II Наближені обчислення

Як ми вже відзначали, залишковий член формули Тейлора – це похибка наближеної рівності , де – многочлен Тейлора для функції . З оцінкою цієї похибки (див. §3) зв'язані наступні задачі.

А) Яка похибка наближеної формули якщо змінюється в проміжку

З пункту II, §4, для п=3 маємо

.

Шукана похибка не перевершує 0,0025.

В) Який многочлен Тейлора для функції забезпечить у проміжку похибку

З пункту III, §4, маємо

З огляду на те, що , для знаходження порядку многочлена , одержуємо ^{нерівність тобто} .

Підбором одержимо:

Отже, п=3 і шуканий многочлен має вигляд:

С) У якому проміжку зміни наближена формула забезпечить похибку

Як і в задачі А) маємо нерівність або .

Отже, шуканий проміжок зміни х – це .

Iiі Дослідження функцій

Теорема (третя достатня умова екстремуму й точки перегину). Нехай функція має в точці похідні до п-го порядку включно, причому Тоді:

1) якщо – парне число, те – точка екстремуму (точка мінімуму при й точка максимуму при );

2) якщо – непарне число, то для графіка функції точка є точкою перегину.

Доведення. З умов теореми випливає, що

Цю формулу легко перетворити до виду

Другий доданок у дужках (за змістом символу ) прагне до нуля при ^{, а перший – це деяке число, відмінне від нуля. Тому для малих} значень знак дужки збігається зі знаком .

Якщо число – парне, то й знак не впливає на знак , тобто – точка екстремуму. При цьому, якщо те й , значить – точка мінімуму, а якщо те й і – точка максимуму.

Якщо число – непарне, то знак залежить від знака . Крім того, з умови випливає, що дотична до графіка функції в точці – горизонтальна. Отже, графік ліворуч і праворуч від цієї точки перебуває по різні сторони від дотичної, тобто в цій точці графік має перегин.

Приклад 3. Для функції точка є стаціонарною, тому що Далі:

Перша, що не звернулася в нуль похідна, парного порядку, тому нуль – точка екстремуму, а саме точка мінімуму, тому що .