§5. Диференційованість і повний диференціал

Нагадаємо, що повним приростом функції вточці на-зиваєтьсярізниця

Означення 1. Функція називаєтьсядиференційованою у точці , якщо їїповний приріст у цій точці може бути записаний у вигляді:

де А, В – деякі числа, що не залежать від , аα і β – нескінченно малі при

Теорема 1. Якщо функція диференційована в точці , то: 1) вона неперервна в ційточці; 2) вона має в цій точці скінченні похідні, причому .

Доведення першого твердження відразу випливає з (1) і зауваження до §3. Для доведення другого твердження покладемо в (1) тодіРозділившиобидві частини рівності на й спрямовуючидо нуля,одержимо:

тобто

Аналогічно доводиться й

На відміну від функцій однієї змінної (для яких диференційованість рівносильна існуванню скінченної похідної), для функцій декількох змінних з існування частинних похідних не випливає неперервність і диференційованість. Це доводиться наступним прикладом.

Приклад. Розглянемо функцію

Обчислимо похідну по на початку координат:

.

Аналогічно В той же час ця функція неє неперервною (а отже, є не- диференційованою) на початку координат, тому що її границя в цій точці не існує (див. приклад 2 §3).

Таким чином, функція має скінченні похідні вточці , але неє неперервною в цій точці. Ця ситуація пов'язана з тим, що існування частинних похідних у точці визначається поводженням функції на прямих а неперервність залежить відповодження функції у всьому околі точки М₀.

Приймемо без доведення теорему, що встановлює достатні умови диференційованості.

Теорема 2. Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в самійточці , то функціядиференційована в точці .

Означення 2. Головна частина повного приросту диференційованої функції, лінійна щодо приростів аргументів, називається повним диференціалом функції й позначається символом :

Якщо домовиться вважати диференціалами незалежних змінних їхні прирости, то формула (2) прийме вид:

Позначимо: це відстань між точками й. Очевидно, що наближеннядо нулярівносильне одночасному наближенню до нуля приростів і. Формулу (1) можна тепер переписати у вигляді

Звідси при малих іодержимо наближену формулу

,

яка використовується в наближених обчисленнях.

Зауваження. З геометричної точки зору, диференційованість функції в точці означає наявність дотичної площини до графіку функції в точці (див. нижче §8).

§6. Похідні складних функцій

Приведемо без доведення ряд формул диференціювання складних функцій. Всі функції, що зустрічаються, однієї або декількох змінних, вважаємо диференційованими.

1. Якщо то

2. Якщо , ато для складної функції однієїзмінної z(u(x),v(x)) маємо

або, використовуючи інші позначення,

Зокрема, якщо а, то

У цьому випадку похідну називають повноюпохідною, на відміну від – частинної похідної.

3. Якщо , ай, то для складної функціїдвох змінних маємо:

(3)

Зауваження 1. Формули (1), (2), (3) легко узагальнюються на випадок функцій трьох і більше змінних.

Зауваження 2. Формули (1), (2), (3) необхідні в теорії для одержання інших важливих результатів. На практиці у випадку конкретних функцій неважко виключити залежність функції від проміжних змінних. Наприклад, якщо ай, тояк функціямає вигляд