II Одна корисна нерівність
Щоб дослідити систему (2), а потім і стаціонарні точки, доведемо одну нерівність.
Розглянемо
чисел
,
крім випадку
.
Позначимо
– середнєарифметичне
цих
чисел:
.
Тоді:
Але сума
квадратів, що стоїть
на початку цього ланцюжка рівностей,
строго позитивна (тому що не всі
однакові),
отже, і
.
Із цієї нерівності легко одержати необхідне нам:
.
Зауваження. Отримана нерівність є окремий випадок нерівності Коші-Буняковского
,
яка є
узагальненням нерівності для векторів:
.
III Дослідження системи нормальних рівнянь
Повернемося до системи (2). Її визначник:
,
тобто
,
отже система (2) має єдинийрозв‘язок,
а функція (1) одну стаціонарну точку
.
Щобдослідити
цю точку,
знайдемо значення других похідних
функції (1) у цій точці:
,
,
.
Визначник, складений із цих чисел
,
значить
у точці
єекстремум,
а тому що
,
тоцей
екстремум
– мінімум.
Отже,
задача
мінімізації функції
завжди має єдинийрозв‘язок.
Приклад. Результати вимірів наведені в таблиці:
-
–1
0
1
2
3
4
5
3
2
2
1
2
1
0
Використовуючи
метод найменших квадратів, визначити
“найкращі”
значення параметрів лінійної функції
.
Рішення. Обчислимо коефіцієнти системи нормальних рівнянь (2):
,
,
,
.
Складемо систему:
Її
розв‘язок:
,
.
Лінійна функція, що “найкращим”чином
описує результати вимірів,
має вигляд:
.