§9. Дотична площина до поверхні

Розглянемо рівняння із трьома змінними . Укоординатному просторі воно визначає деяку поверхню ().

Означення 1. Точка називаєтьсязвичайною, якщо в цій точці існують скінченні похідні , причому вони недорівнюють нулю одночасно. У противному випадку точка називається особою.

Означення 2. Пряма лінія називається дотичною прямою до поверхні () у її звичайнійточці , якщо вонає дотичною до деякої лінії, що лежить на () і проходить черезточку .

Теорема. Всі дотичні прямі до поверхні в її звичайній точці лежать в одній площині.

Доведення. Нехай лінія

лежить на даній поверхні ():і проходить через їїточку . Це означає наступне:

1) ;

2) існує значення таке, що.

Продиференціюємо тотожність із пункту 1): ≡ 0.

Розглянемо цей результат у точці :

Ліва частина останньої рівності – це скалярний добуток напрямного вектора дотичної до лінії вточці

і вектора

,

проекції якого визначаються лише поверхнею () і їїточкою і не залежать від лінії. Але рівністьозначає, що, тобтовсі дотичні прямі до () у їїточці перпендикулярнівектору . Це ж, у свою чергу, означає, що всі ці прямі лежать в одній площині іє нормальний вектор цієї площини. Теорема доведена.

Оначення 3. Площина, у якій лежать всі дотичні прямі до поверхні в її звичайній точці, називається дотичною площиною.

Рівняння дотичної площини до поверхні ():у її звичайнійточці має вигляд

У випадку явного завдання поверхні ():рівняння дотичної площини таке:

.

Означення 4. Пряма, що проходить через точку поверхні () і перпендикулярнадотичній площині, називається нормаллю до поверхні.

Рівняння нормалі (канонічні):

Приклад. До поверхні ():провести дотичну площину,паралельну площині :.

Розв‘язування. Нормальний вектор дотичної площини складається із час-тинних похідних функції ,обчислених у точці дотику:

Тому що , тей, отже, тобто

Таким чином, точка дотику така: Алезначить її коор-динати задовольняють рівнянню ():

.

Звідси йМаємодві точки дотику (і дві дотичні площини):

и .

Рівняння дотичних площин

и.

Після спрощення одержимо:

и .

Приведемо ряд задач для самостійного розв‘язування.

1. Дано поверхню ():Довести, що будь-якадотична площина до () утворює із координатними площинами тетраедр постійногооб'єму.

2. Дано поверхню ():. Довести, що будь-якадотична площина до ()відтинає від координатних осей відрізки, сума довжин яких постійна.

3. Дано поверхню ():де–диференційована функція. Довести, що всі дотичні площини до () перетинаються в однійточці.

Лекція 20

§10. Похідні вищих порядків

Якщо функція має частинні похідніі в кож-ній точці деякої області , то вони являють собою функціїдвох змінних, визначенні в . Можетрапитися, що ці функції мають в частинні похідні. Тоді ці похідні називаються частинними похідними другого порядку

,,,.

Використовуються й інші позначення, наприклад:

, .

Похідні йназиваються змішаними похіднимидругого порядку. При деяких умовах змішані похідні не залежать від порядку диференціювання.

Теорема. Нехай функція має вобласті частинні похідні. Нехай, крім того,змішані похідні й неперервні в . Тоді має місце рівність

= .

Аналогічно похідним другого порядку вводяться частинні похідні третього, четвертого, …, -го порядку. Для змішаних похідних вищих порядків залишається справедливою сформульована вище теорема.