік интервалын Стьюдент таралымына сүйене отырып табайық.

Δx = t= 2,262*17,2/3,16 = 12 час.

мұндағы t - Стьюдент таралымының функциясы. Бұл шама және N –ің берілген мәндері бойынша, арнайы кестеден анықталады.

Соныменен T- Δx < То < T+ Δx,

мұндағы То – шынайы мән

Есептеудің нәтижелері бойынша

119 – 12 < То< 119+12 немесе 107< То< 131, яғни істен шықпай жұмыс істеу уақытының орта мәні = 0,95 тең ықтималдылықпен 117 ÷ 131 сағат интервалында жатыр деп айтуға болады.

Әдебиеттер нег. 1 [190 - 198], нег. 2 [81 - 90].

Бақылау сұрақтары :

1. Нүктелік бағалауды қалай түсінесің?

2. Сенімділік интервалын қалай түсінесің?

3. Сенімділік ықтималдылығы дегеніміз не?

4. Сенімділік көрсеткіштерін табуда не себептен интервалдық бағалауды қолданамыз?