int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

РАЗДЕЛ IV

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ОПТИКА. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. АТОМНАЯ ФИЗИКА

Тема 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Механическими колебаниями называются механические движения или процессы, повторяющиеся во времени.

Если колебания происходят через равные промежутки времени, они называются периодическими.

Смещение х — это расстояние от маятника до положения равновесия. Амплитуда А — это наибольшее смещение. При гармонических колебаниях амплитуда — постоянная величина. В одном полном колебании содержится 4 амплитуды.

Период Т — время одного полного колебания. Период при гармонических колебаниях — постоянная величина.

Частота Q — это число полных колебаний в единицу времени. Частота — величина, обратная периоду. Частота гармонических колебаний не изменяется в процессе колебаний.

Циклическая частота Z — это величина, равная числу полных колебаний, совершенных за время, равное 2S. Циклическая частота гармонических колебаний не изменяется в процессе колебаний.

Фаза D — это величина под знаком косинуса или синуса в уравнении гармонических колебаний, показывающая, какая доля периода прошла от начала колебания. Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.

Гармонические колебания — это колебания, в которых данный параметр изменяется по закону косинуса или синуса. Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с максимальным отклонением маятника от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными и их на-

530

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

чальная фаза равна нулю. Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с прохождением маятником положения равновесия, то колебания являются синусоидальными и их начальная фаза тоже равна нулю.

Графики косинусоидальных гармонических колебаний смещения х, скорости v, ускорения а, силы F, потенциальной Ер, кинетической Ek и полной Е энергий, когда начальная фаза равна нулю, изображены на рис. 307.

Ниже приведены уравнения механических колебаний и волн.

Уравнения гармонических колебаний

х = А cos α x = A cos ( ω t + αo ) x = A sin α x = A sin ( ω t + αo )

Здесь х — смещение маятника (м), А — амплитуда колебаний (м), α — фаза (рад), ω − циклическая (угловая) частота (рад/с), t — время колебаний (с), αo — начальная фаза (рад).

Формула фазы колебаний

α = ω t + αo

Здесь D — фаза (рад), Z — циклическая частота (рад/с), t — время (с), α0 — начальная фаза (рад).

Здесь ω — циклическая частота (рад/с), ν — частота колебаний (Гц), Т — период (с), k — жесткость пружинного маятника (Н/м), m — масса маятника (кг), g — ускорение свободного падения (м/с2), l — длина математического маятника (м).

Здесь Т — период (с), t — время колебаний (с), N — число колебаний за это время (безразмерное), ν — частота колебаний (Гц). Остальные величины названы в предыдущей формуле.

531

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Рис. 307

532

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

Формулы частоты колебаний

Здесь Q — частота (Гц), N — число колебаний, Т — период (с), S= 3,14 — число «пи», t — время колебаний (с), k — жесткость пружинного маятника (Н/м), m — масса маятника (кг), g — ускорение свободного падения (м/с 2 ), l — длина математического маятника.

Формулы скорости гармонических колебаний

Здесь v — мгновенная скорость (м/с), xc— первая производная смещения по времени (м/с), ω — циклическая частота (рад/с), A — амплитуда колебаний (м), α0 — начальная фаза (рад), vmax — максимальная скорость колебаний (м/с).

Формулы ускорения при гармонических колебаниях

Здесь a — мгновенное ускорение (м/с2), vc — первая производная скорости по времени (м/с2), amax — максимальное ускорение (м/с2). Остальные величины названы в предыдущей формуле.

Здесь O — длина волны (м), v — скорость волны (м/с), Т — период (с), Q — частота (Гц).

Условия максимума и минимума при интерференции волн max: r = 2k λ2 = kλ

min: r = (2k + 1) λ2

Здесь r — разность хода волн (м), k = 0; 1; 2; 3; … — целое число (безразмерное), O — длина волны (м).

Гармонические колебания происходят под действием переменной силы, пропорциональной смещению маятника от

533

Физика для старшеклассников и абитуриентов

положения равновесия и всегда направленной к положению равновесия. Поскольку в процессе колебаний эта сила изменяется, изменяется и ускорение маятника, возникающее под действием этой силы. Поэтому к колебательному движению нельзя применять формулы равномерного или равноускоренного движений, с их помощью можно определять только средние скорость и ускорение за определенный промежуток времени. Чтобы найти мгновенную скорость, надо брать первую производную смещения по времени, а чтобы найти мгновенное ускорение — первую производную скорости по времени.

Если дано уравнение гармонических колебаний с цифровыми значениями параметров и требуется из него найти какую-либо величину, то запишите рядом уравнение гармонических колебаний в общем виде и сопоставьте его с данным уравнением. Та величина, что стоит между знаком «равно» и синусом или косинусом, есть амплитуда, в каком бы виде она ни была записана. Та, что стоит между синусом или косинусом

ивременем t, есть циклическая частота, а та, что без t, есть начальная фаза. Например, дано уравнение:

х= 0,4 соs 0,5(St + 2S) м

итребуется найти амплитуду и период колебаний. Запишем это уравнение в общем виде:

х = А cos(Zt + D0).

Теперь раскроем скобки в данном нам уравнении и сравним его с уравнением в общем виде:

х = 0,4 соs (0,5St + S) м.

Из сравнения с предыдущим уравнением видно, что амплитуда А = 0,4 м, циклическая частота Z= 0,5Sрад/с и начальная фаза D0 = S рад. А поскольку

Если наоборот, даны числовые значения параметров, а требуется записать уравнение колебаний, подставьте в уравнение в общем виде все числа, а время t оставьте в буквенном виде.

534

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

Например, вам даны амплитуда 5 см, период 2 с и начальная фаза 300 и требуется записать уравнение гармонических косинусоидальных колебаний. Найдите сначала циклическую частоту по формуле

ω= 2π = 2π = π рад/с.

Ò2

Поскольку 300 = 6π , значит, D0 = 6π .

Сучетом этого требуемое уравнение примет вид:

х= 5 соs πt+ 6π см.

К свободным гармоническим колебаниям применим закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия маятника Е в процессе гармонических колебаний сохраняется. При этом она равна его максимальной потенциальной энергии Ер max ,или его максимальной кинетической энергии Еk max, или сумме мгновенных потенциальной Ер и кинетической Еk энергий маятника в любой промежуточной точке его траектории:

Е = Ер max = Ek max = Ep + Ek.

Применительно к пружинному маятнику это равенство можно записать еще и так:

а применительно к математическому:

Здесь х, v и h — мгновенные смещение, скорость и высота подъема математического маятника над положением равновесия.

Если математический маятник движется вверх с ускорением или вниз с замедлением, то период его свободных (или собственных) колебаний определяется по формуле

Ò = 2π l . g+ a

Если он движется вниз с ускорением или вверх с замедлением, то период его свободных колебаний определяет формула

535

Физика для старшеклассников и абитуриентов

T = 2π l , g− a

а если он движется горизонтально с ускорением или замедлением, то его период

Если математический маятник поднят над Землей на высоту Н, сравнимую с радиусом Земли или превосходящую его, где ускорение свободного падения g меньше, чем ускорение свободного падения g0 на Земле, то там маятник за время t отстанет от земного на время 't, поскольку увеличится его период колебания на величину 'Т. При этом выполняется соотношение

где Т — период на высоте Н, а Т0 — период его колебаний на Земле.

Если пружинный маятник состоит из двух последовательных пружин с жесткостями k1 и k2, как на рис. 308, а), то силы упругости, действующие на каждую пружину, одинаковы, а деформации пружин х1 и х2 разные, и при этом общая амплитуда колебаний маятника равна сумме амплитуд

колебаний каждой пружины:

Если пружины соединены параллельно, как на рис. 308, б), то амплитуды колебаний пружин будут одинаковы, а силы упругости, возникающие в пружинах при деформации, — разные, поэтому справедливым будут соотношения

Fупр1 = –k1A и Fупр2 = k2A2.

536

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

Если маятник не является ни пружинным,ниматематическим, то к такому — физическому — маятнику формулы периода и частоты пружинного и математического маятников неприменимы. Для решения задач на физический маятник следует пользоваться законами Ньютона, сохранения импульса и сохранения энергии.

Свободные колебания реального маятника, на который действуют внешние силы сопротивления, являются затухающими. Затухающие колебания не являются ни периодическими, ни гармоническими. График затухающих колебаний изображен на рис. 309.

Если на реальный маятник действует периодически изменяющаяся внешняя сила, то такие колебания называются вынужденными. Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Если частота собственных колебаний маятника равна частоте вынужденных колебаний, то при малом сопротивлении внешней среды наступает механический резонанс — явление резкого возрастания амплитуды колебаний, когда частота вынужденных колебаний становится равной собственной частоте маятника.

На рис. 310 изображено семейство резонансных кривых для сред с разным сопротивлением колебаниям. Чем меньше внешнее сопротивление, т.е. чем ближе реальный маятник к

537

Физика для старшеклассников и абитуриентов

направлению распространения волны, а продольной — в которой частицы колеблются вдоль направления распространения волны.

В вакууме механические волны распространяться не могут. Поэтому, каким бы сильным ни был взрыв в космосе, на Земле его не услышат.

Вследствие отставания колебаний одних частиц среды от других в поперечных волнах возникают

гребни и впадины (как в резиновом шнуре на рис. 311), а в продольных — сгущения и разрежения (как в упругой пружине на рис. 312).

Механические волны не переносят вещество среды, но переносят ее форму: гребни и впадины в поперечной

волне и сгущения и разрежения в продольной. Механические волны переносят механическую энергию,

которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Расстояние, пройденное волной за один период колебания ее частиц, называется длиной волны.

На расстоянии длины волны располагаются соседние гребни или соседние впадины в поперечной волне, а также соседние сгущения или соседние разрежения в продольной. На расстоянии длины волны расположены частицы, колеблющиеся с разностью фаз 2S рад.

λфически поперечная волна и по-

538

Раздел IV. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности.

щений или разрежений в продольной. Скорость волны в данной среде — постоянная величина, т.к. волны в однородной среде распространяются равномерно и прямолинейно. Скорость волны не равна скорости колебаний ее частиц, т.к. частицы волны колеблются с переменной скоростью.

Подтверждением волнового процесса в среде являются интерференция, дифракция, дисперсия и поляризация волн.

Волны, частицы которых колеблются с постоянной разностью фаз или с одинаковой частотой, называются когерентными. При наложении когерентных волн друг на друга возникает интерференция волн.

Интерференция — это наложение волн друг на друга, в результате которого в пространстве, охваченном волной, перераспределяется волновая энергия и возникают усиления волн (максимумы) и их ослабления (минимумы). При максимуме амплитуды налагающихся волн складываются (рис. 314, а), а при минимуме — вычитаются (рис. 314, б). Если при минимуме амплитуды волн одинаковы, то волны полностью погасят друг друга.

Рис. 314

Наилучшим условием максимума интерференции является наложение волн с одинаковой фазой или с разностью фаз, равной целому числу S рад. Так будет, когда разность хода волн 'r от их источников S1 и S2 до места наложения M содержит четное число полу-

волн или целое число длин волн (рис. 315).

Наилучшим условием минимума интерференции является наложение волн в противофазе, т.е. когда разность фаз равна

539